圆中的范围与最值问题（八大题型）（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新教材新高考）

重难点突破01圆中的范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：斜率型.................................................................2

题型二：直线型.................................................................3

题型三：距离型.................................................................3

题型四：周长面积型.............................................................4

题型五：数量积型...............................................................4

题型六：坐标与角度型...........................................................5

题型七：长度和差型.............................................................6

题型八：方程中的参数型.........................................................7

03过关测试.....................................................................8

亡法牯自与.柒年

//\\

1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：

(1)形如〃的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x-a

(2)形如：=奴+办的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如加=(x-。产+⑶-6)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值

问题.

2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

(1)数形结合

(2)多与圆心联系

(3)参数方程

(4)代数角度转化成函数值域问题

题型一：斜率型

【典例1-D已知实数％,y满足方程/=，-炉+©_1,则，的最大值为()

A.0B.1C.^3D.2

【典例1-2]如果实数』，V满足(》-2)2+丁=2,则5的范围是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(l,+oo)D.(T,T]L[L+OO)

【变式1』】若实数X、y满足条件X-,则—的范围是()

A.-,+<»B.C.-co,-D.

4JI4(2

【变式1-2】(2。24山东日照二模)若实数不了满足条件xf』，则看的范围是()

A.[0,72]B.[-3,5]C.（-a）,-l]D.

【变式1-3]已知P（，","）为圆口（*-1）2+（丫-1）2=1上任意一点，则四〈的最大值为（）

m+1

A.昱B.-3C.1+—D.

3333

题型二：直线型

【典例2-1】（2024•江西吉安・宁冈中学校考一模）已知点P（x»）是圆/+y2-6x-4y+12=0上的动点，则

x+y的最大值为（）

A.5+叵B.5-aC.6D.5

【典例2-2】已知点P（x,y）是圆C：（x—a）2+y2=3（a>0）上的一动点，若圆C经过点A（1,应），贝”一无

的最大值与最小值之和为（）

A.4B.2*C.-4D.-2A/6

【变式2-11点尸（x,y）在圆（x-2）2+（y+3）2=l上,则x+y的范围是—.

【变式2-2]已知"V满足/+；/+2了-4'=0,则2x+y的范围是.

【变式2-3]如果实数工，，满足等式/+y2+4x—2y-4=0,那么/+/的最大值是一；2x-y的最大值

是—.

题型三：距离型

【典例3-1】已知点PQw,"）在圆C:（x-2）2+（y-2『=9上运动，则（加+2『+（”+炉的最大值为_,最小

值为___，Vm2+n2的范围为.

