3.1.2椭圆的简单几何性质（知识解题达标测试）（原卷版）

3.1.2椭圆的简单几何性质【考点1：根据椭圆的标准方程研究几何性质】【考点2：离心率问题】【考点3：相同离心率的椭圆的方程】【考点4：点与椭圆的位置关系】【考点5：直线与椭圆的位置关系】【考点6：直线与椭圆相交的弦长问题

【考点7：中点弦和点差法】知识点1椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2知识点2椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq\f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.（3）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．【考点1：根据椭圆的标准方程研究几何性质】【典例1】已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标．(1)x2(2)25x【变式11】求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率：(1)x2(2)x2(3)4x【变式12】已知椭圆C:x2a2+y2b2A．6 B．5 C．25 D．【变式13】多选题已知椭圆C:x216A．C的焦点坐标为(±5,0) B．C的长轴长为8C．C的短轴长为6 D．C的一个顶点为(0,−4)【考点2：离心率问题】【典例2】下列椭圆的形状更接近于圆的是（

）A．x22+C．x24+【变式21】下列方程表示的椭圆中，形状最接近圆的是（

）A．x23+y22=1 B．【变式22】下列椭圆中最接近于圆的是（

）A．x24+y2=1 B．x【变式23】曲线C1:3x2+4y2=12和A．C1 B．C2 C．相同【典例3】设椭圆C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 【变式31】多选题已知椭圆C:x24+y2mA．1 B．3 C．163 【变式32】已知椭圆x225+y2b=1b>0【变式33】椭圆x2a2+y2=1(a>1)A．233 B．2 C．3【考点3：相同离心率的椭圆的方程】【典例4】若椭圆C2的焦点在y轴上，且与椭圆C1：x24+y2【变式41】已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆x24+y23=1【变式42】经过点N(1,2)，且与椭圆x212+【变式43】过点(2,1)，焦点在x轴上且与椭圆x24+A．x216+y243=1 【考点4：点与椭圆的位圈关系】【典例5】点1,1与椭圆x225+A．点在椭圆上 B．点在椭圆内C．点在椭圆外 D．不确定【变式51】已知椭圆C:x24A．1,1 B．2C．2,2 【变式52】多选题点Aa,1在椭圆x24+yA．−2 B．−1 C．1 D．【变式53】直线y=kx+1与椭圆x25+y2A．1,+∞ B．0,1∪1,+∞ C．【考点5：直线与椭圆的位置关系】【典例61】直线y=x+1与椭圆x2+yA．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【典例62】已知直线l的方程为mx+y+2m=1，椭圆C的方程为x29+y24=1A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【变式61】已知椭圆C:x24+y2=1，直线l:x−2y+A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对【变式62】直线l：2m+1x+m+1y−7m−4=0与椭圆C：xA．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【变式63】已知直线l:a+2x+1−ay−a+5=0，椭圆C:xA．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切【考点6：直线与椭圆相交的弦长问题【典例7】已知椭圆C的一个焦点是直线x+my−2=0所过的定点，且短轴长为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求直线2x−y−4=0与椭圆的相交弦长．【变式71】已知椭圆E的中心在原点，焦点为F1(−23,0)，F2(23,0)，且离心率e=32．过点P(2,−1)的直线l与椭圆E相交于A，A．23 B．22 C．25【变式72】直线x=−1被椭圆x24+A．32 B．32 C．3 【变式73】已知椭圆E的中心在原点，焦点为F1(−23(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2,−1)的直线l与椭圆E相交于A，B两点且P为AB的中点求弦长AB.

【考点7：中点弦和点差法】【典例8】已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1（m>0，n>0A．x28+C．x28+y24=1【变式81】已知A、B为椭圆x24+y23=1上两点，O为坐标原点，M（异于点O）为弦AB中点，若ABA．−23 B．−32 C．【变式82】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，M(−2,1)是椭圆A．22 B．C．33 D．【变式83】若椭圆的中心在原点，焦点在y轴，一个焦点为(0,2)，直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点坐标为(−2,1)，则这个椭圆的方程为.一、单选题1．已知倾斜角为π4的直线l与椭圆C:x24+y2=1交于A,B两点，P为A．−1 B．−12 C．−12．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为12，且过点2,0的椭圆方程是（

A．x24+y2C．x24+3y3．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，若A．3−1 B．23−3 C．4−24．已知椭圆C:x2m+y2m+6A．23 B．42 C．435．椭圆x2+my2=1的焦点在yA．14 B．12 C．26．与椭圆9x2+4y2A．x225+C．x220+7．椭圆x218+A．214 B．4 C．628．已知椭圆C:x24+y23=1，直线l经过点T1,12与CA．4x−6y−1=0 B．3x−2y−1=0C．4x+6y−7=0 D．3x+2y−4=0二、填空题9．焦点在x轴上，b=1，e=32的椭圆的标准方程为10．椭圆3x2+411．过点(3,−2)且与椭圆4x2+912．若椭圆x24+y23=1的弦AB13．若椭圆x23+y2