2024届高考数学数列进阶训练：数列的概念与表示方法

2024届高考数学数列进阶训练

—（1）数列的概念与表示方法

1.有下列说法：

①数列1,3,5,7可表示为｛135,7｝；

②数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列；

③数列1,3,5,7与数列1,3,5,7,…是同一数列;

④1,1,1,…不能构成一个数列.

其中说法正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）

A.-1,-2,-3,-49...B.-1,——,——9~~9...

C.-1,-2,-4,-8,...D.l,V2，5/3,V?,y/10

3.已知数列后，2,2亚,4,则16后是这个数列的（）

A.第8项B.第9项C.第10项D.第11项

4已知｛%｝是等比数列,则“生＜见”是“｛叫是递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.有穷数列1,21*3,42，，23…，2加+6的项数是（）

A.3〃+7B.3〃+6C.n+2D.n+3

6.已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S“，若%+%+与=0,则

11

A.3B.-C.-3D.—

33

7.若数列｛%｝满足。“+「a“=lg1+J,且％=1,则数列｛%｝的第100项为（）.

A.2B,3C.l+lg99D.2+lg99

8.已知数列2,2,2,…的通项公式为%=竺*,则。/％的值为（）

4cn

9.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日

月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十

岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们

的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于

90-100）,其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为（）

A.65B.66C.67D.68

10.（多选）下列选项中，能满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式有（）

.1+（一1严„.2"兀

A.an=---B.an=sin—

2mt是奇数

C"=cos——D.a-

2n0,〃是偶数

11.（多选）下面关于公比为q的等比数列｛。”｝的叙述不正确的是（）

A.q>1n{«„}为递增数列

B.｛%｝为递增数列

C.0<q<lo｛。,｝为递减数列

D.q>1今｛。“｝为递增数列且｛。“｝为递增数列书4>1

12.（多选）已知数列｛0,｝中，％=1,a2=l,%=%,则下列说法正

确的是（）

A.a3+a6=a4+a5B.a—+%+?=3%

.4]II•|。2021^^2022D.a?+++,,,+。2020—。2021

13.在数列｛%｝中，册=产苒,则数列｛。,｝中的最小项是第项.

14.已知数列｛为｝的通项公式为%=〃2f〃（XeR）,且｛%｝为严格单调递增数列，则实数

久的取值范围是.

（3-a）x-3,x<7,,、,.

15.设函数/Xx）=.67数列｛%｝满足%=/（"），”€*,且数列｛%｝是递增数

列，则实数。的取值范围是.

16.在数列｛%｝中，若%+（-1）%“=2〃-1,则数列｛为｝的前12项和等于.

17.已知数列｛%｝满足％=33,a-a=In,则｛%｝的通项公式为，色■的最

n+lnn

小值为

答案以及解析

1.答案：A

解析：①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错

误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误，数列1,3,5,7是

有穷数列，而数列1,3,5,7,…是无穷数列；④说法错误，由数列的定义，可知

1,1,1,…能构成一个常数列.

2.答案：B

解析：对于A,数列-1,-2,-3,-4,…是递减数列，故A不符合题意；对于B,数

列-1,-3，＜-g,…是递增数列，也是无穷数列，故B符合题意；对于C,数

列一1,-2,-4,-8,…是递减数列，故C不符合题意；对于D,此数列不是无穷数列，

故D不符合题意.故选B.

3.答案：B

解析：将数列改写为3，（亚匕（应儿（血）3…，由此可归纳该数列的通项公式为

（行）”eN*）.又160=（0）9,所以16后是这个数列的第9项.故选B.

4.答案：B

解析：假设等比数列｛%｝的首项％=-2,公比q=-2,则%=4吗=16,

出＜&，但数列｛风｝不是递增数列，

若数列｛与｝是递增数列，由定义可知，出＜%，

故“%＜@”是“｛a„｝是递增数列”的必要不充分条件.

