2024年高考数学复习：函数的概念及其表示（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第06讲函数的概念及其表示(精讲)

题型目录一览

①给出函数解析式求解定义域

②抽象函数定义域的求法

③函数值域的求法

④函数解析式的求法

⑤分段函数的应用

一、知识点梳理

1.函数的概念

(1)一般地，给定非空数集/,B,按照某个对应法则),使得/中任意元素x,都有3中

唯一确定的y与之对应，那么从集合/到集合8的这个对应，叫做从集合/到集合8的一

个函数.记作：x-y=/(x),xe/.集合/叫做函数的定义域，记为。，集合｛My=/(x),

xe/｝叫做值域，记为C.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

(3)函数表示法：函数书写方式为y=/(x),xeD

(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

2.基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：

(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1;

(4)零次幕或负指数次幕的底数不为零；

(5)三角函数中的正切y=tanx的定义域是｛x|xeR,且工/日+^,左ez1；

(6)已知/(x)的定义域求解/[g(x)]的定义域，或已知/[g(x)]的定义域求/(x)的

定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J下，括号内式子

的范围相同；

(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的

定义域.

3.基本初等函数的值域

(1)F=丘+6(我片0)的值域是R.

(2)y=a/+6x+c(aW0)的值域是：当a>0时，值域为—;当a<0时，值域

4。

为｛"2丁｝.

4。

k

(3)y=*#0)的值域是{y\y丰0}.

(4)y=/(。>0且awl)的值域是(0,+oo).

(5)y=log”x(a>0且aw1)的值域是R.

4.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通

常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.

提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值

域是各段值域的并集.

二、题型分类精讲

题型一给出函数解析式求解定义域

畲策略方法已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)简单函数的定义域：若/(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它

的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定

对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集

即可.

【典例1】求下列函数的定义域:

(l)/(x)=2+--；

X-Z

⑵仆)=(1)。+jg；

(3)/(x)=A/3—xy/x—1;

【答案】(l){x|尤R2}.

⑵{X|X>-1且XWl}.

(3){x|l<x<3}.

(4)卜,《1且工片-1}.

【分析】(D根据分母不为0,列式可求出；

(2)根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0,列式可求出；

(3)根据二次根式的被开方数大于等于0,列式可得出；

(4)根据分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0,即可求出定义域.

【详解】(1)由题意知，尤-2*0,即：x丰2,所以这个函数的定义域为{x|xw2}.

%—1w0

2

(2)由题意知，一解得：x〉-1且xwl,所以这个函数的定义域为{刘》〉-1且xwl}.

X+1

x+1w0

(3)由题意知，［：［；：；，解得：14xW3,所以这个函数的定义域为{x|lWx<3}.

fx+lwO,.、

(4)由题意知，解得：QI且XW7,所以这个函数定义域为卜k41且xw-1}.

【题型训练】

一、单选题

1.下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是()

A./(x)=一五与/(%)=%+收B./(X)=1。83%2与/(%)=嚏3、

C./(无)=7?与/卜)=XD./卜)=而一1)3与/(x)=x-l

【答案】D

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数.

2r\

【详解】对于A,=x丰也,而〃x)=x+VLxeR,二者定义域不相同，

不是同一函数；

2

对于B,/(x)=log3x,xwO,而/(1)=唾3、，x>0,二者定义域不相同，不是同一函数;

对于C,/(x)=V?=|x|,二者定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；

对于D,/(x)=V(x-l)3=x-l,xeR,二者定义域、对应法则均相同，是同一函数.

故选：D.

,,ln(x+l)一、，，

2.函数了=72定义域为()

V4-x2

A.(-1,2)B.(-1,2]C.(1,2)D.(1,2]

【答案】A

fx+1>0—

【分析】由/2八计算得解.

[4-x>0

fx+1>0-ln(x+l)一,

【详解】由“2八得T<x<2,所以函数k十W定义域为(-1,2).

