人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题3.2 函数的基本性质-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题3.2函数的基本性质-重难点题型精讲1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与SKIPIF1<0具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与SKIPIF1<0具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与SKIPIF1<0具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.2．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.3．函数的奇偶性(1)定义：(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)函数图象的对称性：①图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.②图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【方法点拨】(1)定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.(2)图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.【例1】（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（）A．y=−1x B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=−1x，为反比例函数，在（﹣∞对于B，y＝2x+1，为一次函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；对于C，y＝x2，为二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；对于D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是减函数，不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022春•天津期末）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f(x)=−1x D．f（x）＝﹣【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，32对于C，f（x）=−1x为反比例函数，在（0，对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：C．【变式1-2】（2020秋•福田区校级期末）函数y=xA．(−∞，−32] B．[−32，+∞) C．[0，+【解题思路】确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，运用复合函数的单调性：同增异减，即可得到结论．【解答过程】解：由题意，x2+3x≥0，可得x≥0或x≤﹣3，函数的定义域为（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞），令t＝x2+3x，则y=t在[0，+∞）上单调递增，∵t＝x2+3x，在（﹣∞，﹣3]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，∴函数y=x2+3x的单调递减区间为（﹣∞，﹣【变式1-3】（2021•白山开学）函数f(x)=x−1A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）【解题思路】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．【解答过程】解：∵函数f(x)=x−1x=1−1x，定义域为{x|x≠0}，且y=1x的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故函数f(x)=x−1x的单调增区间为（﹣∞，【题型2利用函数的单调性求参数】【方法点拨】(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.【例2】（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞） C．[10，+∞） D．[40，+∞）【解题思路】根据题意，求出二次函数f（x）＝x2﹣kx﹣8的对称轴，结合函数单调性的定义可得k2≤5或k2≥【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣8为二次函数，其开口向上，对称轴为x=k2，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则k2≤5或k2≥20，解得k≤10或k≥40，所以实数k的取值范围是（﹣∞，10]∪[40【变式2-1】（2021秋•怀仁市校级月考）若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]【解题思路】根据题意，求出二次函数的对称轴，结合二次函数的性质可得﹣m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数y＝x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣m，函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范围为[﹣2，+∞）；故选：A．【变式2-2】（2021秋•河北期中）若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3） C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）【解题思路】化简f（x）的解析式，利用二次函数的性质得出f（x）的单调性，从而得出单调区间端点与区间[0，3]的关系，从而得出a的范围．【解答过程】解：f（x）=3（1）若a＝0，当x＜0时，f（x）＝x2在[﹣3，0]上单调递减，不符合题意；（2）若a＞0，在f（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，若f（x）在[﹣3，0]上不是单调函数，则﹣3＜﹣a＜0，即0＜a＜3；（3）若a＜0，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，a3）上单调递减，在（a3，+∞）上单调递增，若f（x）在[﹣3，0]上不是单调函数，则﹣3＜a3＜0，即﹣9＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣9，0）∪（【变式2-3】（2022•湖南模拟）定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解题思路】根据题意，分析易得f（x）在R上为减函数，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）在[﹣1，1]上为减函数，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x=k2≥1，解可得k即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【题型3利用函数的单调性比较大小、解不等式】【方法点拨】(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.