【典例3-2】直线/：辰-y-2A+2=0（丘R）过定点°,若尸为圆C:（x—2）2+。—3）2=4上任意一点,则|产例

的最大值为（）

A.1B.3C.4D.2

【变式3-1]（2024.浙江三模）已知4（-2,-2）,8（1,3）,点尸在圆尤?+产=4上运动，则1PAl?+|即?的最大

值为（）

A.16-60B.26+2夜C.26+4五D.32

【变式3-2]（2024-山东济南•三模）圆。-3+（y+If=4上的点到直线3x+分-14=0的距离的最大值为

A.3B.4C.5D.9

【变式3.3］已知％;+y；=%：+必=8,且中2+%%=0,贝股玉+%2-2）2+（%+%『的最大值为

（）

A.9B.12C.36D.48

【变式3・4】（2024・四川乐山•三模）已知圆O：/+y2=i6,点£是/：2x-y+16=0上的动点，过E作圆O

的切线，切点分别为A3,直线A5与石。交于点以，则|。叫的最大值为（）

A.2B.C.瓜D.布

题型四：周长面积型

【典例44】（2024・高三・河南•开学考试）若直线/：『丁+2一左=0与圆。：一+,2-4%—2y-4=0交于A,

B两点,则当A6C周长最小时，k=（）

A.—B.----C.1D.—1

22

【典例4-2】在直角坐标系中，已知A（4,0）,B（l,3）,C（0,-4）,动点“满足黑=2,则4c面积

的范围为

【变式4-1］若圆C的方程为/+/+〃优+2⑺+（“-2）=0,则圆C的最小周长为（）

.36£18&„12&门6&

5555

【变式4-2】已知点A3在直线/:x-2y-2=0上运动，且|蜴=26，点C在圆（》+1）2+y=5上，则

VABC的面积的最大值为（）

A.8B.5C.2D.1

题型五：数量积型

【典例5-1】已知PQ,MN是半径为5的圆O上的两条动弦，|尸。|=6,|%叫=8,则pM+QN|最大值是（）

2N

A.7B.12C.14D.16

一jr

【典例5-2】在AABC中，BC=2,ZBAC=-,。为BC中点，在AABC所在平面内有一动点尸满足

ULUUllUUUU1ULHU

PBPD=PCPD，则AP3C的最大值为（）

A.3B.巫C.D.迈

333

【变式5-1］已知圆。-2）2+y=9的弦AN的中点为Q（l』），点尸为圆上的动点，则P&PB的最大值为

（）

A.2B.60-3C.8D.4+6应

【变式5-2］在矩形ABCD中，AB^2,AD=3,尸为矩形ABCD所在平面内的动点，且上4=1,贝U

PC的最大值是（）

A.9B.10C.11D.12

题型六：坐标与角度型

【典例6-1】已知圆C：（无-1）2+产=1,点pg,加）在直线x-y+l=0上运动.若C上存在点Q,使/

CPQ=30°,则配的取值范围是.

y/3x+y

【典例6-2】已知X,'湎足+1一=4y—3,则:，；的最大值为（)

A.1B.2C.上D.75

【变式6-1］动圆M经过坐标原点，且半径为1,则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（）

A.1B.2C.72D.2.72

2

【变式6-2］（2024・湖南邵阳•三模）已知直线/：%—y—2=0与圆0：x+/=b过直线/上的任意一

点尸作圆0的切线2，PB，切点分别为A，B＞则的最大值为（）

3兀至71

A.B.D.四

T326

【变式6-3］（2024・湖南衡阳•模拟预测）如图，己知尸是圆C:（x-2）2+（y-3）2=2上一点,

A（TO）,8（1,0）,则-APB的正切值的最大值为（

AO\

B.72C.73

【变式6-4】已知圆。：（无一。）、;/=/（厂＞0）与x轴相交于A、B两点，且圆C：Y+（y—5）2=9,点

M（0,3）.若圆C与圆。相外切，则tan/WB的最大值为（）

题型七：长度和差型

【典例7-1】已知复数Z1=a+历，z2=c+di,a,b,c,dwR,若闵=区|=2,S.ac+bd=2,则

|a+6-4|+2|c+d-4|的最大值为一.

【典例7-2】（2024.黑龙江佳木斯.三模）已知圆/+、2=8上两点冬玉,%）,8（%,%），。为坐标原点，若

ZAOB=120°,贝（J|玉+%-4|+,2+%-4的最大值是（）

A.8B.6也C.8版D.12

【变式7-1】设A为直线x+y-2=0上一点，P,。分别在圆G：［x+；］+丁=；与圆

q：（x_l）2+（尸4）2=1上运动，则|A0|—|AP|的最大值为（）

.3+V13„1+V1I„3+历C-3+9

A.------D.---------C.----------U.-------

2222

【变式7・2】在定圆。：/+y2=4内过点尸（-M）作两条互相垂直的直线与。分别交于A,3和N,则

\AB\\MN\「

丽+西的范围是（

【变式7-3］（2024•广西贵港.模拟预测）已知圆C：（x-2）2+（y-2）2=4,直线/：（m+2）x-my-4=0,若

/与圆C交于A,8两点，设坐标原点为O,贝力。41+21。8］的最大值为（）

A.4A/3B.6A/3C.4岳D.2病

题型八：方程中的参数型

【典例8-1】（2024•山东泰安•二模）已知在矩形ABCD中，AB=1,AD=6，动点尸在以点C为圆心且

与8。相切的圆上，则”.AD的最大值为；^AP=mAB+nAD（m,n&R）,则加+〃的最大值

为.

【典例8-2］如图，在直角梯形ABCD中，A=5=90o,A£»=4,AB=5C=2,点〃在以8为直径的半圆

上，且满足AM+则m+”的最大值为（）

【变式8-1】已知。（0,0）,P（斐中,Q（l+4cose,g-4sin。），6«0,2句,则△OPQ面积的最大值为

（）

A.4B.5C.573D.

\PB\

【变式8-2】已知点A（0,T）,点8（2,0）,尸为圆0：/+丁=4上一动点，则局的最大值是（）

\PA\

3名

A.拽B.遇c.述D.

343

【变式8-3］已知过点（1,6）的动直线/与圆C:Y+y2=16交于A,8两点，过A,3分别作C的切线，两切

线交于点N.若动点M（cosasine）（0W0<2;r）,则|M?V|的最小值为.

