数列函数性质与不等式放缩-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题6-1数列函数性质与不等式放缩

目录

讲高考....................................................................................1

题型全归纳...............................................................................4

【题型一】数列单调性与不等式放缩.................................................4

【题型二】利用导数研究数列“性质”...............................................8

【题型三】数列函数性质：“周期性”..............................................11

【题型四】构造等差数列型放缩....................................................14

【题型五】构造等比数列型放缩....................................................17

【题型六】裂项放缩型............................................................20

【题型七】无理根式、对勾等放缩..................................................23

【题型八】数列中的蛛网不等式....................................................26

【题型九】数学归纳法............................................................30

专题训练........................................................................34

讲高考

1.(2021•全国•统考高考真题)等比数列｛%｝的公比为q,前〃项和为S“，设甲：q>。，乙:

｛'｝是递增数列，贝U()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】当4>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛5｝是递增数列时，必有%>0

成立即可说明4>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列为-2,-4,-8,…时,满足用>0,

但是｛5｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛SJ是递增数列，则必有%>0成立，若4>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛

盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要

给予其证明过程.

2.（全国•高考真题）设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,Cn,△人上京11的面积为511,11=1,2,3,...

若bi>ci,bi+ci=2ai，an+i=an；bn+i=,Cn+i="，则

A.｛Sn｝为递减数列

B.｛Sn｝为递增数列

C.｛S2n.1｝为递增数列,｛S2n｝为递减数列

D.｛S2n_1｝为递减数列，｛S2n｝为递增数列

【答案】B

【详解】4=2q-q且4>q,2a,-ct>c,,ax>cx,

4_/=羽_q_/=q_q>0,bx>ax>cx,

又4-qv%,2ax—cx—cx<ax,2q>ax,/.q>—,

1

n

由题意，b〃+i+c〃+i=-2―-+an，/.bn+x+cn+}-2an+cn-2an),

•北+q=2^,••・4+q_2/=0,

b”+-2%=0,bn+cn=2%=2a],..bn+C〃-2tZ[,

由此可知顶点4在以为、。〃为焦点的椭圆上，

又由题意，酊「。向=『，...%-(2〃「唠)=2。1-；〃-"=“「一

•••4+1-4=；(%-〃)，「.b〃-％=(一；尸，

3=%+([-4)(-彳)1，g=2%%-(乙-々)(-5)1,

Sj=萼(等一区)[等一%一(乙一%)(一'|)1][*一％+S1—%)(一；)“一」

=|«[2(4一%)2单调递增(可证当〃=1时£-(4-q)2>0)

故选：B.

3.(浙江•高考真题)已知％,电，。3,&成等比数歹11，且4+。2+4+。4=1(%+/+%).若1>1，

则

A.a1<a3,a2<a4B.ctx>a3,a2<a4C.<a3,a2>a4D.ctx>a3,a2>a4

【答案】B

【分析】先证不等式x21nx+l,再确定公比的取值范围，进而作出判断.

【详解】令〃x)=x-ln尤-1,则/'(x)=l」，令/'(x)=0,得x=l,所以当x>l时，/'(x)>0,

X

当0<%<1时，f\x)<0,因此⑴=0,「.％21nx+l,

若公比夕>0,则%+电+。3+。4〉4+。2+。3〉ln("i+〃2+〃3),不合题意；

若公比q4一1，贝|Jq+4+。3+。4=。1(1+/(1+/)«0，

但ln(q+%+%)=皿〃1(1+g+/)]>Inq〉0,

即4+%+。3+44<0<ln(4+。2+。3)，不合题意；

因止匕一1<0<0应2£(0,1),

22

/.ax>axq=a3,a2<a2q=%<0,选B.

【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如x2Inx+1,

ex>x+l,e%>x2+l(x>0).

