考点21 与圆有关的计算（精讲）（原卷版）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练

考点21.与圆有关的计算（精讲）【命题趋势】从近年各地中考来，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。预测2024年各地中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目。【知识清单】1：正多边形的相关概念与计算（☆☆）1）正多边形的相关概念正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。2）正多边形的常用公式（Rn为正多边形外接圆的半径）边长：；周长：；边心距：；面积：；内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系：。注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.2：弧长、扇形面积、圆锥的相关计算（☆☆☆）1)设⊙OQUOTE的半径为R，n°QUOTE圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：或．（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧=πrl（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）（4）圆锥全面积公式：S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。3：不规则图形的面积的计算（☆☆☆）求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积。常用的方法有：割补法、等积变换法、图形变换法等。【核心考点】核心考点1.正多边形的相关概念与计算例1：（2023年无锡市中考数学真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1变式1.（2023·广东揭阳·统考一模）一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的内角和为度．变式2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．

例2：（2022·四川成都·中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（

）A． B． C．3 D．变式1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知圆的半径为R，那么它的内接正三角形的边长是．变式2．（2023·广东·统考一模）如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则正六边形内切圆的半径是（

）

A． B．2 C． D．例3：（2023年四川省德阳市中考数学真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．7 D．8变式1．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．3变式2．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则．

例4：（2023年安徽省舒城县中考模拟数学试题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．变式1．（2023年安徽中考数学真题）如图，正五边形内接于，连接，则（

）

A． B． C． D．变式2．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（）A．60° B．45° C．30° D．15°核心考点2.弧长、扇形面积、圆锥的相关计算例5：（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（

）

A． B． C． D．变式1.（2023.重庆中考模拟预测）如图，扇形的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长（结果保留π）．

变式2．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（

）A． B． C． D．变式3.（2023年湖北省荆州市中考数学真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（）

A． B． C． D．例6：（2023年山东省济南市中考数学真题）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为（结果保留）．

变式1．（2022·四川达州·中考真题）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（

）A． B． C． D．变式2．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（

）

A． B． C． D．例7：（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（

）A．6 B．5 C．4 D．3变式1．（2023年西藏自治区中考数学真题）圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为．变式2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为．（结果保留）

变式3．（2023年云南省中考数学真题）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为分米．例8：（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（

）

A． B． C． D．变式1．（2023·广东湛江·统考一模）如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为．

变式2.（2023·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是．核心考点3.不规则图形的面积的计算例9：（2023年四川省成都市数学中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）

变式1.（2023年重庆市中考数学真题（B卷））如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）

变式2.（2023年青海省中考数学真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留）.

例10：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为．

变式1.（2023年山东省滨州市中考数学真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（）

A． B． C． D．变式2.（2023年湖北省恩施州中考数学真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．变式3．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．例11：（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（）

A． B． C． D．变式1.（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（）

A． B． C． D．变式2.（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为_________．变式3．（2023·河南周口·统考二模）如图所示的是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图，其中点与点重合，点与点重合，则图中阴影部分的面积为．例12：（2023年江苏省苏州市中考数学真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则