(2)解关于SKIPIF1<0的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.【例3】（2021秋•福田区校级期末）已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（）A．(−∞，12)∪(2，+∞) BC．(0，12]∪[2，6) 【解题思路】由函数的定义域和单调性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范围．【解答过程】解：函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，解得0＜a≤12或2≤a＜所以实数a的取值范围为（0，12]∪[2，6），故选：C【变式3-1】（2020秋•泸县校级月考）已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（13），则aA．(−∞，23) B．(12，2【解题思路】根据题意，由函数的定义域和单调性，分析可得0≤2a﹣1＜13，解可得【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在[0，+∞）上的单调减函数，若f（2a﹣1）＞f（13），则有0≤2a﹣1＜13，解可得12≤a＜23，即故选：D．【变式3-2】（2021秋•金凤区校级月考）已知函数f（x）是区间（0，+∞）内的减函数，则f（a2﹣a+1）与f(3A．f(a2−a+1)≥f(34C．f(a2−a+1)=f(【解题思路】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小．【解答过程】解：因为a2﹣a+1＝（a−12）2+34≥34，又f（所以f（a2﹣a+1）≤f(34【变式3-3】（2021秋•滨海新区期中）定义在R上函数y＝f（x）满足以下条件：①函数y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，②对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜A．f(32)＞f(0)C．f(32)＞【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．【解答过程】解：∵函数y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，且对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]，上单调递减，在[1∴f（3）＞f（0）＞f（32）．故选：B【题型4求函数的最值】【方法点拨】(1)配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；

(2)换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；

(3)数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；

(4)利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.【例4】（2021•白山开学）函数f(x)=1x2+1在区间A．12，15 B．2，5 C．1，2【解题思路】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．【解答过程】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，∴f(x)=1x2+1在区间[1，2]上单调递减，∴函数f(x)=1x2+1在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f（1）故选：A．【变式4-1】（2022春•铜鼓县校级期末）若函数f(x−1x)=1x2−2x+1，则函数g（A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解题思路】由已知求得函数解析式，代入g（x）＝f（x）﹣4x，整理后再由配方法求最值．【解答过程】解：∵f(x−1x)=1x2−2∴f（x）＝x2（x≠1）．从而g（x）＝f（x）﹣4x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，当x＝2时，g（x）取得最小值，且最小值为﹣4．故选：D．【变式4-2】（2022春•阎良区期末）设函数f(x)=2xx−2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+A．4 B．6 C．10 D．24【解题思路】将函数f（x）分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解．【解答过程】解：因为f(x)=2(x−2)+4x−2=2+4x−2，所以f（x所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6．所以M+m＝6+4＝10．故选：C．【变式4-3】（2021秋•杭州期末）已知min{a，b}=a，a≤bb，a＞b，设f（x）＝min{x﹣2，﹣xA．﹣2 B．1 C．2 D．3【解题思路】由题意可得函数f（x）的解析式，作出图象，数形结合得答案．【解答过程】解：由x﹣2＝﹣x2+4x﹣2，得x2﹣3x＝0，解得x＝0或x＝3．∴当0≤x≤3时，x﹣2≤﹣x2+4x﹣2，当x＜0或x＞3时，x﹣2＞﹣x2+4x﹣2，则f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}=x−2作出f（x）的图象如图所示，由图可知，当x＝3时，函数f（x）取得最大值为1．故选：B．【题型5由函数的最值求参数】【方法点拨】在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.