4.(2020•全国•统考高考真题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a。…％…满

足4£{0,1}。=1,2,…)，且存在正整数加，使得/机=%«=1,2,…)成立，则称其为0-1周期序列,

并称满足4+.=4a=l,2，…)的最小正整数加为这个序列的周期.对于周期为加的0-1序列

1m

%的…。“…，C/)=—(左=1,2,…,"I)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1

m/=i

序列中，满足c(幻V?左=123,4)的序列是()

A.11010---B.11011---C.10001---D.U001---

【答案】c

【分析】根据新定义，逐一检验即可

【详解】由%+„,=%知，序列。，的周期为根，由已知，m=5,

15

C/)=£X44+2尢=1，2,3,4

3i=i

对于选项A,

2

15111

===s

C⑴=>ai"z+1——(q%+%%++%%+%%)~^(1+0+0+0+0)~5

J1=1

15]12

12)=/44+2=~(q%+&/+%%+/纬+%%)=~^(0+1+0+1+0)；

J1=1

对于选项B,

[5]1|13

C*(l)=二〉：〃"注]=~]6Z2+4避3+4/4+〃4"5+〃[6)=+0+0+1+1)=：",不满足;

i=l555

对于选项D,

15]]/

川)=立44+1——(q4+%%+/%+%%+%纬)(1+0+0+0+1)=-4，不?茜足;

3/=1

故选：C

【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及

数学运算能力，是一道中档题.

5.（2019•浙江•高考真题）没a,beR,数列｛。“｝中，％=。,。什1=+6,〃eN*,则

A.当6=；,。10〉10B.当6=；,〃io〉lO

C.当6=-2,%o>lOD.当6=-4,%0>10

【答案】A

【解析】若数列｛。“｝为常数列，«10=«1=«1则只需使。410,选项的结论就会不成立.将每

个选项的△的取值代入方程f-x+6=0,看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有

小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以

及基本不等式，可证得A选项正确.

【详解】若数列｛4｝为常数列，则%=%=。，由%+1=〃；+乩可设方程%+6=o

选项A：6时，%+i=〃；+；，%2_%+；=0,A=l-2=-l<0,故此时｛〃〃｝不为常数列,

,.,%+[=Q；Q；+2,K7〃2J

+』=（^-）>6Z2=+—>—,：.a9>（行）-40，贝!

2222

〃io216〉10,故选项A正确；

选项B：时，。用=端+9，x2-x+1=0,则该方程的解为x=1，即当0=1时，数

列｛/｝为常数列，«„=1,则％°=g<10,故选项B错误；

选项C：6=-2时，。用=片一2,，7-2=0该方程的解为x=—1或2,

即当。=—1或2时，数列｛%,｝为常数列，4,=一1或2,

同样不满足％。>10,则选项C也错误；

选项D：6=-4时，%+1=。；-4,%2-%-4=0

该方程的解为x=生叵，

2

同理可知，此时的常数列｛%｝也不能使阳>10,

则选项D错误.

故选：A.

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点,

进一步讨论。的可能取值，利用“排除法”求解.

6.（2022•北京・统考高考真题）已知数列｛%｝各项均为正数，其前〃项和工满足

—（〃=1,2,…）.给出下列四个结论：

①｛4｝的第2项小于3；②｛%｝为等比数列；

3

③｛4｝为递减数列；④｛4｝中存在小于急的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

99

【分析】推导出%=-------，求出4、%的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用

an%一

数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，V〃EN*,Q〃〉0,

当〃=1时，Q；=9,可得q=3；

9999

当〃>2时，由'=一可得Sf=—,两式作差可得为=-------,

a

%n-ianan_x

999

所以，---=----an,则----4=3,整理可得+3〃-9=0,

an-lan出

因为外>0,解得〃，=巫口<3,①对；

2

假设数列｛0｝为等比数列，设其公比为/则

所以，S；=S5,可得a；(l+q)2=a；(l+q+q)解得4=0,不合乎题意，

故数列｛4｝不是等比数列，②错；

当“22时，an=-------=二^~以>0,可得。"(a,-,所以，数列%｝为递减数列，③

anan-lanan-X

对；

假设对任意的〃eN*,%>击，则Ro。。。。2100000x^=1000,

991

=

所以，^100000T；---?与假设矛盾，假设不成立，④对.

^IOOOOO1UUU1UU

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法

来进行推导.

7.(全国•高考真题)设等比数列｛%,｝满足。/+/=10,a2+a4=5,则am…an的最大值为

【答案】64

2Q=8

【详解】试题分析：设等比数列的公比为,由产+%=?得，产":”:?解得1.

〃2+&=5axq(\+q)=5q=—

、2

1^=1)匕+二〃

所以的2,,,%=〃阳1+讣"(1)=&'(,2=222，于是当〃=3或4时，…〃〃取得最大

值26=64.

