数学人教A版选修4-4第二讲参数方程

一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.[知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示联系x，y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.[预习导引]1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t）,y＝g（t）))①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0开始出发，按逆时针方向在圆O上作均速圆周运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r·cosθ，,y＝r·sinθ))(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程普通方程参数方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ,y＝b＋rsinθ))(θ为参数)要点一参数方程的概念例1已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2))(t为参数，a∈R)，点M(－3，4)在曲线C上.(1)求常数a的值；(2)判断点P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？解(1)将M(－3，4)的坐标代入曲线C的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝1＋2t，,4＝at2，))消去参数t，得a＝1.(2)由(1)可得，曲线C的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2，))把点P的坐标(1，0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝1＋2t，,－1＝t2，))这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上.规律方法点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)对于曲线C的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝f（t），,y1＝g（t）))对应的参数t有解，否则参数t不存在.跟踪演练1已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解把点A(2，0)的坐标代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝3sinθ))，得cosθ＝1，且sinθ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A(2，0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))代入参数方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(3)＝2cosθ，,\f(3,2)＝3sinθ.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(\r(3),2)，,sinθ＝\f(1,2).))又0≤θ＜2π，∴θ＝eq\f(5,6)π，所以点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))在曲线C上，对应θ＝eq\f(5,6)π.要点二圆的参数方程及其应用例2设曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝－1＋3sinθ))(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为eq\f(7\r(10),10)的点的个数为()A.1B.2C.3 D.4解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝－1＋3sinθ.))得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝eq\f(7,\r(10))＝eq\f(7\r(10),10)＜3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d＜eq\f(7\r(10),10)，故满足题意的点有2个.答案B规律方法1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.解由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ为参数).则x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，∴11－6eq\r(2)≤x2＋y2≤11＋6eq\r(2).∴x2＋y2的最大值为11＋6eq\r(2)，最小值为11－6eq\r(2).要点三参数方程的实际应用例3某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2000m，水平飞行速度为v1＝100m/s，如图所示.(1)求飞机投弹ts后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10m/s2)解(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－\f(1,2)gt2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－5t2，))令y＝2000－5t2＝0，得t＝20(s)，所以飞机投弹ts炸弹的水平位移为100tm，离地面的高度为(2000－5t2)m，其中，0≤t≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1600(m).规律方法本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.跟踪演练3如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10s后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解(1)将t＝10代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－5t2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1000，,y＝1500，))所以炸弹投出机舱10s后这一时刻的水平位移和高度分别是1000m和1500m.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝m))(m为参数)；(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝n))(m，n为参数)；(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2；))(4)x＋y＝0中，参数方程的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析由参数方程的概念知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m,y＝m))是参数方程，故选A.答案A2.当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点()A.(2，3) B.(1，5)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D.(2，0)解析当2cosθ＝2，即cosθ＝1，3sinθ＝0.∴过点(2，0).答案D3.参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝2))(t为参数)表示的曲线是()A.两条直线 B.一条射线C.两条射线 D.双曲线解析当t＞0时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,y＝2，))是一条射线；当t＜0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－2，,y＝2，))也是一条射线，故选C.答案C4.已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1,y＝t2))(t为参数)，若y＝1，则x＝________.解析当y＝1时，t2＝1，∴t＝±1，当t＝1时，x＝2；当t＝－1时，x＝0.∴x的值为2或0.答案2或05.已知直线y＝x与曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα，))(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝2cosα，,y－2＝2sinα.))∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2，则圆心(1，2)到直线y＝x的距离d＝eq\f(|1－2|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(14).一、基础达标1.已知O为原点，参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝()A.1 B.2C.3 D.4解析|OA|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1，故选A.答案A2.已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范围是()A.a≥2 B.a＞3C.a≥1 D.a＜0解析∵曲线C的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a)2＋y2＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A.答案A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5－cosθ，,y＝5＋2sinθ))(0≤θ＜2π)B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋5cosθ，,y＝－1＋5sinθ))(0≤θ＜2π)C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜π)D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜2π)解析圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ，))(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜2π).