天津市2023年九年级数学上册期末考试模拟卷（含详解）

天津市2023年九年级数学上册期末考试模拟卷

（满分120分）

一、选择题（共36分）

1.下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（）

Q29B

2.下列事件中是必然事件的是（）

A.打开电视机，正在播放《开学第一课》B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

C.任意画一个三角形，其内角和是180°D.买一张彩票，一定不会中奖

3.下列各点中，在函数y=-9图象上是（

X

C.（-1,6）D.,3）

A.（-2,-4）B.（2,3）

4.解一元二次方程/一2%—3=0，配方后正确的是（）

A.（x—1）2=2B.（1）2=3C.（I）-D.（1）2=5

5.小明向图中的格盘中随意掷一棋子，使之落在三角形内的概率是（）

15

CD

3-9-

6.如图，在AABC中，ZBAC=55°,ZC=20°,将△ABC绕点A逆时针旋转a角度（0<a<180。）得到△ADE,

若0E//A8,则a的值为（）

A.65°B.75°C.85°D,130°

7.如图，PA,尸8是。。的切线，A,B为切点,AC是。。的直径，ZBAC=28°,则/P的度数是（）

A.50°B.58°

C.56°D.55°

8.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成

本是5000元.设生产成本的年平均下降率为羽下列所列的方程正确的是（）

A.6000（1+x）2=5000B.5000（1+x）2=6000

C.6000（1-%）2=5000D.5000（1-%）2=6000

9.若点A（—l,y）,B（2,y2）,C（3,%）在抛物线y=—2炉+8x+c的图象上，则y,%，%的大小关系是

（）

A.%<为<MB.%<%<%c.M<%<%D.%<M<%

10.圆锥的底面直径是8,母线长是9,则该圆锥的全面积为（）

A.36兀B.52兀C.10071D.13671

11.若夕是方程V+2x—2024=0的两个实数根，则〃+3&+，的值为（）

A.2015B.2022C.-2015D.4010

12.如图，点P是反比例函数y=K（左H0）图象上任意一点，过点尸作轴，垂足为以，若，的面

积等于5,则左的值等于（）

A.2.5B.10C.-10D.-5

二、填空题（共18分）

13.点P（2,—3）关于原点对称点P'的坐标为.

14.一个仅装有球的不透明布袋里共有5个球（只有颜色不同），其中3个球红色，2个球白色.从中任意摸出一

个球，摸到球的颜色是红色的概率为.

15.将二次函数y=（x-2）2-4的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析

式为___________

16.若关于尤的一元二次方程mx2-3x=-1有实数根，则m的取值范围是.

17.如图，。的直径是为10cm,弦AC为6cm,/ACfi的平分线交（0于点。，则3。+人。=

18.点A是反比例函数在第一象限内图象上一点，过点A作轴，垂足为点8,△。43的面积是1,则下

列结论中，正确的是（填序号）.

2

①此反比例函数图象经过点（1,1）；②此反比例函数的解析式为y=—；③若点（上。）在此反比例函数图象上，贝U

X

点（-a,-6）也在此反比例函数图象上；④点A（不，%）,5（%,%）在此反比例函数的图象上且为＜%＜0,贝I

为＜%•

三、解答题（共（共66分）分）

19.解方程：

（1）3%—4=0.

（2）2X2+5X-1=0

20.产权保护特别是知识产权保护是塑造良好营商环境的重要方面，保护知识产权就是保护创新，10年来，我国知

识产权法律制度不断完善，保护力度持续增强.为增进社会公民对知识产权的了解、增强知识产权保护意识，校志

愿者团队准备从A,B,C,。四名志愿者中通过抽卡片的方式确定两名志愿者参加.抽签规则：将四名志愿者的名

字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，

记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

（1）“A志愿者被选中”是事件；（填“随机”“不可能”或“必然”）

（2）请你用列表法或画树状图法求出A,8两名志愿者被选中的概率.

