2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省部分学校九年级(上)第一次月考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一元二次方程4/+%—3=0中一次项系数、常数项分别是()

A.2,—3B.0,—3C.1,~3D.1,0

2.解方程O+I)2=3(1+x)的最佳方法是()

A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

3.抛物线丫=一3/+2%—1与丫轴的交点为()

A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0)

4.若关于久的一元二次方程(k-1)/+“+1=。有实数根，贝的取值范围是()

A..kB.k>擀C.k>1日k41D./c<•日k丰1

5.若关于x的方程/一卜久一3=0的一个根是久=3,则k的值是()

A.-2B.2C.-1D.1

6.关于％的方程2x-3|=。有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是()

A.a=0B.a=Oj^a=4C,a>4D.a=0或a>4

7.在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设

参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是()

A.+1)=110B.^x(x-1)=110C.x(x+1)=110D.x(x-1)=110

8.已知函数y=aK2+bx+c的图象如图，那么关于久的方程a/+必+c+2=0的根的情况是()

A.无实数根B.有两个相等实数根

C.有两个同号不等实数根D.有两个异号实数根

9.二次函数y=aK2+.+的若ab<0,a-b2>0,点4(久1y。，8(>2，丫2)在该二次函数的图象上，其中

%i<x2,久1+比2=0,贝！|()

第1页，共20页

A.yi=-y-iB.>y2

C.yi<y2D.月、丫2的大小无法确定

10.已知二次函数y=a比2+6%+c（aK0）的图象如图所示，有下歹!]4个结论:

@abc<0；@b>a+c；（3）2a—b—0；（4）b2—4ac<0.

其中正确的结论个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.方程(x+4)(%-5)=0的根为

12.若二次函数y=+k的图象经过点（一1,月），（3,、2），则为_____及（选填：>，<，=）•

13.二次函数为=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+6的图象如图所

示，当力>丫1时，根据图象写出久的取值范围•

14.如图，抛物线丫=久2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为

整数的点）依次为&,4,4，…4，将抛物线y=/沿直线[；y=x向

上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点Ml，M2,

M3,都在直线旷=光上；②抛物线依次经过点41，A2,心，…，

An,则顶点“2021的坐标为.

15.若关于x的方程|必-2%-8|=6有三个解，则实数小的值是.

三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第2页，共20页

16.(本小题6分)

已知二次函数图象的顶点坐标为(1,2),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.

17.(本小题6分)

已知关于万的一元二次方程/+(2m+l)x+m2—4=0

(1)当ni为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)若方程有一根为3,求加的值.

18.(本小题7分)

2

已知关于万的一元二次方程%2-(2卜+l)x+k+2k=0有两个实数根xi，x2.

(1)求实数k的取值范围.

(2)是否存在实数k,使得百久2-妊-君=-16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

19.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-/+7nx+n与%轴交于点a,BQ4在B

的左侧).

(1)若抛物线的对称轴为直线久=-3,AB=4.求抛物线的表达式；

(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点。，且与x轴正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为

P,若aocp是等腰直角三角形，求点P的坐标.

20.(本小题8分)

世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊

卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小两种型号的“拉伊卜”摆件,

第3页，共20页

已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件.

（1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？

（2）第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调整了销

售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调2m元，调整后，当天大摆件的销量下降了寺小个，小摆件

的销量增加了|小个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格.

21.（本小题8分）

某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克〜60千克之间（含20千克和

60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于

300元.

（1）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价双元/千克）是一次函数关系，其图象

如图，求出y与x之间的函数关系式；

（2）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经

销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？

22.（本小题10分）

如图，四边形48CD是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形4EFG的形状，其中点E在2B边上（

不与点B重合），点G在AD的延长线上，DG=3BE,设BE的长为万米，改造后花圃2EFG的面积为y平方米.

⑴当改造后花圃4EFG的面积与原正方形力BCD花圃的面积相等时，求BE的长；

（2）当x为何值时，改造后的花圃力EFG的面积最大？并求出最大面积.

A

E

B

第4页，共20页

23.(本小题11分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx-4与x轴交于4(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,点P是直

线BC下方抛物线上一动点.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图(甲)，在x轴上是否存在点E,使得以E,B,C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出

点E坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图(乙)，动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△P8C面积的最大值.