考点：等比数列及其应用

题型全归纳

【题型一】数列单调性与不等式放缩

4

【讲题型】

dT*

例题1.已知数列｛%｝满足q=1,且北=%。2……4，若(+|=瑞;〃eN，则()

AB

-"W-%«品)C.Ac')D.«10e

【答案】B

【分析】据题意求出出=：1，判断出数列｛,七、｝递减，且0<a.Vl，再对。用=寸a两边取倒

2〃〃十1

(1、(1、

数，然后平方整理得—=2+。〉再利用单调性进行放缩，可得出当〃23时,

2<f—<2+-，结合不等式的性质即可得解.

【详解】解析：an+i==2"7=a”+—,且q=1>0,；.%=!，a,产0,则

T”an+1an+xan-2

%+i_1

册d+1'

册

2>o,.•.0<4巴<1,即数列｛%｝递减,贝lJO<a〃Wl,・・・Q〃+i

an4+1

11

・・・两边取倒数得——二一+。〃即，=-+2+Y，则,-工=2+端，：数

%+i%Ian+\)\an)\an+\JI"〃J

列｛%｝递减,

.,.当〃=2时，2<2+a；=2+；,即2<工2+-.

144'

2

c1

当时，2<2+a；<2+=2+a，即2<<2H—,2<<2H—,

44

11

…，2<

ani)

+",

22

1Y<(2+；卜48,即100<

根据不等式的性质可得2x48<—<112<121,

1“50.

一<生。<—.同理：；----7)(2x8,—x8)=(16,18),—G(^20,V22),/()w

1110a10a24〃1o

与选项范围不符.故选：B

2

例题2.已知数列｛氏｝满足。血2彳0,若%+2=4m+3,则“数列｛%｝为无穷数列”是“数列

an

｛%｝单调，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由已知可得空=n+--l,设包="+2-i,若存在正整数机，当£=0时，有%+i=0,

aa

此时数列｛%｝为有穷数列;若“恒不为0,由詈=〃，有氏+尸0,此时｛4｝为无穷数列,

由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析疝可得结论.

5

11±L

【详解】解：令q=。，a2=b（ab^O）,由。〃+2=%+i+%-,可得。〃。0,所以&=1+%,

册%%

即4±1一%±1=1,

%+1an

所以数列]&4为等差数列，首项为2=2,公差为1,所以乎=；+（"-i）xi="+g-i,

aa

[anJ%〃na

设a=〃+1,则数列也｝是单调递增的等差数列，

a

若存在正整数机，当超=0时，则有册+1=0,此时数列｛%｝为有穷数列；

若，恒不为o,由嗅=a,有。“+1片0,数列｛。“｝就可以按照此递推关系一直计算下去，所

an

以此时｛。“｝为无穷数列.

⑴若4=〃+2-1恒不为0,则｛%｝为无穷数列，由递推关系式有一=。“（〃+2-1）,

aa

75

取。=一2,6=5时，a=a｛n--）,贝ljq=-2,a=5,a=--,...,此时数列不

n+xn，232

是单调数列；

（2）当数列｛。"｝为有穷数列时，存在正整数机，当或=0时，有册+1=0,

9

此时数列｛%｝为％,a2,/，••••"加，"m+1，

由4“+i=0,若数列｛%｝单调，则%,电，见，...，%,全为正或全为负，

由&L=4>0（后（加-1）,则可，均，名,……，或一全为正，而勿=0,

ak

这与“=〃+2-1单调递增矛盾，所以当数列｛%｝为有穷数列时，数列不可能单调，

a

所以当数列缶“｝单调时，数列也,｝一定有无穷多项.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列｛%｝单调时，数列也,｝一定有无穷多

项等价转化为论证数列｛%｝为有穷数列时，数列不可能单调.

【讲技巧】

数列作为特殊的函数，其单调性与函数的单调性有相似之处。可以从数列递推公式中提

炼出对应函数式，利用函数或者导数性质求其单调性

【练题型】

L设数列｛。“｝的前〃项和为S”％=1,且2S“=-1（〃eN*）.若对任意的正整数n,都有

apn+a2bz+%".2+…+a.4=3"-〃T成立，则满足等式4+%+&+…+，=%的所有正整

数〃为（）

A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4

广东省肇庆市2023届高三第二次教学质量检测数学试题

【答案】A

【分析】根据S“与凡的关系，求出4=3"。则6,+3“T+32以2+…+3"T4=3"-"一1①，

又％1+34+32〃T+…+3七=3向一（〃+1）-1②，②一①/3得％=2〃+1,得b,=2〃-l,进

22

而求出4+4+&+…+，，由题意得否=1,记/（"）=号,研究/⑺的单调性，求出/（"）=1

的解即可.