5.答案：D

解析：由有穷数列1,2326,23…,2』可得指数为0,3,6,9,3〃+6,

构成首项为0,公差为3的等差数列，设3〃+6为此数列的第左项，则

3"+6=0+（左-1）x3,解得左=〃+3.故选D.

6.答案：D

解析：解法一：设数列｛%｝的公差为小则%+%+今=%+%+6d+7%=0,即

a5_ax+4dd1

ax--3d,所以一§.故选D.

S66q+15d

7(q+%)

解法二：设数列｛%｝的公差为d,则-2一_0，即

4]十]7十=Q]十-----------......-U

生_%+4d_d_d_1

%+%=0,所以q=-3d,所以Sf6(4]+4)3(4+%-")~~3d3.故选D.

2

7.答案：B

解析：因为%+1-%=lgfl+-Klg-^=lg(M+l)-lgn,

nJn

所以为00-%9=lgl°0-lg99,

a3-a2=lg3-lg2,

a2_%=lg2-lgl,

以上99个式子累加得《。。-q=IglOO,所以％°。=lgl00+l=3.

故选B.

8.答案：C

a+b

=?J

7fZ?—3Q2_1_a

解析：将为=2,%=♦代入通项公式，得/卜7解得一'则里,=「，所以

44a+b_1[c=2〃，2n

、2c/

1914133

〃4•=---X----=------.

458520

9.答案:B

解析：设年龄最小者的年龄为〃，年龄最大者的年龄为〃?(加©[90,100]),所以

"+(〃+1)+…+("+18)+〃?=1520,所以19"+〃?=1349,所以冽=1349-19力，所以

14S

90<1349-19«<100,所以65而令《66历，因为年龄为正整数，所以〃=66,故选B.

10.答案：ABD

解析：可以验证A,B,D均可以是该数列的通项公式；对于C,%=cos2]=0,不符

合，故C错误.故选ABD.

11.答案：ABC

解析：若％=-2应=2>1,则｛叫的各项为-2,-4,-8,…，是递减数列，A不正确；若等比

数列｛%｝的各项为-16,-8,-4,-2,…，是递增数列，则”;<1,B不正确，D正确；若

%=-!6,q=ge(O,l),则何｝的各项为T6,-8,-4,…，显然是递增数列，C不正确.

12.答案:BC

解析：对于选项A,由%=1,%=1，%+a“-2(”N3,〃eN")可得的=2,%=3,

%=5,4=8,则％+&#%+%，选项A错误；

对于选项B,an_2+an+2=an_2+an+l+an=an_2+an_x+an+an=3a",选项B正确;

对于选项c,由题可知，

a+a+aFa=a+(tz—a)+—%)HH(^2022—02020)=a2022>选项C正确;

t35202l242

对"丁1页D,出+04+&+…+。2020=(%-%)+(%-)+(07-%)+…+(。2021-42019)=“2021-1，

选项D错误.故选BC.

13.答案:5

解析：因为1所以当"26时，«„>0,且4>%>网>・・・，当

3n-163\3n-16J

“W5时，%<0,且见<。4<。3<?<%，所以当〃=5时，。,取得最小值.

14.答案：(-oo,3)

解析：由数列｛%｝是严格单调递增数列，得。“+「4>0,

2

BP(M+1)2-A(z?+1)-n+An-2n+｝—A>0,即彳<2〃+1(〃eN*J恒成立，

又数列｛2"+1｝是单调递增数列，

所以当"=1时，2〃+1取得最小值，最小值为3,所以2<3.

15.答案:(2,3)

/、f(3-a)x-3,x<7,

解析：由题意得，点(〃，。“)在分段函数〃》)=_r的图像上，

[ax6,x>7

因此当3-a>0时，fl1<a2<a3<­••<a7；

当a>l时，a8<a9<«io<■■->为使数列｛%,｝递增，还需。7<。8，

3—a>0,

故实数a满足条件小>1,解得2<a<3,故实数a的取值范围是(2,3).

