山东省青岛市2025届高三年级上册期初调研检测数学试题（含答案）

山东省青岛市2025届高三上学期期初调研检测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合/={x\y=ln(4-x)},B={1,2,3,4,5},则An8=

A.{5}B.{1,2,3}C.{123,4}D.{123,4,5}

2.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,贝Uz的虚部为

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知命题p：V(zeR,sin(^-a)=cos(^+a),则ip为

A.VaGR,sine—a)Wcos《+a)

B.3aeR,sinr一a)Wcosg+a)

C.Ver住R,sin《-a)=cos《+a)

D.3a生R,sin《-a)=cose+a)

4.等差数列{即}的首项为-1,公差不为0,若。2,。3,。6成等比数列，则{斯}的前6项和为

A.-1B.3C.-24D.24

5.在平面直角坐标系%。y中，角a与角S均以%轴的非负半轴为始边，它们的终边关于%轴对称.若cosa=-

1

贝!Jcos(a-S)=

177

A.-B.--C.1D.-

6.两个粒子4B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为可=(1,2),嬴=(4,3).粒子8相

对粒子4的位移为贝「在可上的投影向量为

A菩)B.(在,2")C.(1,2)D.(2,1)

(%+a)2%v0

{X+工+见久口&若八0)是/(久)的最小值，贝心的取值范围为

A.[—1,0]B.[—1,2]C.[-2,-1]D.[—2,0]

8.已知双曲线C：善餐=l(a>0力>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,以为直径的圆和C的渐近线在

第一象限交于4点，直线4％交C的另一条渐近线于点8,F^B=BA,贝|C的离心率为

A.A/2B.V3C.2D.3

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.一组数据%1，%2,“110是公差为-2的等差数列，去掉首末两项打，巧0后得到一组新数据，则

A.两组数据的极差相同B.两组数据的中位数相同

C.两组数据的平均数相同D.两组数据的标准差相同

10.平面a过正方体/BCD—4$iCiDi的顶点4平面a〃平面C&Di，平面an平面ABC。=m,平面an

平面ZBBiAi=n,贝"

A.B1D1IImB.A^B〃平面a

C.九_L平面ZDCiBiD.m,几所成的角为30。

11.设数列｛斯｝和｛%｝的项数均为小，称£之1@-a|为数列｛即｝和｛%｝的距离.记满足%+1=茎詈的所有

•L“九

数列｛即｝构成的集合为C.已知数列｛力„｝和｛Bn｝为C中的两个元素，项数均为根，下列正确的有

A.数列1,3,5,7和数列2,4,6,8的距离为4

B.若m=4p(p€N*),则①&…4帆=

C.若m=4P(peN*),则邓\Ai\<m

D.若公=2,%=3,数列｛4J和｛%｝的距离小于2017,则m的最大值为3456

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若曲线y=axcosx在点(0,0)处的切线斜率为一1,则a=.

TT_

13.若Xi=w，M2=兀是函数/(久)=sin3X(3>0)的两个相邻极值点，则3=.

14.正方体4BCD-的棱长为3,P是侧面ADDMi(包括边界)上一动点，E是棱CD上一点，若

乙APB=£EPD,且△APB的面积是△DPE面积的9倍，则三棱锥P-4BE体积的最大值是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平

局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为|和，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也

互不影响.

(1)求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；

(2)若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X的分布列和期望.

16.(本小题12分)

已知△力BC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,亚■(ccosB+bcosC')=琮不

(1)求力；

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(2)若4B边上的高等于疝求sinC.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，底面四边形4BCD是正方形，PD=DC,PD_L底面力BCD,E是线段PC的中

点，尸在线段PB上，EF1PB.

(1)证明：PB1平面DEF；

(2)G在线段PB上，EG与P4所成的角为45。，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知双曲线C:47—丫2=皿，点在。上.按如下方式构造点Pn(7l22):过点作斜率为1的直线

与C的左支交于点Qn-l，点Qn-l关于V轴的对称点为P"记点Pn的坐标为On，打).

