2025届高考数学一轮复习解题思维3高考中三角函数解三角形解答题的提分策略作业试题含解析新人教版

PAGE解题思维3高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.[12分]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且2bcosB=3ccosC=asin(1)求实数λ的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.2.[12分]如图3-1所示,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的半径为2,圆心角为2π(1)若点C(1,0),且CM=2,求点M的横坐标;(2)求△MAB面积的最大值.图3-13.[2024浙江杭州二中、学军中学等五校联考,14分]已知f(x)=sinx(sinx+3cosx),在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(A)=324.[2024八省市新高考适应性考试,12分]在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=32(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.答案解题思维3高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.(1)依题意和正弦定理得2bcosB=bsinB所以tanB=12,tanC=1tanA=-tan(B+C)=-12+13由余弦定理得,λ=b2+c2-a(2)由tanB=12,tanC=13,易得cosB=25依题意及(1)得2bcosB=3ccosC则S△ABC=12×210×25×222.(1)连接OM,依题意可得,在△OCM中,OC=1,CM=2,OM=2,所以cos∠COM=22+12所以点M的横坐标为2×34=32(2)连接OM,设∠AOM=θ,θ∈(0,2π3),则∠BOM=S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=12×2×2[sinθ+sin(2π3-θ)]-12×2×2×32=23因为θ∈(0,2π3),所以θ+π6∈(π6所以当θ+π6=π2,即θ=π3时,△MAB的面积取得最大值,最大值为3.(1)f(x)=sinx(sinx+3cosx)=1-cos2x2+32sin2x=sin(2x-令π2+2kπ≤2x-π6≤得π3+kπ≤x≤5∴f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π(2)由(1)可知,f(A)=sin(2A-π6)+12=32∵0<A<π,∴-π6<2A-π6<∴2A-π6=π2,解得A=π解法一由a=2,A=π3及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-4=bc,∴(b+c)2-4=3bc≤3(b+c2当且仅当b=c时等号成立, (12分)又b+c>a=2,∴2<b+c≤4,4<a+b+c≤6, (13分)∴△ABC周长的取值范围是(4,6] (14分)解法二由正弦定理asinA=bsinB=csinC得,b=asin∴b+c=433∵A=π3,∴C=π-A-B=2∴sinB+sinC=sinB+sin(23π-B)=32sinB+32cosB=3sin(B+又B∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,56∴b+c∈(2,4],a+b+c∈(4,6], (13分)∴△ABC周长的取值范围是(4,6]. (14分)4.(1)因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC. (1分)在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+B在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=BD2+CD2(2)设BC=x,则AB=2x,在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2