24.(本小题12分)

如图1,已知抛物线y=/+6久+c与久轴交于4、B两点，与y轴交于点C(O,-1),且tan/OAC=去

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线4c下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ〃久轴交抛物线于点Q,过点P作PRlx轴交4C

于点R,若PQ+PR=|,求点P的坐标；

(3)将抛物线丫=X2+陵+。向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点M,

在原抛物线对称轴上有点N,直接写出所有使得以点力，C,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的

第5页，共20页

坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

第6页，共20页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：一元二次方程4/+X—3=。的一次项系数，常数项分别是1、-3.

故选：C.

根据一元二次方程的一般形式：a/+6%+c=O(a,b,c是常数且aK0)中，a/叫二次项，6%叫一次项，c是

常数项.其中a，b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可.

本题主要考查了一元二次方程的一般形式.注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上

前面的符号.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查解一元二次方程，能理解解一元二次方程的每种方法的特点是解此题的关键.先移项，再提取公

因式，即可得出选项.

【解答】

解：(久+1)2=3(1+久)，

(X+1)2—3(1+X)=0,

(%+1)(%+1-3)=0,

即最好的方法是因式分解法，

故选：D.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象上点的坐标，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键.

令光=0,求出y的值，然后写出点的坐标即可.

【解答】

解：x=0时，y=-1,

所以，抛物线与y轴的交点坐标为(0,-1).

故选：B.

4.【答案】D

第7页，共20页

【解析】解：由题意得：21=b2—4ac=1—4(/c—1)>0,且/c—1。0,

解得：左芸且丘1;

故选：D.

根据一元二次方程的定义与一元二次方程根的判别式可进行求解.

本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题

的关键.

5.【答案】B

【解析】解：当x=3时，9-3/c-3=0,

解得k=2,

故选：B.

将％=3代入方程解出k值即可.

本题考查了一元二次方程的解，代入求值是关键.

6.【答案】D

【解析】解：由原方程，得|(x—l)2—4|=a,-I_/—尸a

••.该函数图象为：YAZ

根据图示知，实数a的取值范围是a=0或a>4.'4--

故选：D.

先将原绝对值方程转化为|(x-1)2-4|=a,据此作出该方程的图象；然后根据图象填空.

本题考查了含绝对值符号的一元二次方程.本题采用了“数形结合”的数学思想.

7.【答案】D

【解析】解：由题意可得，

x(x-1)=110,

故选：D.

根据“参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条”，可以列出相应的一元二

次方程.

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，本题是一道典型的双循环

问题.

8.【答案】C

第8页，共20页

【解析】解：,・・丫=。/+版+(:的图象与%轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是-3,

方程a/+bx+c+2=0,

a%2+6%+c=—2时，即是y=—2求x的值，

由图象可知：有两个同号不等实数根.

故选：C.

根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为-3,判断方程a/+bx+c+2=0的根的情况即是判断y=-2时久的

值.

此题主要考查了方程a/+.+c+2=0的根的情况，先看函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐

标，再通过图象可得到答案.

9.【答案】B

【解析】解：a-b2>0,b2>0,

a>0.

又<ab<0,

b<0,

%!<X2>+X2-0,

X

X2=~1><0.

,点2(xi,yi),B(X2，V2)在该二次函数y=ax2+bx+c的图象上，

%=ax1+bx1+c,y2=a始+bx2+c=ax^—bx1+c.

yi—y2=2bxi>0.

•••yi>y2.

故选：B.

首先分析出a，b,Xi的取值范围，然后用含有代数式表示月，y2,再作差法比较yi，欢的大小.

此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的

取值范围是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：••・抛物线开口向下，

■■■a<0,

■■抛物线与y轴的交点在x轴上方，

•1•c>0,

第9页，共20页

由于抛物线的对称轴为直线x=—；=1,则b=—2a>0；贝。2a+6>。，abc<0；

Za

•••①正确，

③错误；

••,抛物线与久轴有2个交点，

b2-4ac>0,所以④错误；

x=-lHt,y<0,

a-b+c<0,所以②正确.

故选：B.

由抛物线开口方向得到a<0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0,由于抛物线的对称轴为直线

=贝i]b=-2a〉0；贝！Jabc<。；根据抛物线与x轴有2个交点得到△=62-4ac>0；由于刀=一1

Za

时，y>0,于是有a—6+c<0.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数丫=〃2+族+以£140),二次项系数a决定抛物线的开

口方向和大小，当a〉0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a

共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0),对称轴在

y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，

△=62-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=炉一4四=0时，抛物线与久轴有1个交点；

△=岳-4(2(:<0时，抛物线与久轴没有交点.