[4-x2>0,4-尤2

故选：A.

二、填空题

1

3.函数L两尹的定义域是----------

【答案】q,l]u(l,+⑹

【分析】根据题意可得出无所满足的不等式组，进而可得函数的定义域.

f2x-l>01

【详解】由题意可得Jbg(2x7)70'解得X>]且XXL

因此，函数广则；1)的定义域是加U(l,+⑹.

故答案为：g,l]u(l,+m).

4.函数y=Igsiwc+jg-cosx的定义域是.

【答案】,+费+0口

【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解

即可.

sinx>0

【详解】要使函数有意义，需1c

12

2E<x<7i+2kn,keZ

解得：，兀o,，，5兀

—F2kliSxsF2kn,kGN

[33

兀

即2痴+—<x<2左兀+it,kGZ

故答案为：2版+：2也+弓(左eZ)

三、解答题

5.求下列函数的定义域：

3x

(1)/w-

(2)/(x)=E；

(3)/(x)=7^7I

(4)△x)=E

【答案】(1)&|xw4｝；(2)R；(3)｛x|x*l,且xw2｝；(4)｛x|xV4且xwl｝

【解析】(1)根据分式中的分母为不为零直接求解即可；

(2)根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；

(3)根据分式中的分母为不为零直接求解即可；

(4)根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可

【详解】解：(1)vx-4^0,

：.x^4,定义域为*|x*4｝；

(2)不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；

(3):—3x+2w0,

且x#2,定义域为｛x|xRl,且无#2｝；

4-x0,\x4

且

(4)无一1W0]x片14xw1.

...定义域为｛x|xW4且方1｝.

【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题.

匕二+尤的定义域为〃,

6.已知函数了=lg(3-4x+2)

1-X

(1)求林

(2)当XEM时，求/(%)=42+2+3x4"(。>-3)的最小值.

33

2a+-(«>--)

44

【答案】(1)M=[—U)(2)/(x)=

min42「3、

——a(-3<a<——)

34

【分析】(1)根据被开方数大于等于零、分式分母不为零、对数的真数大于零求解定义域;

(2)将/(%)看成是关于2、的二次函数，根据2、的范围讨论。的范围来确定最小值.

且20且XW1

【详解】解：(1)..•由题意可得1-X

3-4x+x2>0

可解得M=[-1,1)

?/74

(2)/(x)=0.2"2+3x4*=3(2,+>丁2

又一<2X<2,a>—39

2

-T<2

①若-?V：,即心-|■时，/(x)min=/(-1)=2«+1,

J，44

②若L-包<2,即-3<q<-之时,

234

ga,即x=log2(-g)时,/(x)=-：〃

所以当2、=1nto

33

2。+—(a>—-)

44

42/,3、

——a(-3<a<—)

134

【点睛】(D常见的定义域问题中会涉及：分式分母不为零、对数真数大于零、根号下数

■JT

大于等于零、tanx中xw左;r+万,左£Z等;

(2)对于形如/(%)=。2、+4/+。形式的函数，可将其转化为二次函数的形式，然后完成

问题的求解.

题型二抽象函数定义域的求法

畲策略方法抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/(x)的定义域为[a,b],则复合函数/(g(x))的定义域由gg(x)助求

出.

(2)若已知函数/(g(x))的定义域为[a,b],则/(x)的定义域为g(x)在xe[a,瓦)时的

值域.

提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围.

【典例1】求下列函数的定义域：

⑴已知函数/(幻的定义域为[1,2],求函数＞=/(2x+l)的定义域;

⑵己知函数＞=/（2x+l）的定义域[1,2],求函数/（x）的定义域；

⑶已知函数y="2x+l）的定义域口，2],求函数y=/（2x-D的定义域.