答案D4.将参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)化为普通方程为()A.y＝x－2 B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)解析将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3].答案C5.若点(－3，－3eq\r(3))在参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，,y＝6sinθ))(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析将点(－3，－3eq\r(3))的坐标代入参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，,y＝6sinθ))(θ为参数)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(1,2)，,sinθ＝－\f(\r(3),2)，))解得θ＝eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z.答案eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z6.已知圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________.解析由圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα.))可求得其在直角坐标系下的方程为x2＋(y－1)2＝1，由直线l的极坐标方程ρsinθ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x2＋（y－1）2＝1))可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝±1，,y＝1.))所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1).答案(－1，1)，(1，1)7.已知曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ))(θ为参数)，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围.解∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ，))∴x2＋(y＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d＝eq\f(|0－1＋a|,\r(2))≤1，解得1－eq\r(2)≤a≤1＋eq\r(2).二、能力提升8.若P(2，－1)为圆O′：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋5cosθ，,y＝5sinθ))(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是()A.x－y－3＝0 B.x＋2y＝0C.x＋y－1＝0 D.2x－y－5＝0解析∵圆心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.∴直线l方程为x－y－3＝0.答案A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________.解析将x2＋y2－x＝0配方，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，∵圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ为参数).答案eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ为参数)10.曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝sint＋1))(t为参数)与圆x2＋y2＝4的交点坐标为________.解析∵sint∈[－1，1]，∴y∈[0，2].∵方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝sint＋1))表示的曲线是线段x＝1(0≤y≤2).令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，∵0≤y≤2，∴y＝eq\r(3).答案(1，eq\r(3))11.设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹.解设点M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′).则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝cosθ＋sinθ，①,y′＝cosθsinθ，②))①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y′＋\f(1,2))).∴所求点P的轨迹为抛物线x2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))的一部分eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\r(2)，|y|≤\f(1,2))).12.已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.解由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cosθ，且y＝sinθ(θ为参数)，因此4x＋3y＝4(－1＋cosθ)＋3sinθ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tanφ＝eq\f(4,3)确定)∴4x＋3y的最大值为1.若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，故实数a的取值范围是[1，＋∞).三、探究与创新13.已知圆系方程为x2＋y2－2axcosφ－2aysinφ＝0(a＞0，且为已知常数，φ为参数)(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.(1)解由已知圆的标准方程为：(x－acosφ)2＋(y－asinφ2)＝a2(a＞0).设圆心坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝asinφ))(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.(2)证明由方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2axcosφ－2aysinφ＝0,x2＋y2＝a2))得公共弦的方程：2axcosφ＋2aysinφ＝a2，即xcosφ＋ysinφ－eq\f(a,2)＝0，圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝eq\f(a,2)为定值.∴弦长l＝2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)a(定值).3参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.[知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.[预习导引]参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.要点一把参数方程化为普通方程例1在方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ,y＝b＋tsinθ，))(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？解方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ，①,y＝b＋tsinθ，②))(a，b是正常数)，(1)①×sinθ－②×cosθ得xsinθ－ycosθ－asinθ＋bcosθ＝0.∵cosθ、sinθ不同时为零，∴方程表示一条直线.(2)(i)当t为非零常数时，原方程组为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－a,t)＝cosθ，③,\f(y－b,t)＝sinθ.④))③2＋④2得eq\f(（x－a）2,t2)＋eq\f(（y－b）2,t2)＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆.(ii)当t＝0时，表示点(a，b).规律方法1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k2,1＋k2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,1＋k2)))eq\s\up12(2)＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)化成普通方程为________.解析∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα，))cos2α＋sin2α＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.答案x2＋(y－1)2＝1要点二把普通方程化成参数方程例2求方程4x2＋y2＝16的参数方程：(1)设y＝4sinθ，θ为参数；(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.∴4x2＋y2＝16的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)(2)将y＝t代入椭圆方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，则x2＝eq\f(16－t2,4).∴x＝±eq\f(\r(16－t2),2).因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(16－t2),2),y＝t))，和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(16－t2),2)，,y＝t))(t为参数).