2025届北京市101中学数学高二上期末质量检测模拟试题含解析

2025届北京市101中学数学高二上期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（）A.44 B.C.66 D.2．已知等比数列中，，，则该数列的公比为（）A. B.C. D.3．等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（）A.3 B.4C.5 D.64．经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程为（）A. B.C. D.5．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（）A.26 B.39C.104 D.526．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（）A B.C.1 D.7．如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（）A. B.C. D.8．关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围（）A. B.C. D.9．已知直线与直线垂直，则实数（）A.10 B.C.5 D.10．已知椭圆的中心为，一个焦点为，在上，若是正三角形，则的离心率为（）A. B.C. D.11．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.规定成绩低于13秒为优，成绩高于14.8秒为不达标.由直方图推断，下列选项错误的是（）A.直方图中a的值为0.40B.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为优的人数为54D.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为不达标的人数为1812．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（）A.40 B.30C.20 D.12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，含项的系数为______（结果用数值表示）14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.15．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.16．已知点是椭圆上任意一点，则点到直线距离的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围（2）若是方程的两个不相等的实数根，证明：18．（12分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求值19．（12分）已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为.（1）求的最小值；（2）当直线与轴平行时，求的值.20．（12分）已知椭圆的离心率为，点是椭圆E上一点.（1）求E的方程；（2）设过点的动直线与椭圆E相交于两点，O为坐标原点，求面积的取值范围.21．（12分）设等差数列的前n项和为，已知（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值22．（10分）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且（1）求证：四点共面；（2）设与交于点，求证：三点共线.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【详解】因为，是方程的两个根，所以，而，所以，则,故选：.2、C【解析】设等比数列的公比为，可得出，即可得解.【详解】设等比数列的公比为，可得出.故选：C.3、B【解析】根据等比数列相关计算得到，，进而求出与，代入后得到，利用指数函数和二次函数单调性得到当时，取得最小值.【详解】显然，由题意得：，，两式相除得：，将代入，解得：，所以，所以，，所以，其中单调递增，所以当时，取得最小值.故选：B4、B【解析】求出两直线的交点坐标，可设所求直线的方程为，将交点坐标代入求得，即可的解.【详解】解：由，解得，即两直线的交点坐标为，设所求直线的方程为，则有，解得，所以所求直线方程为，即.故选：B.5、A【解析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和及等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性质可得：，，所以由可得：，解得：，所以数列的前13项之和为，故选：A6、B【解析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设，有，线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，因此，，当且仅当时取“=”，所以线段EF长的最小值为.故选：B7、D【解析】由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论【详解】由题意，则，即，由圆方程知，设，，则，，又，两式相减得，所以，直线方程为，即故选：D8、A【解析】当时，显然不成立，当时，分离变量，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】当时，可得显然不成立；当时，由于方程可转化为，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取唯一的极大值，也是最大值，所以，所以，即，所以实数m的取值范围.故选：A.9、B【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.【详解】由题意，直线与直线垂直，可得，解得.故选：B.10、D【解析】根据是正三角形可得的坐标，代入方程后可求离心率.【详解】不失一般性，可设椭圆的方程为：，为半焦距，为右焦点，因为且，故，故，，整理得到，故，故选：D.11、D【解析】根据频率之和为求得，结合众数、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，解得，A选项正确.众数为，B选项正确.成绩低于秒的频率为，人数为，所以C选项正确.成绩高于的频率为，人数为人，D选项错误.故选：D12、B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.【详解】由总数为1200，样本容量为40，所以抽样距为：故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、12【解析】通过二次展开式就可以得到.【详解】的展开式中含含项的系数为故答案为：1214、∪【解析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，即，且，解得，且，∴x的取值范围是∪.故答案为：∪.15、【解析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.【详解】设，因为，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因为，所以①②两式相加可得：，解得：，则，故答案为：.16、【解析】求椭圆上平行于的直线方程，利用平行线的距离公式求椭圆上点到直线的最小值.【详解】设与椭圆相切，且平行于的直线为，联立椭圆整理可得：，则，∴，又两平行线的距离，∴到直线距离的最小值为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）详见解析【解析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.【小问1详解】，，在上单调递减，在上恒成立，即，即在，设，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值是，所以；【小问2详解】若是方程两个不相等的实数根，即又2个不同实数根，且，，得，即，所以，不妨设，则，要证明，只需证明，即证明，即证明，令，，令函数，所以，所以函数在上单调递减，当时，，所以，，所以，即，即得【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.18、（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.小问1详解】由；；【小问2详解】把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得，，因为在直线上，所以，或而，所以.19、（1）3；（2）5【解析】（1）由题可得和的距离即为的最小值；（2）可得此时直线的方程为，求出交点坐标即可求出距离.【详解】（1）由题可得当且时，取得最小值，即和的距离，由两平行线间的距离公式，得，所以的最小值为3.（2）当直线与轴平行时，方程为，设直线与直线，分别交于点，，则，，所以，即，所以.20、（1）；（2）.【解析】(1)列出关于a、b、c的方程组即可求解；(2)根据题意，直线l斜率存在，设其方程为，代入椭圆方程消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出PQ长度，求出原点到l的距离，根据三角形面积公式表示出△OPQ的面积，利用基本不等式求解其范围即可.【小问1详解】由题设知，解得.∴椭圆E的方程为；【小问2详解】当轴时不合题意，故可设，则，得.由题意知，即，得.从而.又点O到直线的距离，∴，令，则，，，所求面积的取值范围为.21、（1）（2）10【解析】（1）由等差数列的前项和公式求得公差，可得通项公式；（2）用裂项相消法求和求得，根据新定义求得，然后分组，结合等差数列的前项和公式计算后解方程可得【小问1详解】设等差数列的公差为d，因为，则.因为，则，得.所以数列的通项公式是【小问2详解】因为，则所以.