【答案】（1）[0,1|

⑵[3,5]

（3）[2,3]

【分析】（1）由/（X）的定义域可得1V2X+1V2,求出X的取值集合即可得出/（2尤+1）的定义域;

⑵由/（2x+l）的定义域可得1WX42,求出2x+l的取值集合即可得出的定义域；（3）由

〃2x+l）的定义域可得1VXV2,求出2x+l的取值集合即可得出/*）的定义域，进而得出

2x-l的取值集合，再求出x的取值集合即可；

⑴设2x+l=f,由于函数了=/（。定义域为[1,2],

故1W2,即1V2X+1V2,解得OWxW』，

2

所以函数y=/（2x+i）的定义域为[0,1];

（2）设2x+l=f,因为14x42,

所以3M2X+1V5,即34/45,函数尸f⑺的定义域为[3,5],

由此得函数了=/（尤）的定义域为[3,5]；

⑶因为函数y=/（2x+l）的定义域为[1,2],即1WXV2,

所以3M2X+1V5,所以函数y=/（尤）的定义域为[3,5],

由3V2X-1V5,得2V尤V3,

所以函数y=/（2x-l）的定义域为[2,3].

【题型训练】

一、单选题

1.若函数〃力的定义域为[0,4],则函数g（x）=/（x+2）的定义域为（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函数“X）的定义域，可得OWx+244,求出x的范围，即可得到函数g（x）的定

义域.

【详解】因为函数“X）的定义域为[0,4],

所以0VX+2W4,解得-24x42,

所以函数8（司=/"+2）的定义域为[-2,2].

故选：A.

2.已知函数了=/（尤+1）的定义域为[1,2],则函数y=/（2x-l）的定义域为（）

i3

A.—,1B.—,2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】•••函数V=/(x+l)的定义域为[1.2],即14x42,可得2VX+1V3,

二函数了=/@)的定义域为[2,3],

3

令2—43,解得

故函数y=/(2x-l)的定义域为-,2.

故选:B.

3.函数“X)的定义域为12,4],则夕=/9的定义域为()

X-1

A.(1,8]B.[-4,l)u(l,8]

C.(1,2]D.[-1,1)U(1,2]

【答案】D

【分析】利用抽象函数和分式函数的定义域求解.

[-2<2x<4,

【详解】解：由题意得।八

解得-14x42且x/1.

故选：D

二、填空题

4.若已知函数了(4尤-1)的定义域为[0,问，则可求得函数f(2x-l)的定义域为[0,2]；问实

数m的值为.

【答案】1

【分析】分别求得4x7和2x-l的取值范围，由这两个范围相同可得加值.

【详解】函数中，0Wx(冽n-1V4x-lV4加一1,

函数/(2x-l)中，”2x-”3,

所以4m-1=3,m=l.

故答案为：L

5.已知函数〃X+1)的定义域为[-2,3],则函数+11的定义域.

【答案】hX"；或xwg

【分析】根据函数于(x+1)的定义域关系转化求解-1<-+1<4即可得解.

X

【详解】已知函数/(X+1)的定义域为［-2,3］,

所以函数的定义域为［-L4］,

在函数/(一+1］中，-1V：+1V4,

-2<-<3

X

所以x-g或

所以函数”的定义域：卜或x］｝.

故答案为：卜“3或2比

三、解答题

6.已知函数/(l-2x)的定义域为N=1,1.

(1)求/(X)的定义域3;

⑵对于(1)中的集合8,若大€8,使得一x+1成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴8=［-1,0］

⑵。，+°°)

【分析】(1)由复合函数的定义域定义求解，即由已知尤的范围求得l-2x的取值范围；

(2)求出/_x+l在xeB时的最小值即得.

【详解】(1)的定义域为/=1,1,

l,.-.-l<l-2x<0,贝ijB=［-1,0］.

⑵令gG)=x2_x+l,.•祗eB,使得0>/_苫+1成立，即。大于g(x)在［T。］上的最小

值，

因为8卜)=1_3+：.”(尤)在［-1,0］上的最小值为8(0)=1,

，实数。的取值范围为。,+8).