若对于区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>SKIPIF1<0；若对于区间D上的任意x，a<f(x)恒成立，则a>SKIPIF1<0；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>SKIPIF1<0；若在区间D上存在x使a<f(x)成立，则a＜SKIPIF1<0.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相应结论.【例5】（2022春•爱民区校级期末）若函数f(x)=2x+mx+1在区间[0，1]上的最大值为52A．3 B．52 C．2 D．52【解题思路】将函数f(x)=2x+mx+1化为f（x）＝2+m−2x+1，x∈[0，1]，讨论m＝2，m＞2和【解答过程】解：函数f(x)=2x+mx+1，即f（x）＝2+m−2x+1，x∈当m＝2时，f（x）＝2不成立；当m﹣2＞0，即m＞2时，f（x）在[0，1]递减，可得f（0）为最大值，即f（0）=0+m1=5当m﹣2＜0，即m＜2时，f（x）在[0，1]递增，可得f（1）为最大值，即f（1）=2+m2=52，解得m＝3，不成立；综上可得【变式5-1】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（）A．[0，12] C．[12，+∞)【解题思路】首先将函数的图象进行左移，使函数的关系式变得简单，进一步利用分类讨论思想的应用去掉绝对值，进一步利用函数的值域建立关系式，最后求出参数a的取值范围．【解答过程】解：将函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a＝|（x﹣1）2+（a﹣1）|+a的图象向左平移1个单位，得到函数g（x）＝|x2+a﹣1|+a，则由﹣1≤x≤1，故0≤x2≤1，①当a﹣1≥0时，即a≥1时，g（x）＝x2+a﹣1+a＝x2+2a﹣1≥2a﹣1≥1，此时函数g（x）的最小值为1，不合题意；②当a﹣1≤﹣1时，即a≤0时，g（x）＝﹣（x2+a﹣1+a＝﹣x2+1≤1，符合题意；故a≤0；③当﹣1＜a﹣1＜0，即0＜a＜1时，g（x）=−(x2又由0≤x2≤1﹣a，根据二次函数的性质，g（x）的值域满足1﹣（1﹣a）2≤g（x）≤1，当1﹣a＜x2≤1时，（1﹣a）2+2a﹣1≤g（x）≤2a，必有2a≤1，可得0＜综上所述：实数a的取值范围为（−∞，12【变式5-2】（2021秋•浉河区校级期末）函数f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为−14，最大值为2，则n﹣A．52 B．52+22 C．【解题思路】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【解答过程】解：当x≥0时，f（x）＝x（|x|﹣1）＝x2﹣x＝（x−12）2当x＜0时，f（x）＝x（|x|﹣1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+12）2作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）＝x2﹣x＝2，解得x＝2．当x=12时，f（12）=−14．当x＜0时，由f（x）＝）＝﹣即4x2+4x﹣1＝0，解得x=−4±42+4×42×4=∵[m，n]上的最小值为−14，最大值为2，∴n＝2，∴n﹣m的最大值为2−−1−22【变式5-3】（2021秋•松山区校级月考）若关于x的函数f(x)=2021x3+ax2+x+a2x2+a的最大值为A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1【解题思路】根据函数奇偶性求解即可．【解答过程】解：f(x)=2021x3+ax2+x+a2x2+a=a+g（﹣x）=2021(−x)3−xx2+a=−g（x），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+∴M+N＝g（x）max+a+g（x）min+a＝4，∴a＝2．故选：C．【题型6函数奇偶性的判断】【方法点拨】(1)定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.(2)图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断.(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.【例6】（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x）=x−2A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1【解题思路】化简函数f（x）＝1−4【解答过程】解：由题意得，f（x）＝1−4x+2．对A，f（x﹣2）﹣1对B，f（x﹣）+1＝2−4x，关于（0，对C，f（x+2）﹣1=−4x+4，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，对D，f（x+2）+1＝2−4x+4，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+故选：A．【变式6-1】（2022春•杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【解题思路】根据题意，由二次函数的性质求出b的值，即可得g（x）的解析式，分析其奇偶性可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，而f（x）为二次函数，则有b＝0，则g（x）＝2ax3+9x，其定义域为R，有g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）为奇函数，故选：A．【变式6-2】（2022春•祁东县期末）设函数f(x)=1A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，f(x)=1对于A，f(x+1)=1对于B，f（x）+1=1(x−1对于C，f（x﹣1）=1对于D，f（x）﹣1=1(x−1)2【变式6-3】（2022春•云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（）A．f（x）+g（x）为R上的奇函数 B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数 C．f(x)g(x)为R上的偶函数D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数【解题思路】由已知结合函数奇偶性的定义即可判断．【解答过程】解：因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，故f（x）+g（x）为非奇非偶函数，A错误；同理，f（x）﹣g（x）为非奇非偶函数，B错误；设F（x）=f(x)g(x)，则F（﹣x）=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F（设函数H（x）＝|f（x）g（x）|，因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），则由函数奇偶性的定义得，H（﹣x）＝|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝H（x），D正确．故选：D．【题型7函数奇偶性的应用】【方法点拨】(1)求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.(2)求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.

