沪科版八年级数学 15.3 等腰三角形（学习、上课课件）

15.3等腰三角形第15章轴对称图形与等腰三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质等边三角形的性质等腰三角形的判定等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质知识点等腰三角形的性质知1－讲11.

定理1

等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图15.3-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.知1－讲特别提醒1.适用条件：必须在同一个三角形中.2.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证明角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.知1－讲2.

定理2

等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边(简称“三线合一”).如图15.3-1，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝DC)；(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC).知1－讲特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.知1－讲3.

对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.知1－练例1如图15.3-2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；(3)若BC＝3cm，求BD的长.解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.知1－练(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.

知1－练(3)若BC＝3cm，求BD的长.

知1－练1-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在边AB上，且BD＝BE.若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为______.20°知1－练[期末·北京]如图15.3-3，在△ABC中，AB＝AC，D

是BC的中点，过A作EF∥BC，且AE＝AF.连接DE交AB于点G，连接DF交AC于点H.解题秘方：连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角的性质进行解答.例2知1－练求证：(1)DE＝DF；证明：如图15.3-3，连接AD.∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴

AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF，∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF，∴DE＝DF.知1－练(2)BG＝CH.证明：∵

DE＝DF，DA⊥EF，∴∠EDA＝∠FDA.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∴△BDG≌△CDH，(ASA)∴BG＝CH.知1－练2-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：DE＝DF.知1－练知1－练知2－讲知识点等边三角形的性质21.

定义三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.知2－讲2.性质(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线(或三个角的平分线所在的直线).(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.知2－讲特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角.知2－练如图15.3-4，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于()A.15° B.20°C.25° D.30°解题秘方：紧扣等边三角形的性质和三线合一的性质，并结合等腰三角形的性质求解.例3知2－练答案：A

知2－练3-1.[期末·宿州]如图，直线AB∥CD，等边三角形EFG的顶点F在直线CD上，EG与直线AB交于点H，∠BHE＝40°，则∠CFG的度数为(

)A.10°B.20°C.30°D.40°B知2－练如图15.3-5，△ABD和△AEC都是等边三角形.求证：BE＝CD.解题秘方：紧扣等边三角形的边角性质和全等三角形的判定与性质解题.例4知2－练

知2－练4-1.[月考·合肥]如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别在三角形的三边上，且BD＝CF＝AE.知2－练(1)求证：△BDE≌△CFD；知2－练(2)试求∠EDF的度数.解：由(1)得△BDE≌△CFD，∴∠BED＝∠CDF.又∵∠EDC＝∠B＋∠BED，∴∠EDF＋∠CDF＝∠B＋∠BED，∴∠EDF＝∠B＝60°.知3－讲知识点等腰三角形的判定31.

判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图15.3-6，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知3－讲2.等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.知3－讲即，等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.知3－讲特别解读●等腰三角形的定义也是一种判定方法.●“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.知3－练如图15.3-7，在△ABC中，BD，AE分别是AC，BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC.求证：△ABD是等腰三角形.例5解题秘方：利用三角形全等即可得出BD＝AD，从而利用定义判定△ABD是等腰三角形.知3－练

知3－练5-1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE.求证：△ABC是等腰三角形.知3－练证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE＝CF，BE＝BF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF.(HL)∴AB＝CB，∴△ABC是等腰三角形.知3－练如图15.3-8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：△ACF为等腰三角形.例6知3－练解题秘方：根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质可以计算相关的角度.然后利用“等角对等边”证明.知3－练证明：∵

AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD.又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB.∴DE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF＝72°，知3－练∴∠FAC＝∠BAF－∠BAC＝36°.又∵∠ACB＝∠FAC＋∠AFC＝72°，∴∠AFC＝36°，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∴△ACF为等腰三角形.顶角是36°的等腰三角形是“黄金”三角形，底角平分线分原三角形成两个等腰三角形.知3－练6-1.如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R.若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形.知3－练证明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.知4－讲知识点等边三角形的判定41.

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图15.3-9，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形.知4－讲2.

推论2

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图15.3-9，在△ABC中，∵

AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等边三角形.知4－讲证明等边三角形的思维导图：三角形三角形思路1：三边相等思路2：三角相等等边三角形等腰三角形的判定等腰三角形有一个角等于60°等边三角形知4－讲特别解读1.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，推论2都成立.2.等边三角形的判定方法：(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；(2)若已知三角关系，一般选用推论1判定；(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用推论2判定.知4－练[期中·天津和平区]如图15.3-10，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AF为BC边上的中线，D为AF上的一点且BD的垂直平分线过点C并交BD于点E.求证：△BCD是等边三角形.例7知4－练解题秘方：根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可推出BD＝DC＝BC，再利用等边三角形的定义得出结论.证明：∵AB＝AC，AF为BC边上的中线，∴AF⊥BC，∴AF是BC的垂直平分线.又∵D为AF上的一点，∴BD＝DC.∵

CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD.∴

BD＝DC＝BC.∴△BCD是等边三角形.知4－练知4－练7-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形.知4－练证明：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°.在Rt△ADE和Rt△BDF中，∵AD＝BD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△BDF.(HL)∴∠A＝∠B，∴AC＝CB.又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形.知4－练如图15.3-11，在△ABC中，D为BC延长线上的一点，∠A＝60°，∠ACD＝120°.求证：△ABC是等边三角形.例8知4－练解题秘方：根据所给的角度求出△ABC的内角度数，然后根据等边三角形的判定方法进行判定.证明：∵∠ACD＝120°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝180°－120°＝60°.又∵∠A＝60°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形.知4－练知4－练8-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上，且AE＝BE，AD＝CD.(1)求∠EAD的度数；知4－练解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AE＝BE，AD＝CD，∴∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°.∵∠BAC＝120°，∴∠DAE＝∠BAC－∠EAB－∠DAC＝120°－30°－30°＝60°.知4－练(2)求证：△ADE是等边三角形.证明：∵∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°，∴∠AED＝∠B＋∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C＋∠DAC＝60°，∴∠EAD＝∠AED＝∠ADE，∴△ADE是等边三角形.知4－练如图15.3-12，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形.例9知4－练解题秘方：先证△BDE≌△CDF，然后由等边三角形的判定定理证明△DEF是等边三角形.

知4－练知4－练9-1.如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点.在△ABC的外角的平分线CE上取点E，使CE＝BD，连接AD，AE，DE.请判断△ADE的形状，并说明理由.知4－练知4－练又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE.(SAS)∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形.知5－讲知识点含30°角的直角三角形的性质5

知5－讲特别解读◆应用此性质，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°.二者缺一不可.◆含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据.知5－练如图15.3-14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4cm，求BN的长.例10解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.解：如图15.3-14，连接AN.∵MN为AB边的垂直平分线，∴AN＝BN，∴∠NAB＝∠B＝15°，∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.在Rt△ACN中，∠ANC＝30°，∴AN＝2AC＝2×4＝8(cm).∴BN＝

8cm.知5