7.已知函数/(》)=2,的定义域是［0是］,设g(x)=〃2x)-/(x+2),

(1)求g(x)的定义域;

(2)求函数g(x)的最大值和最小值.

【答案】⑴[0,1]

⑵最大值为-3,最小值为-4

【分析】(D根据/(x)的定义域列出不等式即可求出；

(2)可得g(x)=(2-2)2-4,即可求出最值.

【详解】⑴/("=2"的定义域是[0,3],g(x)=/(2x)-/(x+2),

/、「If02x3

因为〃X)的定义域是[0,3],所以，解得0X1.

IU儿I乙D

于是g(x)的定义域为[0』.

(2)设g(x)=(2，『_4x2，=(2工-2j一4.

因为xe[0,l],即2飞[1,2],所以当2'=2时，即x=l时，

g(x)取得最小值，值为-4；

当2—1时，即x=0时,g(x)取得最大值,值为-3.

题型三函数值域的求法

畲策略方法函数值域的求法主要有以下几种

(1)观察法:根据最基本函数值域(如/沙,优〉0及函数的图像、性质、简单的

计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

(2)配方法：对于形如尸加+6x+c(叱0)的值域问题可充分利用二次函数可配

方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.

(3)图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

(5)换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y=ax+6+F2的值城，

可通过换元将原函数转化为二次型函数.

(6)分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简

化内便于分析.

(7)判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程

的判别式求值域，一般地，形如N=/x+8,d&+bx+c或y="2c的函数

值域问题可运用判别式法(注意X的取值范围必须为实数集R).

(8)单调性法：先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性，再求出值域.对

于形如y=slax+b+-Jcx+dy=ax+b+y/cx+d的函数，当ac>0时可利用单调

性法.

【典例1】试求下列函数的值域.

(l)y(x)=(x-l)2+l,xe(-1,0,1,2,3)

⑵f(x)=x?-2x+2

(4)y=x-Jx+1

【答案】⑴定义域为{T，0，l，2,3},值域为{1,2,5}.

(2)定义域为R,值域为[1,+s)

(3)定义域为{尤|xwl},值域"5,+oo).

(4)定义域是{x|xNT},值域

【分析】(1)定义域已知，代入计算得到值域.

(2)变换〃X)=(X-1)2+1N1,得到答案.

(3)确定定义域，变换/(x)=5+」？，得到值域.

(4)设夕=「-1-/=0-；：-(,计算得到定义域和值域.

【详解】(1)函数的定义域为{TO123},则=一iy+]=5,

同理可得〃0)=2,/(1)=1,"2)=2,/(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.

(2)函数的定义域为R,H^/(X)=X2-2X+2=(X-1)2+1>1,所以函数的值域为[1,+8).

(3)函数的定义域为xlxwl,因为/(无卜==

x-lx-lx-1

所以函数的值域为(-8,5)"5,+8).

(4)要使函数有意义，需满足x+120,即x'T,故函数的定义域是{x|x2-1}.

设贝1]x=J一1(d0),于是y=f2-i7=k一口二*,

又给0,所以所以函数的值域为-8

44

【题型训练】

一、解答题

1.求下列函数的值域：

(l»=2x+l；

(2)y=x2—4x+6,xG[l,5)；

(4)y=x+4x-

【答案】⑴R；

(2)[2,11)；

(3){y|yr3}；

⑷[0,+孙

【分析】(1)根据一次函数的图像性质即可求其值域；

⑵作二次函数在[1,5)之间的图像，数形结合即可求其值域；

(3)函数解析式分离常数法即可求其值域；

(4)利用换元法，结合二次函数的性质即可求其值域.

(1)因为xWR,所以2x+lGR,即函数的值域为R.

(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因为xG[l,5),如图所示:

y

所以所求函数的值域为［2,11).

(3)借助反比例函数的特征求.

3(x+l)-44/、

y=——-=3--------(x〜1)

x+1x+1'7

4

显然可取。以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|yr3}.