②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.【例7】（2022春•北京期末）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若f(35)=−A．−75 B．−35 C．3【解题思路】由f（1+x）﹣f（x）＝0可得函数的周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果．【解答过程】解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x），所以函数的周期为1，因为f（x）是定义域为R的奇函数，f(35)=−故选：C．【变式7-1】（2022•成都开学）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，则f（72A．52 B．32 C．12 【解题思路】根据题意，先分析函数的周期性，结合函数的解析式分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（72）＝f（−12）＝﹣f（32），当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，f（故f（72）=−1【变式7-2】（2022春•长春期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则f(15A．−54 B．54 C．−3【解题思路】由已知可得出f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），f（﹣x+2）＝f（x+2），分别令x＝1、x＝3，结合已知条件可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，即可得出函数f（x）在[﹣1，2]上的解析式，再利用函数的对称性求得结果．【解答过程】解：由f（x﹣1）是奇函数，得f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），①由f（x+2）是偶函数，得f（﹣x+2）＝f（x+2），②令x＝1，由①得f（﹣2）＝﹣f（0）＝﹣b，由②得：f（1）＝f（3）＝a+b，令x＝3，由①得：f（﹣4）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，由f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，得a+b=0−3a=−3，则a＝1，b＝﹣1∴x∈[﹣1，2]时，f（x）＝x2﹣1．则f（152）＝f（112+2）＝f（−112+2）＝f（＝﹣f（52−1）＝﹣f（32）＝﹣[(32【变式7-3】（2022春•辽宁期末）设f（x）的定义域为R，f（x﹣2）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（）A．﹣4 B．0 C．4 D．不确定【解题思路】根据给定条件，可得函数f（x）的性质f（x﹣2）+f（x）＝0，且f（﹣2）＝0，借助此性质计算作答．【解答过程】解：R上的函数f（x），由f（x﹣2）是奇函数，得f（﹣x﹣2）＝﹣f（x﹣2），f（﹣2）＝0，由f（x﹣1）是偶函数，得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x﹣2）＝f（x），于是得f（x﹣2）+f（x）＝0，因此f（﹣3）+f（﹣1）＝0，f（1）+f（3）＝0，由f（x﹣）+f（x）＝0得f（x）＝﹣f（x﹣2），则f（4）＝﹣f（2）＝f（0）＝﹣f（﹣2）＝f（﹣4）＝0，所以f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0．故选：B．【题型8函数图象的识别、判断】【方法点拨】①排除法：利用特殊点的值来排除；②利用函数的奇偶性、单调性来判断.【例8】下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A．B． C．D．【解题思路】当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是应是（﹣∞，0）上的减函数，逐个观察图象，得出结论即可．【解答过程】解：当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是应是（﹣∞，0）上的减函数，对于A，在（﹣∞，0）上是增函数；对于B，在（﹣∞，0）上是增函数；对于C，在（﹣∞，0）上不单调，先增后减；对于D，在（﹣∞，0）上是减函数；故选：D．【变式8-1】根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（）A．B． C．D．【解题思路】结合图象根据函数的奇偶性以及单调性判断即可．【解答过程】解：对于A，是奇函数且递增，符合题意；对于B，C，是非奇非偶函数，不合题意；对于D，不是奇函数，不合题意；故选：A．【变式8-2】已知f（x）=x+1A．是f（x﹣1）的图象 B．是f（﹣x）的图象 C．是f（|x|）或|f（x）|的图象 D．以上答案都不对【解题思路】画出f（x）的图象，根据图象的变换可得答案．【解答过程】解：画f（x）的图象f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右移一个单位，与题目中的图不一样，故A不正确而f（﹣x）与f（x）的图象关于y轴对称，与题目中的图不一样，故B不正确f（|x|）是偶函数或|f（x）|的图象与f（x）的图象一样，故选项C不正确，故选：D．【变式8-3】反比例函数f（x）=kxA．常数k＜﹣1 B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小 C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜n D．