人教版八年级数学 13.4课题学习 最短路径问题（学习、上课课件）

13.4课题学习最短路径问题第十三章轴对称逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2最短路径问题建桥选址问题类型问题作法最小值一线两点型两点在直线异侧在直线l上找一点P，使PA＋PB

最小连接AB，与直线l的交点即为点PPA＋PB的最小值为AB的值知识点最短路径问题1知1－讲类型问题作法最小值一线两点型两点在直线同侧(将军饮马问题)在直线l

上找一点P，使PA＋PB

最小作点A关于直线l

的对称点A′，连接A′B，与直线l

的交点即为点PPA＋PB的最小值为A′B的值知1－讲两线一点型在直线l1，l2

上分别求点M，N，使△PMN

的周长最小分别作点P

关于两直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′P″，与两直线的交点即为点M，N△PMN周长的最小值为P′P″的值知1－讲两线两点型在直线l1，l2

上分别求点M，N，使四边形PMNQ

的周长最小分别作点P，Q

关于直线l1，l2

的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两直线的交点即为点M，N四边形P

MNQ周长的最小值为P′Q′＋PQ

的值知1－讲特别解读1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题是根据“两点之间，线段最短”来设计的.2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的两点，依据异侧两点的方法找点.知1－讲[情境题生活应用]某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B

两个居民小区送电．例1解题秘方：扣住两点是在直线同侧还是异侧两种类型解决问题.知1－练方法点拨：解决“一线两点”型最短路径问题的方法当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点.知1－练(1)如果居民小区A，B

在主干线l

的两侧，如图13.4-1，那么分支点M

在什么地方时总线路最短？解：如图13.4-1，连接AB，与l

的交点即为所求的分支点M.知1－练(2)如果居民小区A，B

在主干线l

的同侧，如图13.4-2，那么分支点M

在什么地方时总线路最短？解：如图13.4-2，作点B

关于l

的对称点B1，连接AB1交l

于点M，连接BM，此时AM＋BM

最短，则点M

即为所求的分支点.知1－练1-1.如图，在正方形网格中有M，N

两点，在直线l

上求一点P

使PM＋PN

最短，则点P应选在()A.A

点B.B

点C.C

点D.D

点C知1－练1-2.如图，在等边△ABC

中，D，E

分别为边BC，AB

的中点，AD=3，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP＋EP

的最小值为______

.3知1－练如图13.4-3，牧马营地在点P

处，每天牧马人要赶着马群先到草地a

上吃草，再到河边b

处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.例2知1－练解题秘方：要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，利用轴对称的性质进行转化.方法点拨：解决“两线一点”型最短路径问题的方法分别以两线为对称轴，作已知点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段.知1－练解：如图13.4-3，作点P关于直线a

的对称点P1，关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b

于点A，B，连接PA，PB.知1－练由轴对称的性质知，PA=P1A，PB=P2B，则先沿PA

到点A

处吃草，再沿AB

到点B处饮水，最后沿BP

回到营地，此时PA＋AB＋PB=P1A＋AB＋P2B=P1P2，按这样的路线放牧所走的总路程最短.知1－练2-1.如图，在四边形ABCD

中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，当△AMN

的周长最小时，求∠AMN＋∠ANM

的度数.知1－练解：如图，分别作点A关于直线BC，CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN，则A′A″的长即为△AMN的周长的最小值．作DA的延长线AH.知1－练∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.易知∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.知1－练例3如图13.4-4，为了做好元旦期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A

处出发，先到公路l1

上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到达B

地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？知1－练解题秘方：要使总路程最短，需要将三条线段想办法转化到一条线段上，可通过两次轴对称构造出最短路线.方法点拨：解决“两线两点”型最短路径问题的方法以两线为对称轴，分别作靠近线的点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段.知1－练解：如图13.4-4，(1)作点A

关于直线l1

的对称点A′；(2)作点B

关于直线l2

的对称点B′；(3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交于C，D

两点，连接AC，BD，则沿路线A→C→D→B

走才能使总路程最短.知1－练3-1.如图，AB是∠

MON内部的一条线段，在∠MON

的两边OM，ON上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？知1－练解：先作点A关于OM的对称点E，再作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM于点C，交ON于点D，连接AC，BD，则四边形ABDC即为所求．知1－练知识点建桥选址问题2知2－讲问题作法最小值已知两点A，B，直线m∥n，在直线m，n

上分别取点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋NB

最小将点A

沿与直线m，n

垂直的方向平移至点A′，使AA′的长等于直线m，n之间的距离，连接A′B，交直线n

于点N，过点N作NM⊥m

于点M，连接AMAM＋MN＋NB的最小值为A′B＋MN的长知2－讲特别解读解决连接河两边两地的最短路径问题时，可以通过平移桥的方法转化为求直线异侧两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.知2－讲如图13.4-5，从A

地到B

地要经过一条小河(河的两岸平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应如何选择桥的位置才能使从A

地到B

地的路程最短？例4知2－练解题秘方：如图13.4-5，设桥为MN，则从A

到B

要走的路线为A→M→N→B.因为河宽不变，所以要使路程最短，只要AM＋BN

最小即可，从而可利用平移桥的方法转化问题为求直线异侧两点到直线上一点所连线段的和最小的问题，从而确定MN的位置.知2－练解：如图13.4-5，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽，连接BC，与河岸GH

相交于点N，过点N

作NM⊥EF

于点M，则MN

为所建桥的位置.知2－练4-1.如图，A，B

两地之间有两条等宽且互相平行的河，若要在河流1上建一座桥QP，在河流2上建一座桥MN，则桥建在何处可使从A

地到B

地的路径最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？知2－练解：如图，将点A沿与河流1垂直的方向平移一个河宽到A1，将点B沿与河流2垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条