21IT〃NO),

(4)设〃=«(xNO),贝!Jx=u2(*0),y-u+u=U+

由UNO,可知(u+；］q,所以yK).

所以函数y=x+6的值域为［0,+(»).

二、单选题

2.函数/(x)=，3x—2,xe{1,3,5},则/(x)的值域是()

阮同

A.{1,B.[0,+oo]C.[1,+℃]D.R

【答案】A

【分析】由函数值域定义可得答案.

【详解】由题意得：/（1）=1,/（3）=77,/（5）=713.

故“X）的值域是卜,〃,V13）.

故选：A.

\-x,x<0

3.下列四个函数：①了=3-尤；②>」；③y=x2+2x-10；@y=i.其中定

X——,x>0

义域与值域相同的函数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.

【详解】①y=3-x的定义域和值域均为R,

②y=L定义域为{xeRIxRO},.•.值域为{yeRlyHO},定义域与值域相同；

X

③了=/+2-10=（》+1）2—11的定义域为R,值域为,

定义域与值域不相同；

-x,x<0

@y=\1八的定义域为R,当时，y=-x>0.

——,%>0

当x>0时，^=--<0,则函数值域为R,故函数定义域与值域相同，

所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个.

故选：C.

4.下列函数中，值域是（O,+e）的是（）

x+2

A.y=yjx2-2x+lB.y=-----XG（0,+GO）

x+1

21

C.y=—；-----------，xeND.y=I

x1+2x+\\x+i\

【答案】D

【分析】根据函数的性质分别进行判断即可.

【详解】对选项A：y=Vx2-2x+l=7（x-l）2=|x-l|>0,即函数的值域为他+少），错误;

对选项B：^=£±|=1±1!1=1+1,则函数在（0,+句上为减函数，贝！Jl<y<2,即函

x+1x+lX+1

数的值域为（1,2）,错误；

2

对选项C：函数的定义域为N,函数的4=2；「xeN值域不连续，错误；

%+2%+1

对选项D：>=向>。，函数的值域为（0,+s）.

故选：D

三、多选题

4Y]

5.已知函数/（x）=^—,则（）.

x—2

A.“X）的值域是{引尸4}B./（X）的定义域为中2

C./（2026）+/（-2022）=8D./（2023）+/（-2019）=8

【答案】ACD

【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到的对称中心，即可判

断C、D正误.

【详解】由/（》）=止4=4+工，则定义域为{x|xw2},值域为{用了力4},

x-2x-2

所以（2,4）是〃x）的对称中心，贝！]/（2026）+/（-2022）=/（2023）+/（-2019）=8,

综上，A,C、D正确，B错误.

故选：ACD

6.下列函数最小值为2的是（）

21

A.y=x+4x+6B.y=x+—

x

C.y=2x+^D.j=|lnx|+2

【答案】ACD

【分析】利用配方法判断A,利用对勾函数的性质判断B,利用均值不等式判断C,利用对

数函数的值域判断D.

【详解】）/=x2+4x+6=（x+2）2+2>2,最小值为2,选项A正确；

当x<0时，y=x+—<0无最小值，选项B错误；

xt

JC

y=r+—=2.2~=2,当且仅当2'=1,即x=0时取得最小值2,选项C正确；

2XyT2X

InxeR,所以|lnx|»0,y=|lnx|+2>2,当x=l时取得最小值2,选项D正确.故选：ACD

四、填空题

7.函数/G）=£,工4-1,1]的值域为.（结果用区间表示）

【答案】1,1

【分析】xe[-M],则f+le[1,2],得到/（%）=为,的值域.

【详解】则，+1中,2],故〃x）=±,xe[T,l]的值域为.故答案为:

P1

8.函数y=W的值域为.

【答案】1,2）

【分析】应用分离常量法求函数值域即可.