【详解】2S“=%-l,（〃eN*）,

6

时，2s

相减可得：2Q〃=an+l-an,即an+i=3%(n>2)

又〃=1时，2s解得%=3,满足%=3%,

数列｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以a,=3i,(〃eN*).

对任意正整数n,都有a也n+。2%-1+她-2+…岫=3"-〃一1成立,

2

得bn+3加+3bn_2+---+3"“=3"--1①，

又bn+l+3bn+32%+…+3七=3向一(〃+1)-1②，

②一①x3得：2+1=2〃+l,(〃eN*),

又她=3-1-1=1,所以4=1,得"=2〃-l,("eN"),

进而4+/>2+4•+-----Fbn—n~,

M

由A+少+&T---Hb-a,得“2=3"T,即——=i,

3"i

〃2416

记f(n)=券，则/(1)=l,/(2)=-,/(3)=l,/(4)=—,

以下证明〃24时，

2

因为/("+1)_/(«)=S+l)2_==~2n+2n+l=2»(l-n)+l<Q

J\/J\/3〃3〃3〃

即“24时,将)单调递减,/(«)<!,

综上可得，满足等式4+b2+b3+---+b„=a„的所有正整数〃的取值为1或3.

故选：A.

【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度

较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数

列解决问题.

2.数列｛%｝满足q=a,。向=3巴-片-1,则下列说法正确的是()

A.若则数列｛%｝单调递减

B.若存在无数个自然数”，使得an+]=an,则a=l

C.当。>1时，｛%｝的最小值不存在

1111一、

D.当。=3时，----+----…+------->7恒成乂

a1-2a2—2an-22

【答案】D

【分析】利用递推关系研究数列的单调性即可逐一作出判断.

【详解】由%=3<7”-力-1,得%-%=〃-°：-1=-(%-1)2,

对于A:若数列｛。"｝单调递减，则。“片1,即各项不为1,.•“户1且4用=3%-4-1w1,二q产1

且0"42,故。片1且。#2,故A错误；

对于B：当。=1或a=2时，出=1，存在无数个自然数九，使得与包=%，故B错误;

对于C:当。=2>1时，a2=a3=a4=---=l,所以｛%｝的最小值为1,故C错误；

一11,1

对于D:〃=l时，-=1>T,

ax-22

2

6Z2=3X3-3-1=-1<0,又由以上推理知｛%｝递减，所以％<0(心2),

2-%=3-3%+«„2_1>2-3%+a：1=(1-%)(2-%)>0

---1-<--------1------=----1-------1--

2一a〃(1一%)(2-%)1-an_x2-an_x

7

----------1---------<---------,

2-an_x2—%1-an_x

1111111

-----+------=------------F-----=--------------F-----=------,

1_%_]2-an_22-3an_2+an_22-an_2(1-an_2)(2-an_2)2-an_21-an_2

依次类推，=；,

1-a22

++=1-r>

所以一%~—T2-a2-—T2%—2+-727,

综上，对任意+……正确.

4_2%一2%一22D

故选：D.

【题型二】利用导数研究数列“性质”

【讲题型】

例题L.设数列｛%｝满足q=。，%=lna“+[+6("eN*),贝l]()

A.若b=-2,贝!|。2。20>。B.若6=-2,则的^。<。

C.右6=2,贝！]。202。>aD.右6=2,贝！|。2。2()<。

【答案】A

a+2I+2

【分析】当6=-2时，。"=In。,阳-2,即an+l=e",贝1]a„+l-a„=样产一a“，设〃x)=e-x

利用导数研究出函数/(x)的的单调性，从而得到1卜)>0,即.i"=e""+2-a”>0,得

到数列｛%｝单调递增，则选项A正确，B错误，当6=2时，a„=lna„+1+2,即a“+]=e-2,

则a向-%=滔-2一%,设g(x)=e-r,利用导数研究出函数g(x)的的单调性，可得一定

存在国€(0,2),使得g(xJ=O,x2e(2,4),使得g(%)=0,当q=玉(或髭)时

有,％+1-%=a"+2-%=0,从而选项C,D不正确.