同理将x＝2t代入椭圆4x2＋y2＝16，得椭圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4\r(1－t2)))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝－4\r(1－t2)))(t为参数).规律方法1.将圆的普通方程化为参数方程(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ为参数)；(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致.跟踪演练2设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________.解析把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝eq\f(4t,1＋t2)，y＝eq\f(4t2,1＋t2)，∴参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，,y＝\f(4t2,1＋t2).))(t为参数).答案eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，,y＝\f(4t2,1＋t2).))(t为参数)要点三参数方程的应用例3已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值.解由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ.))(θ∈[0，2π)).(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝eq\f(3,4)，且φ的终边过点(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ).其中tanφ＝－eq\f(3,4).且φ的终边过点(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：asinθ＋bcosθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)，且φ的终边过点(a，b).跟踪演练3如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P在圆上运动时，利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹.解因为圆x2＋y2＝16的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，所以可设点P(4cosθ，4sinθ)，设点M(x，y)，由线段中点坐标公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4cosθ＋12,2)，,y＝\f(4sinθ,2)))(θ为参数)，即点M的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋6，,y＝2sinθ))(θ为参数)，所以点M的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数)()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝cos2t)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cost,y＝sin2t))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1－t),y＝t)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tant,y＝1－tan2t))解析A化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].B化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].C化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1].D化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈R，y∈R.答案D2.将参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t2＋\f(1,t2)))(t为参数)化为普通方程为________.解析由x＝t＋eq\f(1,t)得x2＝t2＋eq\f(1,t2)＋2，又y＝t2＋eq\f(1,t2)，∴x2＝y＋2.∵t2＋eq\f(1,t2)≥2，∴y≥2.答案x2－y＝2(y≥2)3.参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝sinθ＋cosθ))(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.解析y2＝(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝1＋x，又x＝sin2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1).答案y2＝x＋1(－1≤x≤1)4.已知某条曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2))(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线上.(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程.解(1)由题意，可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2t＝5，,at2＝4，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,a＝1，))所以a＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2，))由第一个方程，得t＝eq\f(x－1,2)，代入第二个方程，得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)))eq\s\up12(2)，即(x－1)2＝4y为所求.一、基础达标1.曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝|sinθ|，,y＝cosθ))(θ为参数)的方程等价于()A.x＝eq\r(1－y2) B.y＝eq\r(1－x2)C.y＝±eq\r(1－x2) D.x2＋y2＝1解析由x＝|sinθ|得0≤x≤1；由y＝cosθ得－1≤y≤1.故选A.答案A2.已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝－2－t))(t为参数)与圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋1，,y＝2sinθ))(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是()A.eq\f(π,4)，(1，0) B.eq\f(π,4)，(－1，0)C.eq\f(3π,4)，(1，0) D.eq\f(3π,4)，(－1，0)解析直线消去参数得直线方程为y＝－x，所以斜率k＝－1即倾斜角为eq\f(3π,4).圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0).答案C3.参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(2t,1＋t2)))(t为参数)化为普通方程为()A.x2＋y2＝1B.x2＋y2＝1去掉(0，1)点C.x2＋y2＝1去掉(1，0)点D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)点解析x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)))eq\s\up12(2)＝1，又∵x＝－1时，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉点(－1，0).答案D4.若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋eq\r(3)y的最大值为()A.1 B.2C.3 D.4解析由于圆x2＋y2＝1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ，))(θ为参数)，则x＋eq\r(3)y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，故x＋eq\r(3)y的最大值为2.故选B.答案B5.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析由ρcosθ＝4，知x＝4.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3，))∴x3＝y2(x≥0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,x3＝y2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－8.))∴|AB|＝eq\r(（4－4）2＋（8＋8）2)＝16.答案166.在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋acosθ，,y＝－1＋asinθ))(θ为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a＝________.解析圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为2eq\r(2)，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝2eq\r(2)＋|a|＝3eq\r(2)或|C1C2|＝|a|－2eq\r(2)＝3eq\r(2)⇒a＝±eq\r(2)或a＝±5eq\r(2).答案±eq\r(2)或±5eq\r(2)7.已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)－\f(1,\r(t))，,y＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，))(t为参数，t＞0).求曲线C的普通方程.解由x＝eq\r(t)－eq\f(1,\r(t))两边平方得x2＝t＋eq\f(1,t)－2，又y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，则t＋eq\f(1,t)＝eq\f(y,3)(y≥6).