(1)求点22，03的坐标；

(2)记斯=2久„-即，证明：数列也„｝为等比数列；

(3)0为坐标原点，G,H分别为线段PnPn+2,Pn+lPn+3的中点，记△0Pn+lP,+2，△0GH的面积分别为

S］,52，求3的值.

19.(本小题12分)

已知函数/(无)定义域为/,DQI,若VxGD,3tGD,当x<t时，都有f(X)</(t).则称t为/(%)在。上的

点”.

(1)设函数/(%)=(2+ax)ln(l+x)-2x.

⑴当a=。时，求f(x)在(一1,+8)上的最大“。点”；

(ii)若/(*)在［0,1］上不存在“0点”，求a的取值范围；

(2)设O=eN*),llf(l)=0,f(x)-f(x-l)<1.

证明：/(%)在。上的“0点”个数不小于/(爪).

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参考答案

1.5

2.2

3.5

4.D

5.B

6.C

7.4

8.C

9.BC

10.ABC

11.ABD

12.-1

i13j.2-

14警

15.解：(1)设事件a表示在一次猜谜活动中有一方获胜，

事件a包含两种情况：甲猜对乙猜错或甲猜错乙猜对，

则P⑷=|x(l-|)+(l-|)x|=|,

所以在一次活动中，有一方获胜的概率为最

(2)由题意知，猜谜次数X可能取值为1,2,3,

P(X=1)=P(A)=

P(X=2)nP(Z4)=(l-1)x|=|-

P(X=3)=P(AA)=a^=j,

所以X的分布列为

X123

111

P

244

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期望为E(X)=lx1+2xi+3xj=^.

16.解：(1)因为2cos/(ccosB+bcosC)=^/2a,

由正弦定理得2cos/(sinCcosB+sinBcosC)=&sin/,

即2cosAs讥(B+C)="sin4

即cosA=孝,则A-p

(2)作C。1AB于D,

因为CD=AD=%B,

所以D在线段ZB上

所以BD=|ZB,

所以sin/BCD=能=^^,cos乙BCD=累=£,

DC5DC5

所以sinC=sin(N4CD+/.BCD)二考乂*+孝*等

17.(1)证明：因为PD1底面2BCD,且BCu底面2BCD,所以P。1BC,

又因为ABCD为正方形，可得DC1BC,

因为PDCDC=C,且PD,DCc平面PDC,所以BC1平面PDC,

又因为DEu平面PDC,所以BC1DE,

因为PO=DC,且E为PC的中点，所以DE1PC,

又因为PCCBC=C,且PC,BCu平面PBC,所以DE1平面PBC,

因为PBc平面PBC,所以。E1PB,

又因为EFIPB,且DEnEF=E,DE,EFu平面DEF,所以PB1平面DEF.

(2)解：以点。为原点，以。4D&DP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形ABCD的边长为2,可得DP=2,

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Z/

可得D(0,0,0)H(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,l,l),

则PA=(2,0-2),PB=(2,2-2),PE=(0,1-1)

因为G在线段PB上，设E=4而=(2九2儿一22),其中0<2<1,

则丽=~PG-PE=(2/1,22-1,-22+1),

因为EG与PA所成的角为45°,

闷•函_______|8S入A一-22|也

可得cos45°=

\PA\\EG\―2遂x^12A2-8A+2-V，

解得所以4=2,所以可得而=(0,1,1),而=(1,1,1),

4,Z

>—>—>

n•DE=y+z=0

设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),则

n•DG=x+y+z=0

令y=1,可得x=0,z=-1,所以n=(0,1,—1),

因为PB1平面DEF,所以平面DEF的一个法向量为PB=(2,2-2),

设平面DEF与平面DEG所成的二面角为e,其中0°<9<90°,

伍•丽1_4—亚

可得COS0=

|n||PB|-A/2X2^/3-_T

即平面DEF与平面DEG所成的二面角为手.