11.【答案】=-4,久2=5

【解析】解：,.・(久+4)(%-5)=0,

x+4=0或x-5=0,

X]=—4,X2—5,

故答案为：%i=-4,x2=5.

直接利用因式分解法解方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法

简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

12.【答案】=

【解析】解：•二次函数y=/-2x+k,

二开口向上，对称轴为直线x=—急=1,

二点(一LyD，(3)2)关于对称轴对称,

第10页，共20页

故外=%.

故答案为：=.

求出抛物线的对称轴，即可根据二次函数的对称性解答.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键.

13.【答案］—2<x<l

【解析】解：当丫2>%时，即一次函数及=k久+b的图象在二次函数%=a久2+%久+c的图象的上面，

可得x的取值范围是：一2<x<l.

故答案为：-2<久<1.

利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出外>当时，x的取值范围.

此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题关键.

14.【答案】(4041,4041)

【解析】解：••・抛物线y=/在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A2,

人3，…，4n，…，

•••点力„的坐标为(研2).

2

设点M“的坐标为(a,a),则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x-a)+a,

点4i("，n2)在抛物线y=(x-a)2+a上，

n2=(n—a)2+a,

解得：a=2n-1或a=0(舍去)，

用n的坐标为(271-1,271-1),

.­■”2021的坐标为(4041,4041).

故答案为：(4041,4041).

根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点力n的坐标为8层)，设点的坐标为9,砌，则以点用„为

顶点的抛物线解析式为y=(x-a)2+a,由点4兀的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点的

坐标即可得出结论.

本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式,

根据点力„的坐标利用待定系数法求出a值是解题的关键.

15.【答案】9

【解析】解法一：当加<0时，评-2%-8|=m没有实数根；

当mN0时，|%2一2%—8|=m,即N—2%—8=m或2%—8=—zn,

关于x的方程|%2一2%-8|=6有三个解,

第11页，共20页

方程7-2x-8=m^x2-2x-8-之中必有一个方程有两个相等的实数根,

①当方程/-2%-8=小有两个相等的实数根时，

•••方程X2一2刀一8-m=0有两个相等的实数根，

判别式/=(-2)2-4x1X(-8-m)=0,

解得：m=-9,不合题意，舍去；

②当方程"一2久一8=一6有两个相等的实数根时，

方程%2-2刀一8+m=。有两个相等的实数根，

判别式/=(-2)2-4XX(-8+m)=0,

解得：m=9,

当m=9时，/-2x-8=9或2久一8=-9,

由%2—2%-8=9解得：%1=1+3^2,%2=1-3V2,

由久2—2x—8=-9解得Xi—x2=1.

综上所述：若关于久的方程,2—2x-8|=加有三个解，则实数根的值是9.

故答案为：9.

解法二：设月=y2=m,

画出函数％=|/-2久一8|的图象，点M的坐标为(1,9),如图，

关于久的方程|%2-2尤-8|=zn有三个解，

函数%=比2一2%-8|的图象与＞2=爪的图象有三个交点，

当＞2=Hl经过点”时，函数=|/-2刀-8|的图象与『2=小的图象有三个交点,

m=9.

••・关于久的方程评-2x-8|=zn有三个解，则实数小的值是9.

故答案为：9.

第12页，共20页

解法一：当m<0时，出_2比—8|=nt没有实数根；当m20时，|/—2久—8|=zn,即/—2x—8=m或

x2—2x—8=—m,然后根据关于久的方程|/一2x—8|=m有三个解得方程尤2—2x—8=m^Dx2—2x—8=—ni之

中必有一个方程有两个相等的实数根，①当方程2x-8=加有两个相等的实数根时，利用判别式等于0

可求出zn的值；②当方程式2一2乂-8=-机有两个相等的实数根时，利用判别式等于0可求出山的值；

解法二：设乃=y2=m,画出yi=|%2_2%一8|的图象，然后根据关于x的方程|/一2尤一8|=小

有三个解得函数yi=|比2-2%-8］的图象与>2=M的图象有三个交点，结合函数的图象即可得出小的值.

