沪科版八年级数学 15.4 角的平分线（学习、上课课件）

15.4角的平分线第15章轴对称图形与等腰三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2作已知角的平分线过一点作已知直线的垂线角平分线的性质角平分线性质定理的逆定理(角平分线的判定)三角形的角平分线的性质(拓展点)知识点作已知角的平分线知1－讲11.角的平分线的作法(1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线.(2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线.(3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论.知1－讲

知1－讲

知1－练例1

解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的四分之一角.知1－练

知1－练1-1.[期末·池州]如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°.

(1)尺规作图：作△ABC的角平分线CD，与AB交于点D；(不要求写作法，保留作图痕迹)解：如图，线段CD即为所求.知1－练(2)求∠ACB和∠ADC的度数.解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°，∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.知2－讲知识点过一点作已知直线的垂线21.

过直线上一点作已知直线的垂线已知：直线l与直线l上一点A，如图15.4-3.求作：直线AB，使AB⊥l于点A.知2－讲

知2－讲2.过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线l与直线外一点A，如图15.4-4.求作：直线AB，使AB⊥l于点B.过直线外一点作已知直线的垂线，其作法类似于线段垂直平分线的尺规作图法.知2－讲

知2－讲

知2－练

例2知2－练解题秘方：根据作图可知BD＝BC，BF⊥CD，再结合等腰三角形的性质求角度即可.知2－练答案：A

知2－练2-1.如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是_____.(填序号)①PQ为直线l的垂线；②CA＝CB；③PO＝QO；④∠APO＝∠BPO.③知2－练2-2.如图，已知直角三角形的一条直角边m和斜边n，求作此直角三角形.(要求:写出已知、求作、结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)知2－练解：已知：线段m和n，如图.求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m.结论：如图所示，Rt△ABC即为所求作的三角形.知3－讲知识点角平分线的性质31.

性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度.两者缺一不可.知3－讲2.

几何语言如图15.4-6，∵

OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.知3－讲特别提醒◆角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).◆利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.知3－练如图15.4-7，∠AOB＝30°，OE平分∠AOB，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝

6，则OF的长是()A.6B.9C.3D.12例3知3－练解题秘方：作垂线，紧扣角平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质求解.知3－练解：如图15.4-7，作EG⊥OA于G.∵OE平分∠AOB，∠AOB＝30°，EC⊥OB，∴∠AOE＝∠BOE＝15°，EG＝CE＝6.∵EF∥OB，∴∠EFG＝∠AOB＝30°.∴

EF＝2EG＝12.∵∠EFG＝∠AOE＋∠FEO，∴∠OEF＝15°＝∠AOE，∴OF＝EF＝12.答案：D知3－练3-1.[期末·滁州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝16，AB＝12，则CD的长为()A.4B.3C.8D.6A知4－讲知识点角平分线性质定理的逆定理(角平分线的判定)41.

判定定理

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.知4－讲2.几何语言如图15.4-8，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.知4－讲3.

角平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如图15.4-8，都与距离有关：即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角的平分线上(角的内部的)点到角两边的距离相等.知4－讲特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.知4－练如图15.4-9，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.例4解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.

知4－练知4－练方法点拨：等线段证角平分线法：要证某线是角的平分线，只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可.这样把证角平分线的问题转化为证垂线段相等的问题，体现了转化思想的应用.知4－练4-1.[期末·淮南]如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是△ABC的外角∠CAN的平分线.知4－练证明：过D作DE⊥BN于E，DF⊥AC于F，DG⊥BM于G.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，∴DE＝DG，DF＝DG，∴DE＝DF.又∵DE⊥AN，DF⊥AC，∴AD是△ABC的外角∠CAN的平分线.知5－讲知识点三角形的角平分线的性质(拓展点)51.性质定理三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.这一点叫三角形的内心.知5－讲2.几何语言如图15.4-10，在△ABC中，AD，BM，CN

分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF.知5－讲要点解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.知5－练如图15.4-11，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝30.过O作OD⊥BC于点D，且OD＝3，求△ABC的面积.解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.例5

知5－练知5－练5-1.如图，有一块三角形的空地ABC.其三边长AB，AC，BC分别为30m，40m，50m.现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.知5－练解：方案如图.分别作∠ABC和∠ACB