/(7)</(8),

16.答案：78

解析：因为%+(-1)〃=2〃-1,

所以/—4=1,%+%=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a1+^6=11,as-a7-13,

cig+tz8—15,a]。一%=17,。]]+。]0=19,a1？一6i—21,

从第一个式子开始，相邻的两个式子作差得：％+%=%+%=%+%尸2.

从第二个式子开始，相邻的两个式子相加得：a4+a2=8,a6+a8=24,a10+a12=40,

把以上的式子依次相加可得：

S]?=q+%+…+11+42

=(〃i+。3)+(〃5+%)+(。9+&)+(〃2+〃4)+(〃6+/)+(。10+42)=2+2+2+8+24+40=78.

91

2

17.答案：an=33+H-H；—

解析：因为

—(“〃一％一1)+(%—1_%―2)---(“2_I)+q—2[(n—1)+(n-2)H----F1]+33=33+/—n(n>2),

当〃=1时，也满足上式，所以4=33+*一〃，所以=_=史+〃一1.

nn

设〃x)=±+x_l(x>0),由对勾函数的单调性，知/(X)在(庖,+00)上单调递增，在

X

(0,庖)上单调递减.因为“eN*,所以2有最小值.又*T，%£=斗，所以外的

n55662n

最小值为％斗.

62

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——（2）等差数列

1.已知｛4｝为等差数列，生+。9=28,则《=（）

A.14B.16C.18D.20

2.《海岛算经》有如下问题：某地有一佛塔共13层，每层塔的高度依次构成等差数

列，下面7层每层塔的高度之和为25.9米，第5层塔的高度为3.6米，则最上层的塔

高为（）

A.3B.2.9C.2.8D.2.7

3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为（）

A.5B.4C.3D.2

4.在等差数列｛%｝中，已知%=2,%+/+/=24,贝I]%+%+%等于（）

A.38B.39C.41D.42

5.已知数列｛%｝是单调递减的等差数列，？、%分别是方程必-6x+5=0的两根，则

。5=（）

A.7B.3C.lD.-1

6.已知在等差数列｛%｝中，出与4的等差中项为5,生与%的等差中项为7,则数列

｛%｝的通项公式为（）

A.a〃=2nB.。〃=2加一1C,an=2n+\D"=2〃一3

7.已知数列｛%｝满足q=1,且。“=（1+。“）%+1,”€、1,则%%++…+。2。20a2021=()

A.2021C.2LD.22021

-2s$=2,则乎的最小值为（）

8.设正项等差数列｛%｝的前n项和为S,,且满足品+S,

A.36B.24C.16D.8

9.有两个等差数列｛%｝,也｝,其前〃项和分别为5“和9.若方二白，则

%+4+%4+49

打+e+%+bl4（）

10.已知数列｛%｝为等差数列，首项％〉0,若4%1,则使得S.〉0的〃的最大值为

。1005

（）

A.2007B.2008C.2009D.2010

11.（多选）已知等差数列｛%｝的首项为1,公差为d（deN*）,若81是该数列中的一

项，则公差d可能的值是（）

A.2B.3C.4D.5

12.（多选）已知等比数列｛4｝的公比q=-三,等差数列出｝的首项4=12,若名〉为

且用。>如，则以下结论正确的有（）

A.a9-o10<0B.a9>al0C.bl0>0D.b9>bl0

13.（多选）若等差数列｛4｝的前〃项和为S,,且％>0,Sl0=S20,则下列结论中正确

的是（）

A.d<0B.[6<。

C.s“v几D.当且仅当〃》32时，S/0

14.在数列｛%｝中，已知。3=2,%=1，若为等差数列，则如=.

15.记S“为等差数列｛an｝的前〃项和.若2s3=3$2+6,则公差d=.

16.直角三角形的三条边长成公差为1的等差数列，则最短边长为.