21.如图1,用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12

米.设的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米，

(1)分别用含X代数式表示BC与S；

(2)若S=54,求尤的值；

(3)如图2,若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当尤为何值时，S取最大值，

最大值为多少？

22.如图，已知AB是的直径，班)是的弦，延长班)到点C，使A3=AC,过点。作垂

足为E.

A

(1)求证：DC=BD；

(2)求证：DE为，。的切线；

(3)点尸是AC与。的交点，若AB=5,BD=3,求CF.

23.如图，反比例的数y=2(尤＞0)的图象经过点A(2,4)和点8,点8在点A的下方，AC平分NQW,交x轴

(1)求反比例函数的表达式.

(2)尺规作图：作出线段AC的垂直平分线，分别与。4、交于点。、E.(要求：不写作法，保留作图痕

迹)

(3)在(2)的条件下，连接CD.求证：CD//AB.

24.已知44BC中，AB=AC,D、E是3C边上的点，将A/WZ)绕点A旋转，得到AACZ7,连结Z/E.

A

D'

D'D'

BDECBDECBDEC

图1图2图3

(1)如图1,当NB4C=120°,NZME=60°时，求NOAE的度数；

(2)如图2,当DE=Z7E时，求证：ZDAE=-ZBAC.

2

(3)如图3,在(2)的结论下，当4AC=90°,BD与满足怎样的数量关系时，△DEC是等腰直角三角

形？(直接写出结论，不必说明理由)

25.如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(-2,0)、(0,-4),点B在x轴上，已知某二次函数

的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=2,点尸为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P

与B、C不重合)，过点尸作y轴的平行线交BC于点?

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若设点尸的横坐标为m,用含m的代数式表示线段P尸的长.

(3)求APBC面积最大值，并求此时点尸的坐标.

天津市2023年九年级数学上册期末考试模拟卷

（满分120分）

一、选择题（共36分）

1.下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个图形重

合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得.

【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以不

是中心对称图形，

选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：B.

【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，该图形绕这个点旋转180度后能与自身

重合.

2.下列事件中是必然事件的是（）

A.打开电视机，正在播放《开学第一课》B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

C.任意画一个三角形，其内角和180°D,买一张彩票，一定不会中奖

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件是一定条件，一定会发生的事件，进行判断即可.

【详解】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；

B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

C、任意画一个三角形，其内角和是180°,是必然事件，符合题意；

D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；

故选C.

3.下列各点中，在函数y=-9图象上的是（）

X

A.（-2,-4）B.（2,3）C.（—1,6）D，

【答案】C

【解析】

【分析】把各点代入解析式即可判断.

【详解】解：A.V(-2)x(-4)=8#6,

.,•此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误;

B.V2x3=6#6,

.,•此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误;

C.V(-l)x6=-6,

...此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误.

故选C.

【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是将各点代入解析式.

4.解一元二次方程必一2尤—3=0，配方后正确是()

A.(尤―1『=2B.(x—1『=3C.(1)2=4D.(1)2=5

【答案】C

【解析】

【分析】先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可.

【详解】解：移项得，炉-2x=3，

方程两边同时加1得，X2-2X+1=3+1<

即(if=*

故选：C.

【点睛】本题考查的是解一元二次方程-配方法，熟知用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键.

5.小明向图中的格盘中随意掷一棋子，使之落在三角形内的概率是()

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】先设小正方形的边长为1,求正方形和三角形的面积分别为9和3,再用面积比求概率.

【详解】设小正方形的边长为1,则正方形的面积为9,三角形的面积为《x3x2=3,所以，棋子落在三角形内

2

的概率是一.

3

故选C.

【点睛】本题考核知识点：几何概率.解题关键点：本题将概率的求解设置于两种图形中，考查学生对简单几何

概念的掌握情况，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.