【详解】当6=-2时,a„=lna„+1-2,即♦=炭吗

则%+「%=滔+2-%，设/(x)=*2-x,则/'(x)=*2-1

/〃(x)=*2>0,所以/'(X)=*2-1在R上单调递增，且/'(-2)=0

所以当、>-2时，r(x)>o,则j(x)单调递增.

当》<一2时，f'(x)<0,则/(X)单调递减.

所以/(力2/(-2)=/+2=3>0,所以见…尸+j>0

所以当6=-2时，数列｛%｝单调递增，则选项A正确，B错误.

当6=2时，an=lna„+1+2,即%=e"T.

则=0""一2-2'设g(x)=ei_x,则g[x)=ei-l

g〃(x)=#2>0,所以g，(x)=#2-1在R上单调递增，且g((2)=0

所以当尤>2时,g'(x)>0,则g(x)单调递增.

当x<2时，g'(x)<0,则g(无)单调递减.

2

所以g(x)1nhi=8(2)=6。-2<0,又8(0)="2>0,g(4)=e-4>0

所以一定存在X1e(0,2),使得g(xJ=0,x2e(2,4),使得g^)」。

当％=再(或巧)时有，々-%=e""2-q=e*+2-X]=0,即。2=%.

同理可得。“+i-%=e%+2-%=o,an-ax=a,所以选项C,D不正确.

故选：A

例题2.已知各项均为正数的数列｛%｝满足q=l,<=<：；--(WGAT),则数列｛%｝()

an+\

8

A.无最小项，无最大项B.无最小项，有最大项

C.有最小项，无最大项D.有最小项，有最大项

【答案】D

【分析】由数学归纳法得数列｛%｝从第2项开始都大于I,这样为是最小项，利用不等式放

11

缩得出引入函数>=/利用导数证明其在x23时是减函数，得数列｛%｝有上界，

1.一1

“28时，0<8口再引入函数/'00=/-工-1,由零点存在定理说明的>8左，从而确定

g,%，的，%g，%这6项中的最大值是数列｛%｝的最大项.

【详解】数列也,｝各项均为正，

%=1,由q得出>1，一般地由数学归纳法知当4>1时，由=霏；-一二得知+i>1

“2an+\

（否则若%+141,则可：；41,」一>1,=。；：；一二―<1,矛盾）,

an+lan+\

所以数列｛“〃｝中，时，%〉1,41=1是最小项.

一

又二吟；一二〉*；T,所以a（小，

an

n+\一

记v_/，则1"=皿，两边求导得上=1》,即，_（lTnx）x，,

x

y-xy%y-x2

x>e时，y<0,y=£是减函数，

1,,,,1

所以〃23时，｛疝｝是递减数列，因此也｝有上界，时，％<妙，

211a

%---=1即Q；--1=0,

设/（幻=工3一X—1,r（x）=3f—1,X21时，f（x）>0,/（X）是增函数，

经过计算，得知pi29684'而-0,11582<0'所以时满足/（兀）=。的%满足%>8豆，

即/>菸

从而°2>。8，而。2，。3，%，。5，。6，。7这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列｛%｝的最大

项.

故选：D.

【讲技巧】

需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系。

【练题型】

2a

1.已知数列｛《,｝满足。角=兰:，满足叫40,1）,%+%+--+%。21=2020,则下列成立的

是（）

A-In^.lna^B.Ina.-lna^

C.Inajlna2021<^-D.以上均有可能

【答案】C-

【分析】由题设可得0<%<1且«„+1>根据等式条件有（q-1）+&-1）+…+（«202I-i）=-i,

9

应用放缩法可得-1<«,-1<一，；；「)<0，构造/(x)=lnx-x+l并利用导数研究单调性

可得0<x<l上|ln尤,则lna/ln%02i>1(%T川Q021T)卸可得到答案.

