2024-2025学年新教材高中数学第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数练测评含解析北师大版必修第一册

PAGE1-4．1一元二次函数必备学问基础练进阶训练第一层学问点一一元二次函数的解析式1.一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为()A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－42．已知一元二次函数的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且函数值的最大值为8，求一元二次函数的解析式．学问点二一元二次函数的图象变换3.将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是()A．y＝－3(x－1)2－2B．y＝－3(x－1)2＋2C．y＝－3(x＋1)2－2D．y＝－3(x＋1)2＋24．将抛物线y＝－x2＋2x－1向右平移一个单位长度，向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是()A．y＝－x2＋2B．y＝－x2＋4x－2C．y＝－x2－2D．y＝－x2＋4x－6学问点三一元二次函数的图象与性质5.对于二次函数y＝ax2＋(1－2a)x(aA．当a＝eq\f(1,2)时，该二次函数图象的对称轴为y轴B．当a>eq\f(1,2)时，该二次函数图象的对称轴在y轴的右侧C．该二次函数的图象的对称轴可为x＝1D．当x>2时，y的值随x的值增大而增大6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(1,2)，B(3,2)，C(5,7)．若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，则下列结论正确的是()A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y1<y3<y27．当a－1≤x≤a时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为()A．1B．2C．1或2D．0或3关键实力综合练进阶训练其次层1．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为()A．y＝x2－2x＋2B．y＝x2－2x－2C．y＝－x2－2x＋1D．y＝x2－2x＋12．函数y＝4－x(x－2)的图象的顶点坐标和对称轴方程分别是()A．(2,4)，x＝2B．(1,5)，x＝1C．(5,1)，x＝1D．(1,5)，x＝53．把函数y＝2x2－4x－5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得到的函数图象的解析式为()A．y＝2x2＋4x－8B．y＝2x2－8x＋8C．y＝2x2＋4x－2D．y＝2x2－8x－24．函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是y随x的增大而增大，则()A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<05．抛物线y＝(x＋1)2＋1上有点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，且x1<x2<－1，则y1与y2的大小关系是()A．y1<y2B．y1>y2C．y1＝y2D．不能确定6．(探究题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满意下列条件：图象的对称轴是x＝1，最值是15，图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a，则b的值是()A．4或－30B．－30C．4D．6或－207．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.8．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上f(x)随x的增大而增大，在(－∞，－1]上f(x)随x的增大而减小，则f(－1)＝________.9．(易错题)当x∈[－2,1]时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值3，则实数m的值为________．10．已知二次函数y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(7,2).(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y＝a(x＋m)2＋k的形式；(2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；(3)将二次函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象如何平移能得到二次函数y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(7,2)的图象，请写出平移方法．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)关于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的说法正确的是()A．它们的图象都是开口向上B．它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0,0)C．当x>0时，它们的函数值y都是随x的增大而增大D．它们的开口的大小是一样的．2．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋1，当自变量x的值满意－3≤x≤－1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为________．3．(学科素养—逻辑推理)已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)．(1)求抛物线的解析式；(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图象．§4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数必备学问基础练1．解析：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋4，把(0，－4)代入得a(－2)2＋4＝－4，解得a＝－2，所以抛物线的解析式为y＝－2(x－2)2＋4，故选B.答案：B2．解析：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.3．解析：将抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2－2.故选C.答案：C4．