6.如图，在AA8C中，ZBAC^55°,NC=20。，将△ABC绕点A逆时针旋转a角度（0<a<180。）得到AAOE,

若。E//A8,则a的值为（）

A.65°B.75°C.85°D.130°

【答案】B

【解析】

【分析】根据旋转的性质及题意易得NEAB的度数，然后直接进行求解即可.

【详解】解：•.•在AABC中，ZBAC=55°,ZC=20°,

AZABC=180°-ABAC-ZC=180°-55°-20°=105°,

:将AABC绕点A逆时针旋转a角度（0<a<180°）得到△ADE,

/ADE=ZABC^105°,

\'DE//AB,

：.ZADE+ZDAB

：.180°-/ADE=15。

旋转角a的度数是75°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求

解.

7.如图，PA,PB是。。的切线，A,2为切点，AC是。。的直径，/BAC=28°,则/P的度数是（）

A.50°B.58°

C.56°D.55°

【答案】C

【解析】

【分析】利用切线长定理可得切线的性质的B4=P8,CArPA,则=NC4P=90，再利用互

余计算出NR45=62，然后在根据三角形内角和计算出的度数.

【详解】解：：幺，PB是。。的切线，A,8为切点，

：.PA=PB,CA^PA,NC4P=90

NPAB=NPBA=62

在△ABP中

ZPAB+ZPBA+ZP^180

•••NP=56

故选：C.

【点睛】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，熟练掌握切线长定理以及切线性质是解题的关键.

8.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成

本是5000元.设生产成本的年平均下降率为x,下列所列的方程正确的是()

A.6000(1+%)2=5000B.5000(1+x)2=6000

C.6000(1-X)2=5000D.5000(1-%)2=6000

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，通过设出生产成本的年平均下降率为无，从而得到第

一次下降后的成本为6000(1-%)元，第二次下降后的成本为6000(1-元是解题的关键.

【详解】解：设生产成本的年平均下降率为尤，

由题意得，6000(1-%)2=5000,

故选C.

9.若点A（-Lx）,B（2,%），C（3,%）在抛物线y=—2炉+8%+。的图象上，则X，为,％的大小关系是

A.%<%<%B.%<%<%c.凶<%<%D.%<M<%

【答案】C

【解析】

【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系.

【详解】解：•.•抛物线y=—2必+8%+。中。=一2<0,

8

抛物线开口向下，对称轴为直线x=-「r^=2,

2x（-2）

:点A（—l,y）的对称点为（5,y）,

又：5>3〉2,即（5,y）,C（3,%）三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小.

y<%<%，

故选：c

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.

10.圆锥的底面直径是8,母线长是9,则该圆锥的全面积为（）

A.36兀B.52JIC.IOO71D.136/1

【答案】B

【解析】

【分析】圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2,圆锥的底面积=底面半径的平方x〃，把相应数值代入即可求解.

【详解】解：圆锥的侧面积=%x8x9+2=36万，

圆锥的底面积==16%,

圆锥的全面积=36万+16万=524，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求圆锥的全面积，熟知圆锥的侧面积和底面积的求法是解题的关键.

11.若a,夕是方程V+2x—2024=0的两个实数根，则M+3a+，的值为（）

A.2015B.2022C.-2015D.4010

【答案】B

【解析】

【分析】由根与系数的关系，得到a+分=-2,a-£=-2024,由方程的根可得〃+2a=2024,然后代入变形后的

式子求值，即可得到答案.

【详解】解：Qa，夕是方程好+2%—2024=0的两个实数根，

•,•«+/?=-2,a2+2a^2024,

••原式=+2a+a+,

=2024+（-2）

=2022.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与

系数的关系.

12.如图，点P是反比例函数y（左/0）的图象上任意一点，过点P作PA7_L尤轴，垂足为若,的面

积等于5,则左的值等于（）

A.2.5B.10C.-10D.-5

【答案】C

【解析】

【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解.

【详解】解：PAfLx轴，的面积等于5,

左1=5,

•.•图象在第二象限，k<0,

k=—10,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键.

二、填空题（共18分）

13.点P（2,—3）关于原点对称点P'的坐标为.