代入x2＝t＋eq\f(1,t)－2，得x2＝eq\f(y,3)－2.∴3x2－y＋6＝0(y≥6).故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6).二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝0，则圆C截直线所得弦长为()A.eq\r(2) B.2eq\r(2)C.3eq\r(2) D.4eq\r(2)解析圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ,y＝1＋3sinθ))的圆心为(eq\r(3)，1)，半径为3，直线普通方程为ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,6)－sinθsin\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(1,2)y＝0，即eq\r(3)x－y＝0，圆心C(eq\r(3)，1)到直线eq\r(3)x－y＝0的距离为d＝eq\f(|（\r(3)）2－1|,\r(3＋1))＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－12)＝4eq\r(2).答案D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosα，,y＝2sinα))相切，则θ＝________.解析直线为y＝xtanθ，圆为(x－4)2＋y2＝4，直线与圆相切时，易知tanθ＝±eq\f(\r(3),3)，∴θ＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).答案eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)10.在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝1－2t))(t为参数)与曲线C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asinθ,y＝3cosθ))(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.解析曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，故曲线eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1也经过这个点，代入解得a＝eq\f(3,2)(舍去－eq\f(3,2)).答案eq\f(3,2)11.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ为参数).(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系.解(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以直线l的平面直角坐标方程为x＋eq\r(3)y－2＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－eq\r(3))，半径为r＝2，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2－3－2|,2)＝eq\f(3,2)＜r，故直线l与圆C相交.12.已知曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，曲线C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数).(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程.C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解(1)C1是圆，C2是直线.C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋eq\r(2)＝0.因为圆心C1到直线x－y＋eq\r(2)＝0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C′1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝\f(1,2)sinθ))(θ为参数)，C′2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),4)t))(t为参数)，化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(2),2)，联立消元得2x2＋2eq\r(2)x＋1＝0，其判别式Δ＝(2eq\r(2))2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同.三、探究与创新13.已知曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解(1)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，∴C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0；(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))∴C1与C2的交点的极坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).二圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.[知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？提示椭圆的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数secφ的意义是什么？提示secφ＝eq\f(1,cosφ)，其中φ∈[0，2π)且φ≠eq\f(π,2)，φ≠eq\f(3,2)π.3.类比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的参数方程吗？提示eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt，,y＝2pt2))(p＞0，t为参数，t∈R.)[预习导引]1.椭圆的参数方程普通方程参数方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ为参数)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝bcosφ,y＝asinφ))(φ为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ))(φ为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t∈R，t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.

要点一椭圆参数方程的应用例1已知A、B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC重心G的轨迹的普通方程.解由题意知A(6，0)，B(0，3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6＋0＋6cosθ,3)，,y＝\f(0＋3＋3sinθ,3)))(θ为参数)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝1＋sinθ.))故重心G的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数).规律方法本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1已知曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t为参数)，曲线C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq\f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cost＝x＋4，,sint＝y－3.))∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ，))(θ为参数)(2)依题设，当t＝eq\f(π,2)时，P(－4，4)；且Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ)).又C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)|5cos(θ＋φ)－13|，从而当cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ由sinφ＝\f(3,5)，cosφ＝\f(4,5)确定))，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值eq\f(8\r(5),5).要点二双曲线参数方程的应用例2求证：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝eq\f(|absecφ＋abtanφ|,\r(b2＋a2))·eq\f(|absecφ－abtanφ|,\r(b2＋（－a）2))＝eq\f(|a2b2（sec2φ－tan2φ）|,a2＋b2)＝eq\f(a2b2,a2＋b2)(定值).规律方法在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用.跟踪演练2如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.证明设P(secφ，tanφ)，∵F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，∴|PF1|＝eq\r(（secφ＋\r(2)）2＋tan2φ)＝eq\r(2sec2φ＋2\r(2)secφ＋1)，|PF2|＝eq\r(（secφ－\r(2)）2＋tan2φ)＝eq\r(2sec2φ－2\r(2)secφ＋1)，|PF1|·|PF2|＝eq\r(（2sec2φ＋1）2－8sec2φ)＝2sec2φ－1.∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.