1.（多选题）已知实数羽y满足方程/+/-4》-2、+4=0,则下列说法正确的是（）

A.2的最大值为gB.x+y的最大值为3+0

x3

C./的最大值为百+1D.-+；+5］的范围是［2,4］

2.（多选题）己知圆。0-1）2+丁=1,4（3,1）,点尸为圆。上一动点，。为坐标原点，则下列说法中正确

的是（）

A.|AP|的最大值为b+1

B.|0P|+|P4|的最小值为2忘

-4~

C.直线AP的斜率范围为0,j

3

D.以线段AC为直径的圆与圆。的公共弦方程为＞=-2x+］

3.（多选题）点q（毛,%）是圆。:兀2+3；2一8%一63；+21=。上的动点，则下面正确的有（）

A.圆的半径为3

B.工、既没有最大值，也没有最小值

%-3

C.2%+%的范围是［11-2611+2下］

D.焉+M+2%+3的最大值为72

4.（多选题）（2024•高三•福建福州•期末）已知4—3,0）,3（3,0）,动点C满足IC4|=2|C3|,记C的

轨迹为「过A的直线与「交于尸，。两点，直线8P与「的另一个交点为则（）

A.Q,M关于x轴对称B.的面积的最大值为60

C.当NPMQ=45。时，|PQ|=40D.直线AC的斜率的范围为［一代,代］

5.（多选题）若实数了、，满足条件Y+y2=l,则下列判断正确的是（）

A.x+y的范围是［o,&］B./-4了+产的范围是卜3,5］

C.孙的最大值为1D.二的范围是

x+1I4J

6.（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被

后人称为三角形的“欧拉线''.在平面直角坐标系中作AABC,A8=AC=4,点8（—1,3）,点C（4,—2）,且

其“欧拉线”与圆（》-3）2+产=产相切，则下列结论正确的是（）

A.圆M上点到直线x-y+3=0的最小距离为26

B.圆M上点到直线尤-了+3=0的最大距离为3JI

C.圆〃上到直线8C的距离为;的点有且仅有2个

D.圆（x-a-l）2+（y-a）2=8与圆M有公共点，贝Ua的范围是口一20,1+2应］

7.（多选题）设点尸（龙,力为圆C：/+V=1上一点，已知点4（4,0）,8（5,0）,则下列结论正确的有（

A.的最大值为显

B.一+丁-41〉的最小值为-8

C,存在点尸使|尸理=夜|冏

D.过A点作圆C的切线，则切线长为处

8.（多选题）（2024•高三•辽宁鞍山•开学考试）已知直线/：阮-y+左=0,圆

C:尤2+/—6x+5=0,P（%,%）为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（）

A.北+需的最大值为5

B.%的最大值为拽

/5

C.直线/与圆。相切时，k=±^~

3

D.圆心C到直线/的距离最大为4

9.（多选题）（2024•江西宜春•三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗

尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A,8之间的距离为。（非零常数），动点M到A,8的距离之比为

常数九（2>0,且2x1）,则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系xQy中，已知

A（T,0）,3（2,0）,点/满足|M4|=2|MB|,则下列说法正确的是（）

A...面积的最大值为12B.的最大值为72

C.若。（8,8）,贝“肱1|+2|"。|的最小值为10D.当点M不在x轴上时，M。始终平分

10.（多选题）已知点尸在圆C（x-4y+（y-4）2=9上，点A（4,0）,B（0,2）,则（）

A.直线与圆C相切

B.点尸到直线A3的距离小于7

C.当NPBA最大时，|尸耳=而

D.NP8A的最小值小于15。

11.（多选题）（2024•高三•浙江宁波•期末）己知/为直线x-y+5=0上的一点，动点N与两个定点

0（0,0）,A（3,0）的距离之比为2,则（）

A.动点N的轨迹方程为（工一4）2+产=4B.|MN|22+竽

1jr

c.Ww|+]NO|的最小值为40D.NAON的最大角为7

12.（多选题）已知点/在圆Q：Y+（y+2）2=4上，点尸是直线/：4x-3y+6=0上一点，过点尸作圆。的

两条切线，切点分别为A、B,又设直线/分别交x，＞轴于C,。两点，则（）

A.|P4|的最小值为平B.直线必过定点

C.满足MCLMD的点有两个D.|MD|+2阿。的最小值为加

13.（2024•高三•山东济宁•开学考试）过直线/：尤+》-