【答案】（-2,3）

【解析】

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答.

【详解】解：点P(2,-3)关于原点对称点的坐标是(-2,3).

故答案为:(-2,3).

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键.

14.一个仅装有球的不透明布袋里共有5个球(只有颜色不同)，其中3个球红色，2个球白色.从中任意摸出一

个球，摸到球的颜色是红色的概率为.

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率.

【详解】解：因为袋子中共有5个球，其中红球有3个，

3

所以从中任意摸出一个球，是红球的概率为《，

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

15.将二次函数y=(尤-2)2-4的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析

式为___________

［答案］y=(x-l)2-2

【解析】

【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答.

【详解】解：：y=(x-2)2-4的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，

新抛物线对应的函数解析式为y=(九—2+Ip—4+2,

即y=(1)2_2,

故答案：y=(x-l)2-2.

【点睛】此题考查二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下

减.

16.若关于x的一元二次方程twc2-3%=-1有实数根，则m的取值范围是.

3

【答案】加0—且机#0

2

【解析】

【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△NO即可得出关于根的一元一次不等式组，解之即可得出结论.

【详解】解：・・・关于X的一元二次方程加43x+l=0有实数根，

w0

A=9—4m>0'

3.

解得：加0—且mWO.

2

3

故答案为：加0一且机加.

2

【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式AK）列出关于加

的一元一次不等式组是解题的关键.

17.如图，。的直径是A?为10cm,弦AC为6cm,NAC5的平分线交一。于点O,贝U5C+AD=

【答案】（8+5夜卜m

【解析】

【分析】首先根据圆周角定理可得NACfi=90°,ZADB=90°,NACD=4CD再利用勾股定理计算出3C,

AD的长，即可得到答案.

【详解】解：AB是直径，

:.ZACB=90°,ZADB=90°,

AB=10cm,AC=6cm,

,-.^=7102-62=8（cm）,

ZACB的平分线交OO于点D,

:.ZACD=ZBCD,

AD=BD，

ZADB=9Q0,

:.AD2+BD2=AB2^

AD=BD=5&cm，

/.BC+AD=^8+5A/2cm.

故答案为：（8+5V2）cm.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周

角所对的弦是直径.

18.点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作ABSx轴，垂足为点B,△。43的面积是1,则下

列结论中，正确的是（填序号）.

①此反比例函数图象经过点（1,1）；②此反比例函数的解析式为y=—；③若点（a,。）在此反比例函数图象上，则

点（-a,-6）也在此反比例函数图象上；④点A（%,X）,5（W，%）在此反比例函数的图象上且为<%<0,贝U

【答案】②③##③②

【解析】

2

【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义可得此反比例函数解析式为y=—,即可判断①②；根据反比例函数

x

的对称性即可判断③；根据反比例函数的增减性即可判断④.

k

【详解】解：设点A所在的反比例函数解析式为y=—（左>0）,

：451兀轴，点4在反比例函数丁=与左>0）图象上，△OA3的面积是1,

X

：.-=!,

2

k=2,

2

・•・此反比例函数解析式为丁=—,故②正确；

x

2

当x=l时，y=—=2,即反比例函数图象经过点（1,2）,不经过点（1,1）,故①错误；

..•点（a,。）在此反比例函数图象上，

由反比例函数的对称性可知，点也在此反比例函数图象上，故③正确；

..•反比例函数解析式为y=2,

X

・・・反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，

:点A（%,y^）,B（x2,%）在此反比例函数的图象上且m<%<0，

；•丹〉为，故④错误；

故答案为：②③.

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的

几何意义求出反比例函数解析式是解题的关键.

三、解答题（共（共66分）分）

19.解方程：

(I)3%—4=0.

(2)2X2+5X-1=0

【答案】(1)%=4,々=T；

,c、-5+，33-5-J33

⑵%=---------,招=---------

1424

【解析】

分析】(1)用十字相乘法解此一元二次方程即可;

(2)用配方法解此一元二次方程即可.