解析：将抛物线y＝－(x－1)2向右平移一个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－(x－1－1)2，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－(x－1－1)2＋2，即y＝－(x－2)2＋2，即y＝－x2＋4x－2.故选B.答案：B5．解析：该抛物线的对称轴为x＝－eq\f(1－2a,2a)＝1－eq\f(1,2a)，A中，当a＝eq\f(1,2)时，此时x＝0，即二次函数的图象对称轴为x＝0，即y轴，故正确；B中，当a>eq\f(1,2)时，此时x＝1－eq\f(1,2a)>0，此时对称轴在y轴的右侧，故正确；C中，由于a>0，故对称轴不行能是x＝1，故错误；D中，由于1－eq\f(1,2a)<1，所以对称轴x<1，由于a>0，∴抛物线的开口向上，∴x>2时，y的值随x的值增大而增大，故正确，故选C.答案：C6．解析：把A(1,2)，B(3,2)，C(5,7)代入y＝ax2＋bx＋c得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝2，,9a＋3b＋c＝2，,25a＋5b＋c＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,8)，,b＝－\f(5,2)，,c＝\f(31,8).))∴函数解析式为y＝eq\f(5,8)x2－eq\f(5,2)x＋eq\f(31,8)＝eq\f(5,8)(x－2)2＋eq\f(11,8).∴当x>2时，y随x的增大而增大；当x<2时，y随x的增大而减小；依据对称性，K(8，y3)的对称点是(－4，y3)，所以y2<y1<y3.故选B.答案：B7．解析：当y＝1时，有x2－2x＋1＝1，解得x1＝0，x2＝2，∵当a－1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a－1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0.故选D.答案：D关键实力综合练1．解析：因为抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，所以y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.故选B.答案：B2．解析：∵y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,5)，对称轴方程为x＝1.答案：B3．解析：y＝2x2－4x－5＝2(x－1)2－7，将y＝2(x－1)2－7的图象向左平移2个单位长度得y＝2(x－1＋2)2－7，再向下平移3个单位长度得y＝2(x＋1)2－7－3，即y＝2x2＋4x－8.故选A.答案：A4．解析：函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq\f(b,2)，∵函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，∴－eq\f(b,2)∉(0，＋∞)．∴－eq\f(b,2)≤0.∴b≥0.答案：A5．解析：∵抛物线y＝(x＋1)2＋1的开口向上，对称轴为直线x＝－1，而x1<x2<－1，∴y1>y2，故选B.答案：B6．解析：∵对称轴是x＝1，最值是15，∴可设y＝a(x－1)2＋15，∴y＝ax2－2ax＋15＋a，设方程ax2－2ax＋15＋a＝0的两个根是x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(－2a,a)＝2，x1x2＝eq\f(15＋a,a)，∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝15－a，∴22－eq\f(215＋a,a)＝15－a，即a2－13a－30＝0，所以a1＝15(不符合题意，舍去)，a2＝－2，∴y＝－2(x－1)2＋15＝－2x2＋4x＋13，∴b＝4.故选C.答案：C7．解析：因为函数y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝x2＋1的图象，所以m＝1.答案：18．解析：由题意可得eq\f(a＋1,8)＝－1，解得a＝－9.∴f(x)＝4x2＋8x＋5.∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.答案：19．易错分析：该题简单忽视x的范围，干脆由m2＋1＝3，解得m＝－eq\r(2)或m＝eq\r(2).解析：二次函数的对称轴为x＝m，①当m<－2时，x＝－2时二次函数有最大值，此时－(－2－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝－eq\f(3,2)，与m<－2冲突，故m值不存在；②当－2≤m≤1时，x＝m时二次函数有最大值，此时m2＋1＝3，解得m＝－eq\r(2)或m＝eq\r(2)(舍去)；③当m>1时，x＝1时二次函数有最大值，此时－(1－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝eq\f(3,2).综上所述，m的值为eq\f(3,2)或－eq\r(2).答案：eq\f(3,2)或－eq\r(2)10．解析：(1)y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(7,2)＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4，即y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4.(2)因为a＝－eq\f(1,2)<0，所以该抛物线的开口方向向下，由y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4知，抛物线的顶点坐标是(－1,4)，对称轴为直线x＝－1.(3)∵y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4，∴将y＝－eq\f(1,2)x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可．学科素养升级练1．解析：∵a＝3>0，∴它们的图象都是开口向上，故A正确；∵y＝3x2＋1对称轴是y轴，顶点坐标是(0,1)，y＝3(x－1)2的对称轴是x＝1，顶点坐标是(1,0)，故B错误；∵二次函数y＝3x2＋1，当x>0时，y随着x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2，当0<x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，故C错误；∵a＝3，∴它们的开口的大小是一样的，故D正确．故选A、D.答案：AD2．解析：由y＝x2－2mx＋m2＋1＝(x－m)2＋1(m为常数)知，其对称轴为x＝m.当m≤－3时，在－3≤x≤－1上，y随x的增大而增大．所以x＝－3时取得最小值y＝5，即(－3－m)2＋1＝5，所以m＝－5或－1(舍去)，当－3≤m≤－1时，函数值y的最小值为1，不符合题意．当m≥－1时，在－3≤x≤－1上，y随x的增大而减小，所以当x＝－1时取得最小值y＝5