17.已知数列｛%｝满足%=1,且（匕2）,则数列｛%｝的通项公式

an-•

Q1

18.已知在数列｛%｝中，4=、，%=2----（«>2,〃eN*）,数列｛4｝满足

a

5n-\

b“=^-r

（1）求证：数列抄“｝是等差数列；

（2）求数列｛%｝中的最大项和最小项，并说明理由.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为%+为=28,所以％=气％=14,

故选：A.

2.答案：C

解析：设该塔每层的高度自下而上依次构成的等差数列为｛%｝,公差为d,

则$7=7"%)=7%=25.9,Aa4=3.7,:.d=a5-a4=3.6-3.7=-0.1,

«13=a4+9d=2.8,故选C.

3.答案：C

解析：由已知，S奇-S偶=54=15,故1=3.

4.答案：D

解析：设等差数列｛%｝的公差为“，由％=2,出+/+%=24,得3x2+64=24,得

d=3,%+%+4—3%+12d=42.故选D.

5.答案：D

解析：求得方程——6x+5的两根分别为西=5,x2=l,因为数列｛%｝为递减等差数

列，所以的=5,。4=1，易得公差为-2,则。5=%+(-2)=-1.故选D.

6.答案：D

解析：由题意，得。2+%=1。=2%，贝11。4=5,。3+%=14=2%,贝1]%=7,故公差

d=a5-a4=2,所以=%+(〃-4)Q=2n-3,

7.答案：B

解析：由%=1及%=(1+%)。“+1可知a-0,所以」一=匕"=’+1,所以数列是

a

««+i«„n[anJ

首项为1=1,公差为1的等差数列，所以;=〃，即%=’,所以

an〃

,11111

4Zi6Zn++,•,+—lx1XF•••H-----X----=

3u。22320202021

.11111112020―

2232020202120212021

8.答案：C

解析：由题意得S9+S3-2s6=@9-S6）-36-$3）=2,则Sg-ia-Ss，邑是以2为公差,

$3为首项的等差数列，设星=》。>0）,则$6-W=X+2,S「S6=X+4,

则应=也£=回上鱼=鱼苴=宜包=x+电+[^+8=16,

a232ax+a2+a3S3xxVx

当且仅当》="，即x=4时等号成立，所以应的最小值为16,故选C.

xa2

9.答案:C

，

解析：设等差数列｛%｝,也｝的公差分别为4d2,所以

%+%+%4+。19%+%+&+%+13d]+%+18t/j

b[+b[+b[3+b]4b]+d?+4+6d2+4+12d?+&+13d2

q+84a934%17（%+。"）S173x1751,

--

1+风34/J-17（Z>1+617）T^~2X17+1"药•故选。

10.答案：B

解析：数列｛%｝为等差数列，若况<-1,则%。。4与%。。5异号.又首项4〉0,则公差

4005

99

d<0,所以。1004>。"1005<。则%004>—。10059即。1004+。1005〉°•由幕差数列的刖〃

项和公式及等差数列的性质可得$2。。8=⑼4(*+喙)>o'

加『。9(一二迎『=2。叫。。5<0’所以使得、>°的〃的最大值为

2008.故选B.

11.答案：ACD

QQ

解析：v81=l+(n-l)d,/.(n-l)d=80,/.d=------,

n-1

•・・〃和d都为正整数，，〃=41时，d=2,故选项A正确；

当d=3时，〃=?,不成立，故选项B错误；

〃=21时，d=4,故选项C正确；

〃=17时，d=5,故选项D正确.

故选：ACD.

12.答案：AD

解析：对A,\,等比数列｛%｝的公比9=-§,，为和qo异号，故A正

确；

对B,因为不确定。9和40的正负，所以不能确定％和10的大小关系，故B不正确；

对CD,••・。9和%0异号,且。9〉为且见0〉仇0，；也和狐中至少有一个数是负数，又

-：bx=12>0,：.d<Q,b9>bw,故D正确，，狐一定是负数，即篇<0,故C不正

确.故选：AD.