要点三抛物线参数方程的应用例3设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解设P点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝eq\f(1,t)x，QF的方程为y＝－2teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，它们的交点M(x，y)由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,t)x,y＝－2t\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))))确定，两式相乘，消去t，得y2＝－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0).当t＝0时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.规律方法1.抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3已知抛物线的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以yeq\o\al(2,M)＝6p，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，±\r(6p)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以eq\f(p,2)＋3＝eq\r(p2＋6p)，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去).答案21.圆的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))中的参数θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))中的参数φ是椭圆上点M的离心角.2.椭圆eq\f(（x－m）2,a2)＋eq\f(（y－n）2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋acosφ，,y＝n＋bsinφ))(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cotφ、secφ、cscφ的意义分别为cotφ＝eq\f(1,tanφ)，secφ＝eq\f(1,cosφ)，cscφ＝eq\f(1,sinφ).4.抛物线y2＝2px的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)，由于eq\f(y,x)＝eq\f(1,t)，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝et＋e－t，,y＝2（et－e－t）))(t为参数)的普通方程是()A.抛物线 B.一条直线C.椭圆 D.双曲线解析由参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝2et＋2e－t，,y＝2（et－e－t）))平方相减可得4x2－y2＝16，即eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，故答案为D.答案D2.椭圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cosφ，,y＝3sinφ))(φ为参数)的焦点坐标为()A.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)解析利用平方关系化为普通方程：eq\f(（x－4）2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.∴焦点(0，0)，(8，0).答案D3.参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)，,y＝\r(2＋sinα)))(α为参数)表示的普通方程是________.解析因x2＝1＋sinα，y2＝2＋sinα，所以y2－x2＝1，又因x＝sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,4)))，所以答案为y2－x2＝1(|x|≤eq\r(2)且y≥1).答案y2－x2＝1(|x|≤eq\r(2)且y≥1)4.点P(1，0)到曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(参数t∈R)上的点的最短距离为()A.0 B.1C.eq\r(2) D.2解析d2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.∵t∈R，∴deq\o\al(2,min)＝1，∴dmin＝1.答案B5.已知点P是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值.解因为P为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈[0，2π).又直线l：x＋2y＝0.因此点P到直线l的距离d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))),\r(5)).又θ∈[0，2π)，∴dmax＝eq\f(2\r(2),\r(5))＝eq\f(2\r(10),5)，即点P到直线e：x＋2y＝0的距离的最大值为eq\f(2\r(10),5).一、基础达标1.参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)化为普通方程为()A.x2＋eq\f(y2,4)＝1 B.x2＋eq\f(y2,2)＝1C.y2＋eq\f(x2,4)＝1 D.y2＋eq\f(x2,4)＝1解析易知cosθ＝x，sinθ＝eq\f(y,2)，∴x2＋eq\f(y2,4)＝1，故选A.答案A2.方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xcosθ＝a，,y＝bcosθ))(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.双曲线的一部分解析由xcosθ＝a，∴cosθ＝eq\f(a,x)，代入y＝bcosθ，得xy＝ab，又由y＝bcosθ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分.答案D3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4t2，,y＝4t))(t为参数)上，则|PF|等于()A.2 B.3C.4 D.5解析抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.答案C4.当θ取一切实数时，连接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.直线 D.线段解析设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x＝2sinθ－2cosθ，y＝3cosθ＋3sinθ，即eq\f(x,2)＝sinθ－cosθ，eq\f(y,3)＝sinθ＋cosθ，两式平方相加，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝2，是椭圆.答案B5.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋eq\r(3)y的最大值是________.解析因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cosα，y＝eq\r(3)sinα，则2x＋eq\r(3)y＝4cosα＋3sinα＝5sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(4,5)，cosφ＝eq\f(3,5).当sin(α＋φ)＝1时，2x＋eq\r(3)y有最大值为5.答案56.抛物线y＝x2－eq\f(2x,t)的顶点轨迹的普通方程为________.解析抛物线方程可化为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,t2)，∴其顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，－\f(1,t2)))，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,t)，,y＝－\f(1,t2)，))消去t得y＝－x2(x≠0).答案y＝－x2(x≠0)7.如图所示，连接原点O和抛物线y＝eq\f(1,2)x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝2t2.))得M(2t，2t2).设P(x，y)，则M是OP中点.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t＝\f(x＋0,2)，,2t2＝\f(y＋0,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4t,y＝4t2))(t为参数)，消去t得y＝eq\f(1,4)x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ－1))(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是()A.R B.(0，＋∞)C.(0，1) D.[0，1)解析将曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ－1))化为普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m＜1.答案D9.圆锥曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(t为参数)的焦点坐标是________.解析将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1，0).答案(1，0)10.设曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.解析eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))化为普通方程为y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以化为极坐标方程为ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.答案ρcos2θ－sinθ＝011.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα，))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(eq\r(3)cosα，sinα).因为C2是直线，所