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x【解题思路】根据反比例函数f（x）的图象与性质，对题目中的选项进行分析判断即可．【解答过程】解：根据反比例函数f（x）=kx的图象在一、三象限知，k＞0，又函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，B错误；当点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上时，m＝﹣k＜0，n=k2＞0，∴m＜n函数f（x）图象对称轴的直线方程为y＝±x，∴D错误．故选：C．专题3.2函数的基本性质-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•东海县期中）函数f（x）=1A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞）【解题思路】根据题意，分析可得f（x）的递减区间，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f（x）=1x，其定义域为{x|x≠分析可得：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；综合可得：函数f（x）=1x的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；故选：2．（3分）（2022春•爱民区校级期末）下列函数是奇函数且在[0，+∞）上是减函数的是（）A．f(x)=1x B．f（x）＝﹣|x| C．f（x）＝﹣x3 D．f（x）＝﹣【解题思路】易知函数f（x）=1x，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），奇函数，根据其定义域即可判断选项A；函数f（x）＝﹣|x|和f（x）＝﹣x2的定义域为R，为偶函数，可判断选项B，f（x）＝﹣x3，定义域为R，奇函数，在R上是减函数，从而可判断选项C．【解答过程】解：对于f（x）=1x，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递减，0不是定义域内的元素，故选项A错误；对于f（x）＝﹣|x|，定义域为R，f（﹣x）＝﹣|﹣x|＝﹣|x|＝f（x），故该函数为偶函数，选项B错误；对于f（x）＝﹣x3，定义域为R，f（﹣x）＝﹣（﹣x）3＝x3＝﹣f（x），所以该函数为奇函数，又f（x）＝﹣x3在R上是减函数，所以f（x）＝﹣x3在[0，+∞）上是减函数，选项C正确；对于f（x）＝﹣x2，定义域为R，满足f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2，是偶函数，故选项D错误．故选：C．3．（3分）（2021秋•荔湾区校级月考）下列图形是函数y＝x|x|的图象的是（）A．B．C．D．【解题思路】求得函数的奇偶性，确定函数的图象分布，即可求得结论．【解答过程】解：令f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），∴函数是奇函数∵x≥0时，f（x）＝x2，∴函数的图象在第一、三象限，且为单调增函数，故选：D．4．（3分）（2022春•上饶月考）函数f（x）＝ax|a﹣x|（a∈R）在区间（﹣∞，2）上单调递增，则实数a的取值范围（）A．[2，4） B．[4，+∞） C．（2，+∞） D．（4，+∞）【解题思路】由已知函数解析式对a进行分类讨论，然后结合二次函数的单调性即可求解．【解答过程】解：当a＝0时，f（x）＝0显然不满足题意，当a＜2且a≠0，则f（0）＝f（a）＝0，显然不满足题意，当a≥2时，f（x）=−a(x−a2)2+a34所以a2≥2，即a≥4．故选：5．（3分）（2022秋•项城市校级月考）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，设a=f(−12)，b＝f（2），c＝f（3），则a，bA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解题思路】由题意得f（x）的图象关于x＝1对称且在[1，+∞）上单调递增，结合对称性及单调性即可比较函数值大小．【解答过程】解：因为函数f（x+1）是偶函数，所以f（x）的图象关于x＝1对称，又当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，a＝f（−12）＝f（52），b＝f（2），c＝f（3），所以c＞a＞b6．（3分）（2022春•揭阳期末）设MI表示函数f（x）＝|x2﹣4x+2|在闭区间I上的最大值．若正实数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实数a的取值范围是（）A．[2−3，12] B．[2−3，1]【解题思路】作图分析函数f（x）的特点，再分类讨论即可．【解答过程】解：函数f（x）的图像如下：f（x）的对称轴为x＝2，f（2）＝2，f（0）＝f（4）＝2；分类讨论如下：（1）当a＞4时，M[0，a]＝f（a），M[a，2a]＝f（2a），依题意，f（a）≥f（2a），而函数在x≥2+2时是增函数，a＜2a，f（a）＜f（（2）当a≤4时，M[0，a]＝2，依题意，2≥M[a，2a]，即M[a，2a]≤1，令f（x）＝1，解得：x1则有：a≥2−3并且2a≤1，解得：2−3≤a≤127．（3分）（2022春•长春期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则f(15A．−54 B．54 C．−3【解题思路】由已知可得出f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），f（﹣x+2）＝f（x+2），分别令x＝1、x＝3，结合已知条件可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，即可得出函数f（x）在[﹣1，2]上的解析式，再利用函数的对称性求得结果．