13.答案:ABC

解析：因为在等差数列｛%｝中I。=$20,所以％1+牝+…+%9+。20=5(%5+%6)=0.又

%>0,所以％5>。，％6<。，所以c/<0,Sn<Sl5,故A,B,C正确；因为

$3小亚詈1=3监6<0,故D错误.故选ABC.

14.答案：-

解析：由已知得一==5，:是等差数列的第3项和第7项，其公差

4+13%+12［为+1

111121

d_33.1，由止匕可得y^=^j+(ll_7)d=w+4x五=5,解得知=弓.

a-——41+1%+122432

7-324117

15.答案：2

解析：因为2s3=3邑+6,所以2(%+a2+%)=3(%+4)+6,化简得3d=6,得d=2.

16.答案:3

解析：设最短边长为4,则a?+(々+1)2=(°+2)2,解得4=3(舍去负值).

解析:("N2),

.■.3"an=3"T%+l(n>2),即3"%-3"&=1(»>2).

又q=1,31•％=3,

厂.数列｛3〃4｝是以3为首项，1为公差的等差数列，

3"cr„=3+(H-1)X1=/7+2，，数列｛%｝的通项公式=二二

18.(1)答案：证明见解析

解析：因为%=2——，bn=--

所以当〃》2时，

%Tan-\-1

2-------an-\-1an-\~1

an-lJ

又4=」7=-所以数列｛4｝是以为首项、1为公差的等差数歹U.

(2)答案：当〃=3时，％取得最小值-1；当〃=4时，。“取得最大值3

7

解析：由(1)知，bn=n--,

2

设函数/(x)=l+7-易知/(x)在区间上为减函数.

当〃=3时，a“取得最小值-1；

当〃=4时，％取得最大值3.

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（3）等比数列

1.已知等比数列｛•“｝满足%=3,%+%+。5=21,则%+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

2.等比数列｛叫的公比为q,前〃项和为S”设甲:q＞。,乙:电｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.若等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比为（）.

A.2B.-2C.2或-2D.2或1

4.在等差数列｛%｝和正项等比数列也｝中，al0ll=b5,4也=16,则｛%｝的前2021项和

为（）

A.2021B.4042C.6063D.8084

5.设等差数列｛为｝的公差4*0,q=4d,若%是生与％出的等比中项，则上的值为（）

A.3或6B.3或-1C.6D.3

6.已知等差数列｛。“｝的首项和公差均不为0,且满足。2，%，四成等比数列，则

%++a\\

的值为（）

II

7.设等比数列｛%｝的前〃项和为S”，则式丁=（）

A.—B.—C.—D.3

342

8.已知数列｛。“｝的首项为=1,前〃项和为与，且满足2%+]+S“=2（〃eN*）,贝lj满足

1001S,“11»

由＜面的〃的最大值为（）

A.7B.8C.9D.10

9.设等比数列｛为｝的前〃项和为S“，且满足4+%=：'=9S3,若”=10殳°“，则数列

｛4｝的前10项和是（）

A.-35B.-25C.25D.35

10.已知S”是等比数列｛“”｝的前〃项和，若存在满足畜=28,竽=

amrrl£

则数列｛%｝的公比为（）

A.：B，7C.2D.3

23

11.（多选）已知数列｛%｝是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）

A.<—>B.｛log2^｝C.｛%+a“+i｝D.,,,+4+1+4+2｝

q一

12.（多选）在公比q为整数的等比数列｛%｝中，S,是数列｛"J的前〃项和，若

%+。4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是（）.

A."2B.数列电+2｝是等比数列

C.纵=510D.数列｛1g%｝是公差为2的等差数列

13.（多选）设S“是单调的等比数列｛《,｝的前〃项和，若%=1%%=］，则（）

A.B.公比为-1

o2

C.%+s“为常数D.K-2｝为等比数列

14.已知数列｛%｝是首项为2,公比为3的等比数列，若数列也｝满足仇=%,

4+1=anbn，贝U也｝的通项公式2=.

15.一个等比数列中，前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该

数列有项.

