人教版九年级数学上册专项训练：圆的有关性质（原卷版）

专题24.1圆的有关性质

目录

圆的认识....................................................................1

圆的相关概念................................................................2

求相关角度..................................................................3

求相关长度..................................................................4

有关证明....................................................................5

垂径定理的计算..............................................................5

垂径定理的应用..............................................................6

圆周角圆心角相关概念........................................................8

圆周角与圆心角求角度........................................................9

圆周角与圆心角求长度.......................................................10

垂径定理的推论.............................................................11

内接四边形.................................................................13

证明综合...................................................................14

圆的认识

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的

图形叫做圆。

①表示方法：。0,读作“圆O”

②确定-个圆的条件：［定

定长一半径，

\7

【例1】下列结论正确的是（）

A.半径相等的两条弧是等弧

B.半圆是弧

C.半径是弦

D.弧是半圆

【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识,

说法正确的是（）

A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平

分”

B.车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”

C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”

D.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”

【变式训练2】下列说法错误的是（）

A.直径是圆中最长的弦

B.半径相等的两个半圆是等弧

C.面积相等的两个圆是等圆

D.半圆是圆中最长的弧

【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（）

A.无数个B.3个C.2个D.1个

圆的相关概念

【例2】已知的半径是3cm,则。。中最长的弦长是（）

A.3cmB.6cmC.1.5cmD.y[3cm

【变式训练1】已知o。中最长的弦为12厘米，则此圆半径为________厘米.

【例3】下列说法：

①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧;

⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆.

正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式训练1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）

劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

求相关角度

【例4】如图所示，MN为。。的弦，/N=52。，则/MON的度数为（）

A.38°B.52°C.76°D.104°

【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上,

O为圆心，则/AC。的度数为（）

A.150°B.120°C.100°D.60°

【例5】如图，在△ABC中，ZC=90°,以点C为圆心，为半径的圆交于点。，交

AC于点E若NA=25°,求NOCE的度数.

【变式训练1】如图，C£＞是。。的直径，点A在。C的延长线上，ZA=20°,AE交。。

于点B,且AB=OC.

（1）求/AOB的度数.

（2）求NEOD的度数.

求相关长度

【例6】如图，在△A3C中，ZC=90°,A3=若以点。为圆心，C4长为半径的圆恰好经

过的中点。，则。。的半径为（）

A.5V3B.8C.6D.5

【变式训练1】如图，是。。的弦，点C是优弧上的动点（。不与A、8重合），CH

-LAB,垂足为"，点M是8。的中点.若OO的半径是3,则长的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【变式训练2】如图，0A是。0的半径，B为OA上一点（且不与点0、A重合），过点B

作0A的垂线交于点C.以OB、3。为边作矩形OBCD,连结BD.若CD=6,BC=8,

【变式训练3】如图，在矩形A8CQ中，已知A8=3,3C=4,点尸是8C边上一动点（点尸

不与B,C重合）,连接AP,作点B关于直线AP的对称点”,则线段MC的最小值为（）

AD

M

BPC

5,—

A.2B.-C.3D.V10

2

有关证明

【例7】已知，如图，在。。中，C、。分别是半径OA、8。的中点，求证：AD=BC.

【变式训练1】已知：如图，48是。。的直径，点C、。在。。上，CE_LAB于E,DFLAB

于R且AC与8。相等吗？为什么？

垂径定理的计算

（X

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;

要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

\______________________J

【例8】如图，AB是O。的直径，弦COL42,垂足为P.若C£）=A尸=8,则的半径为

A.10B.8C.5D.3

【变式训练1】如图，CD是圆。的弦，直径垂足为E,若A8=12,BE=3,则

四边形ACBD的面积为（）

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

【变式训练2】如图，正方形ABC。和正方形BEFG的顶点分别在半圆0的直径和圆周上,

若8G=4,则半圆。的半径是（）

A.4+V5B.9C.4V5D.6V2

【变式训练3】已知的直径CO=10,CD与。。的弦4B垂直，垂足为M,且AM=4.8,

则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）

一

A.1个B.3个C.6个D.7个

垂径定理的应用

【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示,若水面宽AB=4Scm,水的最大

深度为16。〃，则圆柱形容器的截面直径为（）cm.

A.10B.14C.26D.52

【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6on,高为18aH.小强不小心碰倒,

容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心。到液面A5的距离为3CM,若把该容器扶正竖

47T-3V3127T-9V3127T-9V3127T-9V3

A.-------cmB.-------------cmC.-------------cmD.-------------cm

127127rn2

【变式训练2】往直径为78c7"的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽

AB=72cm,则水的最大深度为（）

<—72—►

A.36cmB.27cmC.24cmD.15cm

【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm,

假设球的横截面与水面交于A,8两点，AB=8cm.若从目前所处位置到完全落入水中的时

间为4s,则球体下落的平均速度为（)

A.0.5cm/sB.0：50nlsC.1cm/sD.2cmis

【例10］如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度A3为7.2山，拱顶高出水面

（CD）2.4m,现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这

里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由.