【解答过程】解：由f（x﹣1）是奇函数，得f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），①由f（x+2）是偶函数，得f（﹣x+2）＝f（x+2），②令x＝1，由①得f（﹣2）＝﹣f（0）＝﹣b，由②得：f（1）＝f（3）＝a+b，令x＝3，由①得：f（﹣4）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，由f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，得a+b=0−3a=−3，则a＝1，b＝﹣1∴x∈[﹣1，2]时，f（x）＝x2﹣1．则f（152）＝f（112+2）＝f（−112+2）＝f（＝﹣f（52−1）＝﹣f（32）＝﹣[(328．（3分）（2022•湖州开学）已知f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，函数g(x)=f(x)+1x，f(1)=−1，当x2＞x1＞A．f（x）在（0，+∞）是增函数 B．g（x）在（﹣∞，0）是增函数 C．不等式g（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．函数g（x）只有一个零点【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答过程】解：当x2＞x1＞0时，不等式f(x则当x＞0时，f（x）为减函数，故A错误，∵f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，∴当x＜0时，f（x）为减函数，则g（x）为奇函数，且当x＜0时，为减函数，故B错误，∵f（1）＝﹣1，∴g（1）＝f（1）+1＝﹣1+1＝0，作出g（x）的草图，如图：则g（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故C正确，函数g（x）的零点为1，﹣1，故D错误，故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•广西月考）函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有（）A．f（0）＝0 B．若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣3，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值3 C．若f（x）在（1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数 D．f（﹣1）＝f（1）【解题思路】选项A，在f（﹣x）＝﹣f（x）中，取x＝0，计算即可；选项B，由x＞0时，f（x）≥﹣3，可得x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）≤3；选项C，根据奇函数在对称区域内的单调性一致，可判断；选项D，f（﹣1）＝﹣f（1）．【解答过程】解：选项A，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（﹣0）＝﹣f（0），即f（0）＝0，故A正确；选项B，若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣3，即当x＞0时，f（x）≥﹣3，所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（﹣x）≥﹣3，因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）≤﹣（﹣3）＝3，即f（x）在（﹣∞，0）上有最大值3，故B正确；选项C，根据奇函数在对称区域内的单调性一致，可知若f（x）在（1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，即C错误；选项D，f（﹣1）＝﹣f（1），即D错误．故选：AB．10．（4分）（2022春•遵义期末）设函数f(x)=ax−1，x＜ax2A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解题思路】对每个选项逐个分析f（x）的单调性，最值，即可得出答案．【解答过程】解：对于A：当a＝﹣2时，f（x）=−2x−1当x＜﹣2时，f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，f（x）＞f（﹣2）＝﹣2×（﹣2）﹣1＝3，当x≥﹣2时，f（x）＝x2+4x+1的对称轴为x=−4f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，f（x）≥f（﹣2）＝（﹣2）2+4×（﹣2）+1＝﹣3，所以f（x）的最小值为﹣3，符合题意，对于B：当a＝﹣1时，f（x）=−x−1当x＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，f（x）＞f（﹣1）＝﹣（﹣1）﹣1＝0，当x≥﹣1时，f（x）＝x2+2x+1的对称轴为x＝﹣1，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（﹣1）＝（﹣1）2+2×（﹣1）+1＝0，所以f（x）的最小值为0，符合题意，对于C：当a＝0时，f（x）=−1当x＜0时，f（x）＝﹣1，当x≥0时，f（x）＝x2+1的对称轴为x＝0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝1，所以f（x）的最小值为﹣1，符合题意，对于D：当a＝1时，f（x）=x−1，x＜1x2−2x+1，x≥1，当x＜f（x）＜f（1）＝0，且x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，所以f（x）无最小值，不符合题意，故选：ABC．11．（4分）（2022春•南海区校级月考）已知函数f(x)=|x+1x|A．f（x）+g（x）是奇函数 B．f（x）⋅g（x）是偶函数 C．