【详解】由2（〉+1）_3_2_3,又一+121,则0<—7W3,所以ye[T,2）.

x2+lx2+lX2+1

故答案为：[T,2）

题型四函数解析式的求法

畲策略方法函数解析式的常见求法

待广、/一陪巨血菌薮帝亲塞百甫番兔聚薮京!

数法

工沙已知复合函数/（g（%））的解析式，可用换

换兀法元法，此时要注意新元的取值范围

通巨而秦祥…二八）两花可习

I配凑法]一；改写成关于g（“）的表达式，然后以先替代

―）,便得了（%）的解析式

R-r-n!已知八％）与/（工）或八一%）之间的关系:

消去（万''"）\

程组）法一：式，可根据已知条件再构造出另外一个等1

，式组成方程组，通过解方程组求出£（冤）：

【典例11（1）己知〃尤）是一次函数，且满足3/（尤+1）-/（0=2尤+9,求的解析式.

（2）若对任意实数x,均有〃x）-2/（-x）=9x+2,求）卜）的解析式.

【答案】（D/（%）=x+3；（2）/（x）=3x-2.

【分析】（D设〃x）=Ax+6,利用待定系数法求解即可；

（2）构造关于/（x）J（r）方程组求解即可.

【详解】(1)因为/(x)是一次函数，所以设/(%)=h+6,JO,

又因为3/(x+l)-/(x)=2x+9,

所以3[左(x+1)+6]—(丘+b)=2x+9,整理得2日+3左+26=2尤+9,

2k=2k-\

故3k+2b=9'解得

6=3

所以/'(x)=x+3.

(2)因为/(x)-2/(-x)=9x+2①,

所以「(-尤)-2/(元)=一9尤+2②,

由①+2x②得：—if(x)——9x+6,

解得：/(x)=3x-2.

【典例2】(1)已知〃x+l)=2x-3,求〃x)的解析式；

(2)已知/(耳+3/(-》)=/+/-2》，求“X)的解析式.

【答案】(D/(x)=2x—5；(2)/(x)=-1x3+^2+x

【分析】(1)应用换元法求函数解析式；

(2)构造方程组并作差求函数解析式.

【详解】(D令f=x+l,贝曦="1,故/⑺=2("1)-3=2-5,

所以/(x)=2x-5；

(2)由题设/(-x)+3/(x)=--+x2+2x①，结合/(x)+3/(-x)=x3+无2-2x②,

3x①一②得：Sf(x')--4X3+2X2+8X,故/'(x)=+x.

【题型训练】

一、单选题

1.已知函数〃x)满足/(2，+1)=4/-6x+5,则/(x)=()

A./(x)=x2+5x+9B./(x)=x2+5x-9

C./(X)=X2-5X+9D./(X)=X2-5X-9

【答案】C

【分析】利用换元法求解即可.

【详解】因为〃2x+l)=4f—6X+5,xeR,

令/=2x+l,贝！=/GR,

191

所以/(/)=4x1(f-l)~-6xi9-l)+5=f2-2/+l-3/+3+5=/2-5/+9,

故/(力=工2-5x+9.

故选：C.

2.一次函数〃x)满足〃1)+〃2)=〃3),且/⑵〃3)=/(4),则〃x)的解析式为()

23

A.f^x)=—xB./(x)=—xC./(x)=x+lD.f[x}=-2x+1

【答案】A

【分析】由题意，设〃可=依+6,依wO).根据/■⑴+〃2)=/(3),且〃2)/(3)=/(4),

利用待定系数法求解即可.

【详解】由题意，设〃到=由+6,(后片0).

+/■⑵=〃3),

即4+6+2无+6=3无+6,

可得：b=Q.

又•."(2)/(3)=/(4)

即2kx3k=4k

：.k=~,

3

.•./(目的解析式为〃力=>.

故选:A.

3.已知定义在R上的单调函数/(x),其值域也是R,并且对于任意的x,yeR,都有

f(xf(y))=xy,则V(2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】D

【分析】根据给定条件可得“存在为eR,使得了(%)=1"，再利用给定函数关系式，求出解

析式即可计算作答.