此题主要考查了绝对值的意义，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程；解法一的关键是理

解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式，分类讨论是难点之一；解法二的关键是构造二次函数和一次

函数，利用数形结合思想进行解答.

16.【答案】•••二次函数图象的顶点坐标为(1,2),

•••设函数解析式为y=a(x-l)2+2(a丰0),

当X=0时，y=Q,

0=a(O-l)2+2,

解得a=-2,

•••函数解析式为y=-2(X-1)2+2.

【解析】设二次函数的解析式为丫=以%—1)2+2940),然后把原点坐标代入求解即可.

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便.

17.【答案】解：(1)依题意得：△=(2m+l)2-4(m2-4)=0,

解得：m=一?,

即当爪=-午时，方程有两个不相等的实数根.

(2)依题意得：32+3(2m+l)+m2-4=0,

解得m=-2或ni=—4.

【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根得出△>(),据此列出关于小的不等式，解之可得；

(2)将x=3代入得到关于HI的方程，解之可得.

本题主要考查根的判别式，一元二次方程a/+6久+。=0(a丰0)的根与△=/-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

第13页，共20页

18.【答案】解:(1)根据题意得△=(2k+1)2—4(/+2k)>0,

解得k4

2

(2)根据题意得+x2=2k+1,x1x2=k+2k,

X1X2—Xi—X2——16.

2

••­+X2)-2X1X2]=-16,

即—(％]+*2)2+3兀1■%2=-16,

•••~(2k+I)2+3*2+2k)=-16,

整理得N—2k-15=0,

解得的=5(舍去)，七=一3.

•••k=-3.

【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(2卜+1)2-4(/+2幻20,然后解不等式即可；

(2)根据根与系数的关系得到+比2=2k+1,%1%2=fc2+2k,再把久1X2-好1城=-16变形为

—(久1+%2)2+3%1•%2=-16,所以一(2k+I)2+3(fc2+2k)=—16,然后解方程后利用(1)中的范围确定

满足条件的k的值.

本题考查了根与系数的关系：若久1，久2是一元二次方程a久2+6刀+©=0(£170)的两根时，%1+%2=

久也考查了根的判别式.

19.【答案】解：(1)抛物线y=-/+mx+ri与x轴交于4、B两点，且抛物线的对称轴为直线尤=一3,

点力与点B关于直线x=-3对称，

点4在点B的左侧,且4B=4,

.•.4(-5,0),5(-1,0),

把4(—5,0)、F(—l,0){^Ay=—x2+mx+n,

ZBC—25—5m+n=0

+n=0，

解得{之二56，

抛物线的表达式为y=—%2—6x—5.

(2)根据题意，平移后的抛物线经过原点，

设平移后的抛物线的表达式为y=-必+bx,

当y=0时，由—必+b%=o得％1=0,必=b,

・•・C(瓦0),

第14页，共20页

・•・该抛物线的对称轴为直线％=5,

当％时,y=一（与）2+，按=/2,

Z乙乙A

评）；

如图，作PDlx轴于点D,则。D=CD,

•••△OCP是等腰直角三角形，

AAOPC=90°,

：.PD=^1OC=OD,

解得历=2,历=。（不符合题意，舍去），

【解析】（1）先根据抛物线的对称性求出点4、点B的坐标，再将点4、点8的坐标代入丫=一式2+小刀+九，

列方程组求出小、n的值即可；

（2）设平移后的抛物线的表达式为y=-/+bx,将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作

PD1%轴于点。，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出6的值及点P的坐标.

此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、抛物线的平移、解一元二次方程等知

识与方法，解第（2）题的关键是过顶点P作x轴的垂线，再利用等腰直角三角形的性质求出顶点P的坐标.

20.【答案】解：（1）设每个“拉伊卜”大摆件的售价是x元，小摆件的售价是y元，

根据题意得：仁胃：乳

解得:^=120.

答：每个“拉伊卜”大摆件的售价是300元，小摆件的售价是120元；

（2）根据题意得：300x（30-+（120-2m）x（100+|m）=20520,

整理得：m2+10m-96=0,

解得：=6,爪2=-16（不符合题意，舍去），

120-2m=120-2X6=108.

答：降价后每个小摆件的价格是108元.