f（x）+g（x）的最小值为4 D．f（x）⋅g（x）的最小值为2【解题思路】利用奇偶性的定义可判断A，B；利用基本不等式可判断C；利用换元可判断D．【解答过程】解：因为f（x）+g（x）＝|x+1x|+x2所以f（﹣x）+g（﹣x）＝|﹣x+1−x|+（﹣x）2+1(−x)2=|所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），所以f（x）+g（x）是偶函数，故A错误；因为f（x）•g（x）＝|x+1x|•（x2所以f（﹣x）•g（﹣x）＝|﹣x+1−x|•[（﹣x）2+1(−x)2]＝|x+1所以f（x）•g（x）＝f（﹣x）•g（﹣x），所以f（x）•g（x）为偶函数，故B正确；f（x）+g（x）＝|x+1x|+x2+1x当且仅当x=1x且x2=1x2，即x2f（x）•g（x）＝|x+1x|•（x2+1x2），令t＝|x+1x|，t≥2，则y＝f（x）•g（x）＝t（t2﹣2可知：t≥2时，函数y＝t3﹣2t为增函数，所以当t＝2时，y＝f（x）•g（x）取得最小值为4，故D错误．故选：BC．12．（4分）（2021秋•新泰市校级期中）已知定义在区间[﹣7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是（）A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值﹣7【解题思路】由题意利用偶函数的图象特征，函数的单调性、奇偶性，最值，得出结论．【解答过程】解：根据定义在区间[﹣7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可得它在定义域[﹣7，7]上的图象，如图：故这个函数有3个单调增区间，三个单调减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不能确定，故选：BC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•滦南县校级月考）函数y=1x2+4x−5的单调递增区间是（﹣∞，【解题思路】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可．【解答过程】解：要使函数有意义，则x2+4x﹣5＞0，解得x＜﹣5或x＞1，所以函数y=1x2+4x−5的定义域为（﹣∞，﹣5）∪（1所以y＝x2+4x﹣5的单调递减区间为（﹣∞，﹣5），因为y=1所以数y=1x2+4x−5的单调递增区间是（﹣∞故答案为：（﹣∞，﹣5）．14．（4分）（2022秋•东风区校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则f（﹣1）＝3．【解题思路】由奇函数的定义，结合已知函数的解析式，计算可得所求值．【解答过程】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣4）＝3．故答案为：3．15．（4分）（2022春•南岗区校级期末）已知函数f（x）=x2−mx+5，x≤1mx，x＞1，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜【解题思路】由题意得f（x）在R上单调递减，然后结合反比例函数及二次函数的单调性及分段函数的性质可求．【解答过程】解：由题意得f（x）=x2−mx+5根据分段函数的性质可知，m＞0m2≥11−m+5≥m，解得2≤m≤3，所以故答案为：[2，3]．16．（4分）（2022春•鹤峰县月考）已知定义域为[﹣2，2]的函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，且f（x）+f（﹣x）＝0，若f(−1)=−12，则不等式f(2x−1)≤12的解集为【解题思路】由已知可判断出函数f（x）为奇函数且在[﹣2，2]上单调递增，结合单调性及奇偶性即可求解．【解答过程】解：由题意可知f（x）为奇函数且在[﹣2，0]上单调递增，根据奇函数对称性可知f（x）在[﹣2，2]上单调递增，又f(−1)=−12，则f（1）=12，则不等式f(2x−1)≤12可转化为所以﹣2≤2x﹣1≤1，解得12≤x≤1．故答案为：{x|12≤四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022秋•定边县校级月考）判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x3−1x；（2）f（x）=x2−1+1−x2；【解题思路】（1）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x），与f（x）比较，可得结论；（2）求得f（x）的定义域，化简f（x），可得结论；（3）求得f（x）的定义域，判断是否关于原点对称，可得结论．【解答过程】解：（1）f（x）＝x3−1x的定义域为{x|x≠f（﹣x）＝﹣x3+1x=−f（x），则f（2）由x2−1≥01−x2≥0f（x）=x2−1+1−xf（x）＝0，则f（x）是奇函数，也是偶函数；（3）由36−x2≥0|x+3|−3≠0，可得﹣6＜x＜0或0f（x）的定义域不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．18．（6分）（2021秋•爱民区校级期末）已知函数f(x)=x+1（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【解题思路】（I）用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．（II）由（I）知f（x）在[1，+∞）上是增函数，可知在[1，4]也是增函数，则当x＝1时，取得最小值，当x＝4时，取得最大值．【解答过程】（I）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，f(x1)−f(∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0，∵x1∈[1