【详解】由于/(x)在R上单调，且值域为R,则必存在％©R,使得1(%)=1,

令歹=为得，/(力(州))=叫)，即/(x)=%x,

于是Vx/eR,f[xf(y))=/(xyoy)=y0(xyoy)=y1xy=,贝=

从而〃x)=±x,有|〃2022)|=2022.

故选：D

4.设是定义域为R的单调函数，且/'("x)-3x)=4,则()

A.〃T)=TB./(O)=lC./(1)=2D./(2)=3

【答案】B

【分析】换元，利用函数的单调性及函数值即可求出函数解析式，然后求函数值.

【详解】令f=〃x)-3x,则/⑺=4,

因为/'(x)是定义域为R的单调函数，

所以t为常数，即/(x)=3x+f,

所以"=4,解得y1,

所以〃x六3x+l,

故/(O)=lJ(-l)=-2J(1)=4J(2)=7.

故选：B

二、填空题

5.已知函数［(；1一1)=£一4x,则/(2x+l)=.

【答案】4X2-4

【分析】利用换元法求得/⑺=/-2/-3,即可求得答案.

【详解】令£=xT,，eR,x=什1,故由/(x-1)=x2-4x,

22

可得f(()=(t+1)-4(Z+l)=t-2t-3,

所以〃2x+l)=(2x+iy-2(2x+l)-3=4f-4.

故答案为：4x2-4

6.已知/［咛j=J+l,则的值域为.

【答案】。,+⑹

【分析】先求出〃x)=(x-l)2+l(xwl),再结合二次函数的性质即可得出值域.

【详解】解：令才=区，则7=1+工/1,所以工="1,

XXX

所以/(/)=(-1『+1，

故/(X)的解析式为/(尤)=(x-l)2+l(xH1),其值域为(1,+8).

故答案为：(1,+s).

7.设定义在(。,+纥)上的函数g(x)满足g(x)=2«・g1j-l,则g(x)=.

【答案】|V^+1(x>0)

【分析】利用方程组法求函数解析式，将X换成两式联立即可求解.

X

【详解】因为定义在(0,+句上的函数g(x)满足g(x)=26超[,1,

将x换成!可得：g(-)=4=g«-l,将其代入上式可得：

xx7x

g(x)=2Vx-gQ^-l=2Vx-[-p-g(x)-l]-l=4g(x)-2Vx-l,

所以g(无)=g«+g(x>0),

故答案为：§6+§(x>0).

三、解答题

8.在①/(2尤-3)=4x?-6无，(2)/(%)+2/(-x)=3x2-3x,③对任意实数x,y,均有

f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

已知函数"X)满足,求/(x)的解析式.

【答案】f(x)=xi+3x.

【分析】选①，利用换元法即可求出函数的解析式；

选②，利用方程法即可求出函数的解析式；

选③，利用赋值法即可求出函数的解析式.

【详解】选①，令，=2》-3,贝!|x==，

因为/(2x-3)=4x2-6x,

所以/«)=4x(m一6x等，

=t2+6，+9-3--9,

=t2+3t9

即/(x)=/+3%.

选②，因为/(x)+2/(-x)=3/—3x,(1)

所以/(-%)+2/(x)=3(-x)2-3(-x)=3x2+3x,(2)

(2)x2-(1)得3/(x)=3x2+9x,

即/(X)=X2+3X.

选③，令x=y=O,

则〃0)=2〃0),BP/(O)=O,

令>=0,贝!J/(x)=2/(0)+X?+3x=x?+3x,

所以/(x)-X2+3x.

9.求下列函数的解析式

⑴若f\x+—\=x"+—，求〃X）的表达式.

\X)X

(2)已知3〃x)+2〃-x)=x+3,求/(x)的表达式.

(3)已知“X)是二次函数,且满足/⑼=l,/(x+l)-/(x)=2x,求.