【小问1详解】

x2—3x—4=0

(x-4)(%+l)=0

%-4=。或x+l=0

解得：玉=4,々=—1;

【小问2详解】

2x2+5%—1=0

2525125

%+—XH------二—H-------

216216

2

x+：(33

I一记'

5,底

x-\—=±-----，

44

-5+733-5-麻

解得：%]-----------，X2=-----------

424

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，要注意不同的方程要用不同的方法，关键是方程有根.

20.产权保护特别是知识产权保护是塑造良好营商环境的重要方面，保护知识产权就是保护创新，10年来，我国知

识产权法律制度不断完善，保护力度持续增强.为增进社会公民对知识产权的了解、增强知识产权保护意识，校志

愿者团队准备从A,B,C,。四名志愿者中通过抽卡片的方式确定两名志愿者参加.抽签规则：将四名志愿者的名

字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片,

记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

（1）“A志愿者被选中”是事件；（填“随机”“不可能”或“必然”）

（2）请你用列表法或画树状图法求出42两名志愿者被选中的概率.

【答案】（1）随机（2）A,B两名志愿者被选中的概率为,

6

【解析】

【分析】（1）由随机事件的定义即可得出结论；

（2）列表得出共有12种等可能结果，其中A,3两名志愿者被选中的有2种结果，再由概率公式求解即可.

【小问1详解】

解：“A志愿者被选中”是随机事件，

故答案为：随机;

【小问2详解】

解：列表如下：

ABCD

A\(5,A)(C,A)(£),A)

B(AB)\(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)\(D,C)

D(AD)(B,D)(C,D)\

由表可知，共有12种等可能结果，其中A,5两名志愿者被选中的有2种结果，

A,8两名志愿者被选中的概率为2=工.

126

【点睛】此题考查的是用列表法求概率以及随机事件的概念.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.如图1,用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12

米.设A3的长为x米，矩形A3CD菜园的面积为S平方米，

(1)分别用含X的代数式表示3C与s；

(2)若S=54,求尤的值;

(3)如图2,若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当尤为何值时，S取最大值,

最大值为多少？

【答案】（1）BC=33-3x,S=—3f+33x

(2)9(3)当x=8时，S有最大值，最大值为一3x(8—6y+108=96.

【解析】

【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正

确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键.

(1)根据矩形的性质列式求出3C,再根据矩形面积公式求出S即可；

(2)根据(2)所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；

(3)先求出S=-3f+36无，再求出尤的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：由题意，BC=33-3x,

则矩形A3CD菜园的面积为S=x(33—3x)=—3/+33x；

【小问2详解】

解：当S=54时，由54=—3f+33%得炉―1卜+18=0，

解得％=2,x2-9,

:墙长为12米，

.-.0<33-3x<12,则7Wx<H,

­,■x=9,

答：X值为9；

【小问3详解】

解：由题意，BC=33+2x1.5-3%=36-3%,

/.S=%（36-3%）=-3/+36%=-3（%-6）2+108,

:墙长为12米，篱笆长为33米，

.••0<36-3x<12,

.••8<x<12,

3<0,

.,.当x=8时，S有最大值，最大值为一3x(8—6)2+108=96.

22.如图，已知45是〔。的直径，BD是，。的弦，延长3D到点C，使A3=AC,过点。作DE/AC,垂

足为E.

(1)求证：DC=BD；

(2)求证：DE为，。的切线；

(3)点尸是AC与。的交点，若AB=5,BD=3,求CF.

【答案】(1)见解析(2)见解析

⑶史

5

【解析】

【分析】(1)A3是：。的直径，则NADfi=90°,由等腰三角形的性质得到DC=5£>；

(2)连接OD,可证OD是VABC的中位线，则8〃AC,可得NODE=NCED,又由QE/AC得到

ZCED=90°,则NODE=90°,根据切线判定定理即可得到结论；

(3)先求得A5=AC=5,CD=BD=3,AD=4,由等积法求得OE=(,由勾股定理得到CE=—,连接

55

1Q

DF,可证得VCDF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得仃=2虑=可.

