考点09 平面直角坐标系与函数初步（精讲）（原卷版）

考点09.平面直角坐标系与函数初步（精讲）【命题趋势】平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查，分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。函数对比数与式、方程、几何等知识模块来说相对较抽象，从形到数，从数到形，数形结合是该知识模块学习的重要方法，同时需储备一定的直观想象和操作能力，才是学好的关键。预计2024年各地中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大．【知识清单】1：平面直角坐标系（☆☆）1）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．2）平面直角坐标系平面直角坐标系定义在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。两轴水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。（见图1）原点两坐标轴交点为平面直角坐标系原点。坐标平面坐标系所在的平面叫做坐标平面。象限x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1）点的坐标对于坐标平面内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b).（见图2）。图1图22：点的坐标特征与变换（☆☆☆）1）点的坐标特征：已知点P（a，b）第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0；原点：a=0，b=0；x轴上：b=0；y轴上：a=0；2）轴对称与中心对称：已知点P（x，y）（1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．（3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）．3）图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y）1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）；3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）．4）两个公式（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；（2）两点距离公式：已知两点：、，则．3：坐标方法的简单应用（☆☆）确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。4：函数（☆☆☆）1）函数的相关概念：变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.确定函数取值范围的方法：1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。2）函数的三种表示法的优缺点优点缺点解析法准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示列表法自变量和与它对应的函数值数据一目了然所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性图像法形象的把自变量和函数值的关系表示出来图像中只能得到近似的数量关系【易错点归纳】1.有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同，坐标轴上的点不属于任何象限。2.到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数。3.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小，注意和函数平移的区别。【核心考点】核心考点1.平面直角坐标系例1：（2023·湖北宜昌·统考一模）图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（

）A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B．只有两个同学的看电视时间是相同的C．只有两个同学的阅读时间是相同的 D．阅读时间大于看电视时间的同学较多变式1．（2023·山西太原·统考一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（

）A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论变式2.（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）在校运会开幕式彩旗方队中，小兰的位置不管是列还是行都在正中间，用数对表示为．则彩旗方队一共有（

）人．A． B． C． D．例2：（2023年浙江省台州市中考数学真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（

）．

A． B． C． D．变式1.（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为．

核心考点2.点的坐标特征与变换例3：（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（

）

A． B． C． D．变式1.（2023年浙江省丽水市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式2.（2023·河南驻马店·统考三模）点在第二象限内，则m的值可以是．（写出一个即可）例4：（2023·广东湛江·统考二模）已知点在x轴上，则a的值为．变式1.（2023·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．变式2.（2023·广东湛江·统考一模）已知点，当时，点在第象限，当点在轴上时，．例5：（2023·江苏盐城·校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（）A． B． C． D．或变式1.（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第象限．变式2.（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（

）

A． B． C． D．例6：（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．变式1.（2023·辽宁·模拟预测）如图，顶点，的坐标分别为，，将平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是．变式2．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．例7：（2022·黑龙江·校一模）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点A对应点的坐标为．变式1.（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，将沿轴向右平移得到，与交于点．若：：，则点的坐标为．

变式2.（2023·河北邯郸·三模）如图，在正方形中，已知点，．将正方形绕点顺时针旋转角度后，点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为（

）

A．或B．或或C．或D．或变式3.（2023·河南周口·校联考三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．例8：（2023·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．变式1．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为．例9：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（）A． B． C． D．变式1.（2023·河南信阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，折痕是，连接，，已知点，则点C的坐标是（

）

A． B． C．（8，6） D．变式2．（2023·江苏南通·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．核心考点3.坐标方法的简单应用例10．（2023·广东佛山·统考二模）下列选项中，能确定物体位置的是（

）A．距离学校500米 B．季华路 C．东经，北纬 D．北偏西变式1．（2023春·河北保定·八年级校联考期中）下列四种描述中，能确定具体位置的是（

）A．东经，北纬B．某电影院5号厅2排C．北京长安大街D．一架飞机距离地面10千米例11：（2023·山东滨州·九年级统考期末）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（

）A． B． C． D．变式1．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为．

核心考点4.函数例12：（2023·安徽滁州·八年级校考阶段练习）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（

）A．变量是，；常量是，B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是变式1．（2023·湖北恩施·统考一模）函数中，自变量x的取值范围是（）A．且 B． C．或 D．变式2．（2023·广东湛江·校联考一模）当时，函数的值是（

）A． B． C． D．例13：（2023·广西·统考一模）下列各曲线中哪个不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．变式1.（2023·北京海淀·八年级统考期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④变式2．（2023·河北沧州·九年级统考开学考试）下列各式，不能表示是的函数的是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是．（填序号即可）①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数；③如表中，n是m的函数；m123n632④如图中，曲线表示y是x的函数．

例14：（2023·广西南宁·统考二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（

）

A．

B．

C．

D．

变式1.（2023·湖南永州·校考二模）2023年1月22日，电影《流浪地球2》在万达广场上映，小赵一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到达剧场，小赵在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离家的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

例15：（2023·江西南昌·统考一模）一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如下表：时间01234…速度01.534.56…则时，这个钢球的速度是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）A．4元 B．3元 C．2元 D．1元变式2．（2023·广东湛江·统考一模）在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当