【答案】⑴/(X)=/-2(x«-2或XN2)

3

⑵/(x)=x+w

(3)/(X)=X2-X+1

【详解】(1)解：令；x+L当》>0时，贝卜=彳+!22、曰=2,当且仅当x=l时取等

XX\X

号，

当x<0时，Z=%+—=-(-%)+—<-2^X)—=-2,当且仅当x=-l时取等号，

所以，t<-2^t>2,

且.，+±=(工+!]-2=〃_2,所以，/«)=/-2,其中一2或

XIX)

因此，/(X)=X2-2(x4-2或xN2).

[3/(x)+2/(-x)=x+33

解：由已知条件可得二\「解得=x+"

[3/(-x)+2/(x)=-x+35

(3)解:由题知/(x)是二次函数，

不妨设1(x)=ax2+Zzx+G。，0,

因为〃O)=lJ(x+l)-/(x)=2x,

所以C=1,Q(X+1)2+6(%+1)+o-("2+6x+c)=2x,

即2ax+a+b=2X9

2a=2

故有

a+b=0

解得:。=1/=一1,

故/卜）=/7+1；

题型五分段函数的应用

速2策略方法

1.分段函数求值的策略

(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入

该区间对应的解析式求值.

(2)当出现/丁伍))的形式时，应从内到外依次求值.

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不

同段的端点.

2.求参数或自变量的值

解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该

段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可.

3.分段函数与不等式问题

解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨

论.如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解.

【典例1］已知

［2x-l,x>0

⑴求/(2),/(/(-3))

(2)若/(。)=。+6,求实数。的值

【答案］⑴42)=3,”/(-3))=5

(2)a=-3或a=7

【分析】(1)根据分段函数解析式计算即可；

(2)分情况讨论，代入求解，再验证后得出实数。的值

［详解］(D/(2)=3,/(/(-3))=/(3)=5

(2)若a>0,贝！)/(a)=2a-l,由/(a)=a+6得2a-l=a+6,解得a=7>0

若a<0,贝!］/(a)=a~+2a,由=ct+6+2a=a+6)

解得a=-3或a=2,由于。<0,a=-3

综上a=-3或。=7

【题型训练】

一、单选题

［2尸,(无<2),

1.设।/2n则/(/(2))=()

10g3(X-l),(xN2),

A.-1B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式，先求/(2),再求/(/(2))即可.

【详解】由已知〃2)=log3(22-1)=1,

"(〃2))=Xl)=2ei=2.

故选：C.

2*x«1

2.函数〃x)=；~,则/(5)的值为()

A.vB.2C.32D.—

232

【答案】B

【分析】根据函数解析式可得〃5)=〃1).

【详解】/(5)=/(3)=/(1)=21=2,

故选：B.

fX?+]X<]

3.已知函数f(x)=c;，若则实数。的值是()

[2x,x>l

A.-3或5B.3或一3C.5D.3或一3或5

【答案】A

【分析】根据函数解析式，分别讨论a<1,两种情况，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】若a<1,则/(。)=/+1=10,・・・。=-3(。=3舍去)，

若贝！］/(Q)=2Q=10,:,a=5,

综上可得，。=5或。=一3.

故选：A.

-%2-CLX—5,xW1

4.已知函数/(%)=q是R上的增函数，则。的取值范围是()

一,X>1

A.[-3,0)B.(-oo,-2]

C.D.[-3,-2]

【答案】D

【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即

可.

【详解】函数Ax)是R上的增函数，则/(x)在(f』上单调递增，故-羡

此时满足函数f(x)在(1,+8)上也是单调递增；

最后，只需在x=l处满足-仔-a-5<a^a>-3f

综上：。的取值范围是[-3,-2].

故选：D

二、多选题

、[%+3,xK—1/、

5.已知函数〃zX)=2,2,关于函数〃x)的结论正确的是()

x.—l<x<3

“X)的定义域为RB./(X)的值域为(F,9)

C."1)=1