【小问1详解】

证明：是：。的直径，

ZADB=9Q0,

又；AB=AC,

...VA3C是等腰三角形，

DC=BD；

【小问2详解】

连接OD,

OA=OB,CD=BD，

0。是VA3C的中位线，

/.OD//AC,

：.AODE=ACED,

又,：DELAC,

ZCED=90°,

：./ODE=90°,

即。DIDE,

,/。£＞是〈。的半径，

:.DE为OO的切线.

【小问3详解】

,：AB=5,BD=3,

AB=AC=5，CD=BD=3,AD-AB2-BD2=4，

■:SAS=-ADCD=-ACDE,

,22

“ADCD4x312

DE=----------=------=——，

AC5-

•••CE=y/CD--DE2=

连接。F,

•••VA3C是等腰三角形，ZADB^90°,

：.ABAD=ACAD,

/.BD=DF,

CD=DF,

...VCD尸是等腰三角形，

•1,DEIAC,

/.CF=ICE=—

5

【点睛】此题考查了圆周角定理，弧、弦、圆周角之间的关系，切线的判定定理、三角形中位线定理、等腰三角

形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.

k

23.如图，反比例的数y=—(x>0)的图象经过点A(2,4)和点8,点B在点A的下方，AC平分交x轴

(1)求反比例函数的表达式.

(2)尺规作图：作出线段AC的垂直平分线，分别与。4、交于点。、E.(要求：不写作法，保留作图痕

迹)

(3)在(2)的条件下，连接CD.求证：CD//AB.

Q

【答案】(1)y=—

x

(2)详见解析(3)详见解析

【解析】

【分析】本题考查了作图一基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性

质，平行线的判定，角平分线的定义等知识.解题的关键是熟练掌握五种基本作图(作一条线段等于已知线段；作

一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)

(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；

(2)利用基本作图作线段AC的垂直平分线即可；

(3)根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到44C=N£>C4,然后利用平行线的判定即可得证.

【小问1详解】

解：：反比例函数y=-(x>0)的图像经过点4(2,4),

k

・••当x=2时，一二4,

2

k=8,

Q

反比例函数的表达式为：y=—；

x

【小问2详解】

解：如图，直线DE即为所作；

【小问3详解】

解：证明：如图，

,/直线DE是线段AC的垂直平分线,

：.AD=CD,

：.ZDAC=ZDCA,

,：AC平分/OAB,

：.ADACABAC,

ZBAC=ZDCA,

，CD//AB.

D、E是3c边上的点，将AABZ）绕点A旋转，得到AACO,连结DE.

(1)如图1,当NB4C=120°,NZME=60°时,求NOAE1的度数;

(2)如图2,当。E=OE时，求证：ZDAE^-ZBAC.

2

(3)如图3,在（2）的结论下，当44C=90°,BD与DE满足怎样的数量关系时，△DEC是等腰直角三角

形？（直接写出结论，不必说明理由）

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）DE=42BD

【解析】

【分析】（1）由旋转得AD=AO,NC4"=44D,根据44C=120。，NA4E=60°即可得到NEME的度数;

（2）证明ADEWIADE即可推出NDAE=|ZBAC■,

(3)由(2)的条件求得NDCE=90。，=根据△〃£■<?是等腰直角三角形得到。E=&C。，再由

BD=CD得到DE=4IBD.

【详解】(1)解：A4BD绕点A旋转得到AACD,

:.AD^AD,ZCAn=ZBAD,

NR4c=120。，ZZME=60°,

ZDAE=ACAD+ZCAE=ZBAD+ZCAE=ZBAC-ZDAE

=120°-60°=60°,

:./DAE=NDAE=60，

(2)证明：在A4DE和AAOE中，

AD=AD'

<AE=AE,

DE