山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.2.在等比数列中，若，，则（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗由于是等比数列，且，，所以，故选：C.3.若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意可得，所以，又向量为非零，则，则在方向上的投影向量为.故选：C.4.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗连接，则.又，所以四边形为正方形，，于是点在以点为圆心，为半径的圆上.又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，所以点到直线的距离，解得.故选：D.5.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗由两个正实数满足，得，则，当且仅当，即时取等号，又由不等式有解，可得，解得或，所以实数取值范围为或.故选：B.6.的的展开式中的系数为（）A.30 B. C.20 D.〖答案〗D〖解析〗从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项，这一项为，所以的系数为.故选：D.7.设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，令，则，则原问题转化在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出与的图象，如图所示，由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为，∴，解得．故选：B．8.已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（

）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗由题意可得方程有4个不同的根.方程的2个根为，所以方程有2个不同的根，且，即函数与函数的图象有两个交点.当直线与函数的图象相切时，设切点为，因为，所以解得.要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于，即.设（），则，由，，所以在上单调递增，在单调递减，所以的最大值为.所以.故的取值范围为,故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（）A. B.C.若，则 D.若，则或〖答案〗ABD〖解析〗设且，则，，所以，所以，故A正确；，故B正确；当时，满足，但不能得出，故C错误；因为，所以，则或，故D正确.故选：ABD.10.如图，已知二面角的棱上有两点，，，若，则（）A.直线AB与CD所成角的余弦值为B.二面角的大小为C.三棱锥的体积为D.直线CD与平面所成角的正弦值为〖答案〗ABD〖解析〗过点作，且，连接，如图，则四边形是平行四边形，即且，是直线ABCD所成角或其补角，因为，则，而平面，所以平面，平面，所以，则，所以，故A正确；因为，即，又，则是二面角的平面角，又，结合，即是等边三角形，所以，故B正确；因为平面，则平面平面，在平面过点作于点，于是得平面，而，故C不正确；连接，因为平面，则是直线CD与平面所成角，，故D正确.故选：ABD.11.甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（）A.A，B是对立事件 B.事件B，D相互独立C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________.〖答案〗2〖解析〗若甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2,则甲乙两人中一个人成功一个人失败，故概率为，故，“梦队”在比赛中得分不低于6分，则至少要赢3次，故概率为.13.如图，在四面体中，，，则该四面体的外接球体积为______.〖答案〗〖解析〗取的中点为，连接，如下图所示：又可知，且；又，且平面，所以平面，取的中点为，连接，又，可得，且;又平面，所以，又，平面，所以平面；在中，可知；设的外接圆半径为，可得，解得；易知的外接圆圆心必在直线上，设，则，解得，即可得为的中点，又因为平面，所以该四面体的外接球球心一定在过且平行于的直线上，设，外接球半径为，所以，即，解得；因此该四面体的外接球球心与的外接圆圆心重合，此时所以该四面体的外接球体积为.14.已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为_________.〖答案〗2〖解析〗直线分别与内切圆的切点为，如图所示：由切线性质可得，由双曲线的定义可得，即，所以，即，又，因此.设，则，又，因此.于是，即，所以由，可得，即.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的首项为，且满足.（1）证明：数列为等差数列；（2）设数列的前n项和为，求数列的前项和.（1）证明：因为，，若，则，与矛盾，所以，所以，所以，因为，所以，所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.（2）解：由（1）知，数列的前项和为，所以，设数列的前n项和为，当n为偶数时，因为，所以，当为奇数时，为偶数.，所以16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角A；（2）若中边上中线的长度为3，求面积的最大值.解：（1）由题意知，由正弦定理得，，所以，又因，则，所以，因A为的内角，所以，由得，则.（2）因是中边上中线，则，即，所以，则，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故，即面积的最大值为.17.如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，M是的中点，.（1）证明：平面；（2）若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.（1）证明：取的中点，连接，与交于Q点，在底面矩形中，易知，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，易知，所以，由题意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；（2）解：由上可知，，，以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、、、、，设平面的法向量为m=x,y,z，则，，则，取，则，设，其中，则，因为直线与平面所成角的正弦值为，则，解得，即.18.已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线叫椭圆于、两点，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程．（3）设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．解：（1）设，由的垂心为知,故，化简得，，解得，又因点在椭圆上，则，因，故得，解得，故椭圆的方程为.（2）如图，由（1）知，,若直线的斜率不存在，由对称性可得，，不合题意；若直线的斜率为，则的方程为，由消去得，，①显然，设，则，于是，，解得，则直线的方程为.（3）先来证明过椭圆上一点的切线方程为.由椭圆可得，当时,,求导可得：,∴当时,∴切线方程为,整理为：,两边同时除以得：.同理可证：时,切线方程也为.当时,切线方程为满足.综上,过椭圆上一点的切线方程为.依题意，设椭圆上点，则过点的切线方程为,即，原点到切线的距离为.由椭圆的第二定义，，则，同理，则，故为定值.19.若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.①求的取值范围；②证明：.（1）解：函数是上的“双中值函数”．理由如下：因为，所以.因为，，所以令，得，即，解得.因为，所以是上的“双中值