18.(1)由题知m=4-1=3,所以双曲线C:4%2-y2=3,又过点斜率为1的直线方程为y=x,由

双曲线与直线的对称性可知Ql(—1,—1),所以P2(l,—1),又过P2(l,—1)，且斜率为1的直线方程为

y+1=x-1,即y=x-2,由修反^13,解得x=1或x=-1,当x=-,时，y=-1-2=—全所以

八,713、二匚［、［,713、

Q2(-§，--))，所以「n3(§，-))；

(2)设*(xn_】yn_i)(n>2,neN*),则过*>2,neN*),且斜率为1的直线方程为y-

yn_i=x-xn-i>联立幻乃”"T,消y得至IJ37+2(xn_i—yn-i)x—(xn-i—yn-i)2—3=0,由题有一

2

Xn+xn-i=—(xn-i-yn-i),得到3%,=5xn_1-2yn-1,由题知点〃-式一刈打)在直线丫一为-1=

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上，即有yn—Vn-l=—Xn—Xn-l，所以Vn=为_1一今一马-1，因为=2%„一即，则点'=2久『:-y：_]=

2"；1+：+-=3X姿:：x“-i=3由⑴知由=2-1=1,所以数列｛册｝为1为首项，3的公比的等比

^Xn-l-yn-l乙4n-l7n-l

数列；

nn1

(3)由(2)知an=2xn-yn=3-]，得到yn=2xn-3-,由4/一煽=3,即4%一城=(2xn-yn)(2xn+yn

)=3,即2Xn+yn=&;=|=32f,则久n=(2支n+即)：(2-一2)=32f:3"-1,即=

(2久九+y九)一(2久及一y九)_32一九一3八一132f+3九—132f—3九-1)31一九十3n31-n-3n\-D，3一九+3九+1

，故P展，「九+iC')»尸九+2(.

224242

-n-3n+i,3一九一1+3九+23一九一1-3九+2l,32-n+3n-1.3-n+3n+1x5(3-n+S71-1)1,

—32—)，Pn+3(--------------2----)'从而q=2(---4----+~~)=~~~4----4=式

32一九_3九T3一九一3九+1、5(3--3f艮|JC(5(3—九+3-1)5(3九311))贝g“(5(3f一、+3与5(3一九T—371)、

2+2'则

Si=l\xn+1yn+2-xn+2yn+1\=1,S2=^\xGyH-xHyG\系3-九+3"-1)(3-3")-(3*1+3")(

3f—3，1)|=言.从而勤=9

25

19.(1)。)当a=0时，f(x)=21n(l+x)-2x,则r(x)=e—2=2笔^=—亳，

I人_LI4I人

则当工G(一1,0)时，尸Q)>0,当Xe(0,+8)时，尸Q)<0,

即/(久)在(-1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

即对vxe(-1,0],ate(-1,0],当久<t时，都有/'(%)</(t),

即/(为在(-1,+8)上的最大“0点”为0；

(商)由题意可得f(x)Wf(0)在x6[0,1]时恒成立，f'(x)=aln(l+x)+%f-2,

令g(x)=aln(l+x)+忧—2,xe[0,1],则g'Q)=枭+心+工笈")=。界"

当Q<0时，g'O)V0恒成立，故g(%)在[0,1]上单调递减,

24-0

则r(X)=g(X)<g(o)=aim+二江—2=o,

故/(久)在[0,1]上单调递减，此时/(x)</(0),符合要求;

当a>0时，令ax+2a-2=0,贝!]%=马券=七一2,

则当日一2三0,即a21时，g'{x}>0,即g(x)在［0,1］上单调递增，

则/'(%)=9。)>5(0)=o,即/(x)在［0,1］上单调递增,有f(x)2/(0),不符合要求，故舍去;

当弓—221,即0<aW争寸，g'(x)<0恒成立，

故。(久)在［0,1］上单调递减，则f'(x)=g(x)<5(0)=0,

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故/(久)在［0,1］上单调递减，此时f(x)</(0),符合要求；

当(一26(0,1),即扛a<1时，

若久e(0—2),g'(x)<0,若x6g'(x)>0,即仪久)在(0,宗2)上单调递减，在。一2,1)上单调

递增，

则若需八口=/(0)恒成立，有/(I)=(2+a)ln2；-2</(0)=0,

解得Q〈而一2，

7

2=1ne2.］n23=力看<

mln2ln2ln2

故卷一2<1,由总—2—>号臀=型哼-=强>0,

ln2ln2331