【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏

州.小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面

宽度16根时，拱顶高出水平面4加，货船宽12加，船舱顶部为矩形并高出水面3%

（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；

（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

说说你的理由.

圆周角圆心角相关概念

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.

\/

【例11】下列说法中，正确的个数为（）

（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；

（2）优弧一定比劣弧长；

（3）弧相等则所对的圆心角相等；

（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式训练1】下列说法正确的是（）

A.同弧或等弧所对的圆心角相等

B.所对圆心角相等的弧是等弧

C.弧长相等的弧一定是等弧

D.平分弦的直径必垂直于弦

【变式训练2】下列说法中，正确的是（）

A.同心圆的周长相等

B.面积相等的圆是等圆

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.平分弧的弦一定经过圆心

【变式训练3】下列说法中，正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径也平分弦所对的弧；

③长度相等的两条弧是等弧；

④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧

A.1个B.2个C.3个D.4个

圆周角与圆心角求角度

【例12］如图，AB是。。的直径，/D=32°,则NAOC等于（）

【变式训练1】如图，在中，是弦，C是弧上一点.若/。48=25°,NOCA=

40°,则/80C的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【变式训练2】如图,△ABC的顶点A、B、C均在。。上，^ZABC+ZAOC=75°，则N

Q4C的大小是（)

B.50°C.65°D.75°

【变式训练3】如图，。。在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE=FG=MN,NA=50°,

则ZBOC=()

C.115°D.120°

圆周角与圆心角求长度

【例13］如图，是。。的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。ELA8于点E,延长

DE交OO于点、F,若AE=2,。。的直径为10,则AC长为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式训练1】如图，为。。的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。于点E,

延长。E交。。于点尸，若AE=3,。。的直径为15,则AC长为（）

/1\EOjB

Z--/

A.10B.13C.12D.11

【变式训练2】如图，在半径为2曲的O。中，弦AB,CZ）互相垂直，垂足为点尸.若

CD=8,则0P的长为（）

【变式训练3】如图，A2为。。的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。于点E,

延长。E交。。于点孔若AC=12,AE=3,则G）O的直径长为（）

垂径定理的推论

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

【例14］如图，。。是。。的直径，弦于则下列结论不一定成立的是（）

A.AM^BMB.CM=DMC.AC=BCD.ADBD

【变式训练1】如图，C。是。。的直径，弦ABLCD于点E,则下列结论不一定成立的是

（）

【变式训练2】如图，AB是。。的直径，弦C。与A8相交于点E.不能推出CE=DE的条

件是（）

B

A.AB1CDB.AC=ADC.BC=BDD.OE=ED

【变式训练3】如图，CO是。。的弦，AB是O。的直径，ABLCD于点E,下列结论：①

AC=AD；②犹=通®EO=EB；@EC=ED.其中一定成立的是（）

A.①③B.①④C.①②④D.①②③④

内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

k_____________________________________________________________________________Z

【例15］如图，四边形48C。是。。的内接四边形，连接OA,OC.若/A8C=108°,则

NAOC的度数为（）

A.72°B.108°C.144°D.150°

【变式训练1】如图，四边形ABC。内接于。。，对角线3。垂直平分半径OC,若

50°,则NAOC的大小为（）

C

A.130°B.120°C.110°D.100°

【变式训练2】如图，C,。是。。上直径A8两侧的两点，设/A8C=15°,则/B£）C=（）

D

A.85°B.75°C.70°D.65°

【变式训练3】如图，A8是。。的直径，弦。垂直平分。8,P是冠上一点，则/AP。等

于（）

C.135°D.150°

证明综合

【例16］如图，AB为O。的直径，CD为弦,CDLA2于点E,连接DO并延长交。。于点

F,连接交CD于点G,连接AC,S.AC//DF.

(1)求证：CG=AG；

(2)若A2=12,求NCA。和GD的长.

【变式训练1】如图，AB是。。的直径，点C在。。上，ACBC,点。是品的中点，连

结。C,AD,交于点E,连结BE,BD.

(1)求/EB4的度数.

(2)求证：AE=V2BD.

(3)若DE=1,求。。的面积.

选择题（共8小题）

1.下列说法正确的是（）

A.直径是圆中最长的弦，有4条

B.长度相等的弧是等弧

C.如果QA的周长是周长的4倍，那么的面积是03面积的8倍

D.已知OO的半径为8,A为平面内的一点，且。4=8,那么点A在0。上

2.小明在半径为5的圆中测量弦4?的长度，下列测量结果中一定是错误的是（）

A.4B.5C.10D.11

3.如图，。。的直径54的延长线与弦。C的延长线交于点E,且CE=OB,已知

Z.DOB=72°,则ZE等于（）

4.如图，QO的直径AB=12,弦CD垂直AB于点P.若BP=2,则CD的长为（）

A.275B.472C.4^D.872

5.已知。。的半径为5,点。到弦的距离为3,则。O上到弦的所在直线的距离为2

的点有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面=拱高8=3〃工，则该拱门的半径为（

)

D

A.—mB.2mC.-mD.3m

33

7.如图，在RtAACB中NACB=60