【课件】高中数学第一章三角函数21任意角的三角函数二课件新人教A必修4

任意角的三角函数(二)必备知识·自主学习1.有向线段(1)定义:带有_____的线段.(2)表示:用大写字母表示,如有向线段OM,MP.导思(1)什么是有向线段?(2)如何用三角函数线表示正弦、余弦和正切?方向【思考】书写有向线段时,字母的顺序可以颠倒吗?提示:在用字母表示有向线段时,要注意它们的方向,即分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.2.三角函数线(1)本质:平面直角坐标系中的有向线段.(2)应用:①求三角函数值;②比较三角函数值的大小;③解三角不等式.【思考】三角函数线的长度等于三角函数的值吗?提示:不等于,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)角α的正弦线的长度等于sinα. (

)(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线. (

)提示:(1)×.角α的正弦线的长度等于|sinα|.(2)×.90°角不能作正切线.2.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 (

)A.正弦线MP,正切线A′T′ B.正弦线OM,正切线A′T′C.正弦线MP,正切线AT D.正弦线OM,正切线AT【解析】选C.α为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.3.(教材二次开发:练习改编)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么α的值为________.

【解析】根据正弦线和余弦线的定义知,当α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等时,终边落在了第一、三象限的角平分线上,即α=或.答案:

或关键能力·合作学习类型一三角函数线的作法及应用(数学抽象)【题组训练】1.角和角有相同的 (

)

A.正弦线 B.余弦线C.正切线 D.不能确定【解析】选C.角和角的终边互为反向延长线,所以正切线相同.2.求作的正弦线、余弦线和正切线.【解析】角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线AT,与的终边的反向延长线交于点T,则的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.【解题策略】三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边.(2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线,垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或终边反向延长线交于点T.(5)有向线段MP,OM,AT即分别为角的正弦线,余弦线和正切线.【补偿训练】作出的正弦线、余弦线和正切线.【解析】如图所示,的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.类型二利用三角函数线解三角不等式(直观想象)【典例】求函数的定义域.【思路导引】转化为不等式组利用三角函数线求解.【解析】由题意,得自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,所以【解题策略】1.利用三角函数线解形如sinα≥m,sinα≤m(|m|≤1)的不等式(1)画出如图所示的单位圆;在y轴上截取OM=|m|,过点(0,m)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′,并作射线OP和OP′.(2)写出终边在OP和OP′上的角的集合.(3)图中阴影部分(含边界)即为满足不等式sinα≤m的角α的范围,其余部分(不含边界)即为满足不等式sinα>m的角α的范围.2.利用三角函数线解形如cosα≥m,cosα≤m(|m|≤1)的不等式(1)画出如图所示的单位圆;在x轴上截取OM=|m|,过点(m,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′,作射线OP和OP′.(2)写出终边在OP和OP′上的角的集合.(3)图中阴影部分(含边界)即为满足不等式cosα≤m的角α的范围,其余部分(不含边界)即为满足不等式cosα>m的角α的范围.【跟踪训练】在[-π,π]上,满足sinx≤的x的取值范围是________.

【解析】如图所示,由于sin=sin=,所以满足sinx≤的x的范围为.答案:

类型三三角函数线的综合应用(逻辑推理)

角度1利用三角函数线比较大小

【典例】已知a=sin,b=cos,c=tan,则 (

)

A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【思路导引】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:①关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.②注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.【解析】选D.因为,作出角的三角函数线,如图可知cos<sin<tan,即b<a<c.角度2利用三角函数线证明不等关系

【典例】已知0<x<,利用单位圆证明:sinx<x<tanx.【思路导引】作出三角函数线BP,OB,AE,由S△OPA<S扇形OPA<S△OAE,分别表示出3个面积,可推得BP<<AE,所以sinx<x<tanx,据此判断即可.【证明】如图作三角函数线BP,OB,AE,因为S△OPA<S扇形OPA<S△OAE,S△OPA=·1·BP,S扇形OPA=·1·,S△OAE=·1·AE,所以BP<<AE,所以sinx<x<tanx.【解题策略】利用三角函数线比较大小的关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值.(2)比较两个三角函数值的大小,不仅要看长度,还要看其方向.提醒:在利用三角函数线比较大小时,要注意三角函数线的方向,即注意三角函数值的正负.【题组训练】1.若点P在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是 (

)

【解析】选A.点P在第一象限⇒⇒如图所示:在[0,2π)内α的取值范围是.2.如果<θ<π,那么下列各式中正确的是 (

)A.cosθ<tanθ<sinθ B.sinθ<cosθ<tanθC.tanθ<cosθ<sinθ D.cosθ<sinθ<tanθ【解析】选C.由于<θ<π,如图所示,正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,由此容易得到AT<OM<0<MP,即tanθ<cosθ<sinθ.1.下列命题:①α一定时,单位圆中的正弦线一定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③α和α+π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.其中不正确命题的个数是 (

)

A.0

B.1

C.2

D.3【解析】选B.由三角函数线的定义知①③④正确,②不正确.课堂检测·素养达标2.如果OM,MP分别是角α=的余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是 (

)A.MP<OM<0

B.MP<0<OMC.MP>OM>0

D.OM>MP>0【解析】选D.角的余弦线、正弦线相等,结合图象可知角α=的余弦线和正弦线满足OM>MP>0.3.已知的正弦线为MP,正切线为AT,则有 (

)A.MP与AT的方向相同 B.|MP|=|AT|C.MP>0,AT<0 D.MP<0,AT>0【解析】选A.三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.MP=sin<0,AT=tan<0.4.若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为________.

【解析