16.已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前〃项和为S”，若品=&+2艮，则当£+/取

得最小值时，4的值为.

17.若数列｛«„）的前n项和S,=2"-1,则ata2+a2a3+a3a4+…+anall+l=.

18.已知等比数列｛4｝的前〃项和为，，E，S3,S2成等差数列.

（1）求｛g｝的公比q；

（2）若%-%=3,求S“.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设等比数列｛叫的公比为式#0）,则q+"2+砥4=21,又因为％=3,所以

+^2-6=0,解得d=2,所以％+。5+。7=（%+。3+。5>r=42,故选B.

2.答案：B

解析：本题考查等比数列的定义和求和、充要条件.若％<o,q>。,则｛5｝是递减数列.

若电｝是递增数列，则s“+「邑=。.=砧">0,一定可得叱0.故甲是乙的必要条件但不

是充分条件.

3.答案：C

解析：由3=N，得1+/=17,q=+2.

Ss1-q

4.答案：D

解析：在正项等比数列也｝中，44=7=16,解得%=4,即初=4,所以数列｛叫

的前2021项和S2021=2021（丁必）=202监。”=8084,故选D.

5.答案：D

解析：因为久是生与」的等比中项，所以所以[%+（左-1）"=%[%+（2”1）目.

又％=44,所以(左+3)2屋=4小(2左+3)d,所以笈=3.

6.答案：A

解析：已知等差数列｛%｝的首项为和公差d均不为0,且满足出吗当成等比数列,

2

(q+4d『=(%+4)(q+64),10d=-axd.'：d,「.-104=%,

.%+4+3。］+17d—30t7+17d13

…4+%+4o-3%+16d--30d+16d-17,故选A,

7.答案：A

S1

解析：设｛%｝的公比为q,由E不=1，得S=3邑，显然4彳±1，则

d2+d44

%（1一力;3q（1一步,所以i+/=3,所以4=/^=/=；.故选A.

\-q1-q出+。42+白2g1+q3

8.答案：C

解析：因为2a.+i+S.=2,所以2a“+S,T=2(〃N2),两式相减，得2%=%(〃22).又

%=1，出=；，所以何｝是首项为1,公比为;的等比数列，缁+即

乙乙1UUUJ1U

嬴＜£4，则〃的最大值为9.

9.答案:C

"1(1+/)=1,

解析：设等比数列｛%｝的公比为小由题意知贝IJ〃.解得

［言。-力=2。-打

/=丁所以%=JX2I=2，T,所以a=〃_3,所以数列出｝的前10项和

q=2,

见二10(4；'°)=5*(-2+7)=25.故选C.

10.答案：D

s

解析：设等比数列｛叫的公比为q.当4=1时，$=2片28,不符合题意.当时，

m

q2m+21

^■=28=28,得q6=27.又&"=

S,"i-qamm-2

qm=——-=27,解得根=3,r./=27,.“=3,故选D.

m-2

11.答案：AD

解析：A项，设则”=&=L即｛4｝是以'为首项，,为公比的等比

数列，故A项正确；

B项，取4=2",贝Ijlog2(%)2=log2(212=2〃，即］log2(aj｝是等差数列而不是等比

数列，故B项错误;

C项，取%=(-1)",则%+%申=0,｛%+%+］｝不是等比数列，故C项错误;

设q,=a+a+a,则q=4+4+/=%(l+q+/)=a

D项,nn+ln+2i+|»

CCi+H+Cl

且3="2*3=q,所以｛c“｝是等比数列，故D项正确.

Cn+an+\4+2

12.答案:ABC

解析：由q+%=18,a2+a3=12,得q(l+“=18,%(q+/)=12,由公比q为整数，解

彳导%=g=2,

.一c2(27)

••%―,3=-------二2-2，

2-1

.•.S,+2=2"M,.•.数列｛0+2｝是公比为2的等比数歹!],，S8=29-2=510,

又「lg6="lg2,数列｛1g%｝是公差为lg2的等差