【解析】（1）设每个“拉伊卜”大摆件的售价是久元，小摆件的售价是y元，根据“每个大摆件的售价是每

个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件”，可得出关于x,y的二元一次方

第15页，共20页

程组，解之即可得出结论；

(2)利用销售总额=销售单价X销售数量，可得出关于小的一元二次方程，解之即可得出租的值，将符合

题意的值代入(120-2m)中即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列

出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

21.【答案】解：(1)设该一次函数解析式为y=kx+b(kH0),把点(5,90),(6,60)代入，得

5cf+

6f+=90

c=60'

制cf

解b24o

故该一次函数解析式为：y=-30x+240；

(2)设当日可获利润卬(元)，日零售价为x元，由(1)知，

w=(-30x+240)(久一5*0.8)=-30(>-6)2+120,-30x+240>75,即kW5.5,

当x=5.5时，当日可获得利润最大，最大利润为112.5元.

【解析】(1)把点(5,90),(6,60)代入函数解析式丫=/«+〃上力0),列出方程组，通过解方程组求得函数

关系式；

(2)利用最大利润=y(x-4),进而利用配方法求出函数最值即可.

此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键.

22.【答案】(1)解：根据题意得:

(6-x)(6+3x)=62,

整理得:x(x-4)=0,

解得盯=。(不合题意，舍去)，冷=4.

则BE=4(米).

(2)根据题意得：

y=(6一%)(6+3久)，

=-3(X-2)2+48.

0<%<6,-3<0,

当x=2时，y的值最大为48M2.

【解析】(1)根据题意可得正方形花圃的面积为36,进而可得矩形花圃4EFG的面积为36,进而可

得：久Q—4)=0再解方程即可；

第16页，共20页

(2)根据二次函数的性质即可得到结论.

此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

23.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+l)(x-4)=a(x2-3x-4),

则-4a=-4,

解得：a=1,

则抛物线的表达式为：y=X2-3X-4；

(2)存在，理由:

由抛物线的表达式知，点C(0,-4),

设点E(%,0),

则BC2=32,BE2=(x-4)2,CE2=x2+16,

当BC是斜边时，

则32=(x-4)2+x2+16,

解得：x=0或4,

即点£(0,0)或(4,0)；

当BE或CE为斜边时，

同理可得：(久一4尸=x2+16+32或32+(x-4)2=%2+16,

解得：x=4或一4,

即点E(4,0)(舍去)或(-4,0)；

综上，点E(0,0)或(一4,0)；

(3)过点P作P//〃y轴交BC于点

由点8、C的坐标得，直线BC的表达式为：y-x-4,

-11

贝"△PBC=SAPHB+SAPHC='xOBxPH=~x4x(%—4-/+3x+4)=2(—+4%),

—2<0,

第17页，共20页

故当x=2时，S4PBC的最大值为8,

此时，点P(2,—6).

【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)当BC是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解；当BE或CE为斜边时，同理可解；

⑶由S^PBC=SMHB+SAPHC=，xOBxPH,即可求解.

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键.

24.【答案】解：(1)「C(O,—1),

0C=1,

nri

在RtMOC中，tan^OAC=^=

■-0A=2,即力(一2,0),

把4(一2,0),。(0,—1)代入y-x2+bx+c得:

C4—2b+c=0

(c=-1'

解得,°―5

(c=-1

抛物线的解析式为y="+|x-i；

⑵由y=/+/-1可得，抛物线对称轴为直线x=-■|=

设「(七产+5t―1),其中—2Vt＜一

Z4,

1•,PQ〃久轴，

■■P,Q关于直线x=—扫寸称，

.•收=2(_4)=一尹23

由4(—2,0),C(0,—1)可得直线"解析式为y=—9―1,

PR1%轴，

1

R(t,——

-1o

・・・PR==-t2-2t,

・.・PQ+PR=I，

—2t—t2—2t=/

第18页，共20页

整理得产+4七+3=0,

解得t=-1或力=-3,

3

—2<t<—

-t=—1,

(3)原抛物线解析式为y=x2+1%-1=(x+1)2-靠，

根据题意可得新抛物线解析式是y=(%-1+1)2-言T=(%—/一点=/一枭一1

X*XOxXO乙乙

设5Tn—5)，N(一工,九)，而4(—2,0),C(0,—1),

ZZ4,

①若MN,4C是对角线，则MN的中点即为4C的中