2Q

【详解】由题设，即数列｛%｝均为正项，

a。十1

2an22,

Q〃+i=~2—7=-----r~——I—1

d+i2r~r,当4=1时等号成立，

2。,

当见=于吉=1时，有4T=1，以此类推可得％=1与题设矛盾,

a〃-1+1

a.2

综上，0<%<1,故3==7>1,BPan+1>an.

an%+1

*.*。］+%+…+〃2。21=2020,

_„_„/mcc\2020—12020

〈％+2021n吸〉2020嬴;<------------

2020—q

令小)—+9则八加廿’

当0<%<1时/'(x)<0,即/(x)递减，当尢>1时/'(x)>o,即/(x)递增,

f(%)〉/(1)=°，故0<x<1上0>Inx>1—,BP0<—Inx<—1,

1-%(1

Ina-Ina=(-ln«1)•(-in«2021)

x2Q2l2020-62020

故选：c

2..对于数列｛%｝,若存在正数M,使得对一切正整数"，恒有则称数列｛七｝有界;

若这样的正数〃不存在，则称数列｛%｝无界，已知数列｛%｝满足：％=1,

«„+1=ln(A«„+l)(2>0),记数列｛%｝的前〃项和为S"，数列｛4｝的前〃项和为北，则下列

结论正确的是()

A.当4=1时，数列｛S,,｝有界B.当2=1时，数列｛力有界

C.当2=2时，数列6，｝有界D.当2=2时，数列｛力有界

【答案】B

【分析】当4=1时，构造新函数，利用导数判断其单调性，进而得出与>!，由此判断A;

n

构造函数/(无)=ln(x+l)-3，xe[0,l],判断其单调性，推出------->-,进而得到

x+3%+ian3

311

6Z„<-从而说明氏2«9(1---),判断B;当2=2时，说明421成立，从而判断

〃+2n+\n+2

C,D.

1V

【详解】当4=1时，令>=x—ln(x+1),则/=1--------=------，当x>0时，

x+1x+1

1v-

yr=1--------=------>0,x-ln(x+1)>0,x>ln(x+1),因为q=1,则％讨=ln(%+1)<%<1,

x+1x+1

所以〃2=1口2>',(这是因为4>e,ln4>lne,「.In2>!),令y=ln(x+l).....—,(x>0),贝！J

22x+1

]]x1

y，=----7--一;一。，仅>0),故歹=ln(x+l)-------(x>0)时单调递增函数，

x+1(x+1)0+1)X+1

10

故ln(x+l)----->0,(%>0),贝！]ln(x+1)〉」一,(%>0),假设。”>工，则

x+1x+1n

a=In+1)>册=1---------->——,

n向+｝I〃)1+〃”1+%77+1

故由归纳法可得工成立,所以S,,>l+；+g+…+：,故数列优｝无界，故A错;

n

3Y

又由%+i=ln（%+l）<g41,设/(%)=ln(x+l)--------,XG[0,1]

%+3

则分）=占-3(x4-3)-3xx(x-3)3x

-<0,XG[0,1]'故〃x)=ln(x+l)-『”[0,1]

(x+3)2(X+1)(X+3)2

qq3tz111

递减，则ln(x+l)----^-<0,ln(x+1)<—,所以%+i=ln(%+1)4----1^―，则-------->-,

x+3x+3%+3an+lan3

11111、111??-113

则一=(z------)+(-z--------)-•+(------)+-^-――,故氏4——，贝U

册a„%%k%q434n+2

61«--------5<9(-------------),

n(n+2)2〃+1n+2

故〈=%2+必+…+。/<9(]一一二)<3，即当2=1时，数列｛[｝有界，故B正确

2n+12

当4=2时，〃〃+1=In(2%+1),由%—1,%=ln3〉l,

假设%21,则%+1=111（2%+1）21113>1,即%21成立，

所以止匕时S〃=Q[+〃2■1+22都无界，故C,D错误;

【题型三】数列函数性质：“周期性”

【讲题型】

例题L已知数列｛叫满足屋「同=4（d为常数，左=1,2…"，7zeN*,«>3）,给出下列

四个结论：①若数列｛%｝是周期数列，则周期必为2：②若d=0,则数列｛%｝必是常数列:

③若d>0,则数列｛%｝是递增数列：④若d<0,则数列｛%｝是有穷数列，其中，所有错误

结论的序号是.

【答案】①②③④

【解析】①当周期为2时。3=%，由晨「同="表示前三项的关系，整理证得同+同|=T，

与实际矛盾，错误；

②若"=0,举特例q=2,观察显然不是常数列，错误；

③赋特值a=1,（1=2,求得电=-6，不是递增数列，错误；

④赋特值％求得出=g，是无穷数列，错误.

【详解】①令周期7=2,则%=%

日al-=d2।i2.12.12

由题可知｛2_/，则同一|出|=1。2HqiI即同一同=|?|一同

因为同2-|。2「=（同-|。2D,（同+|〃2I）=|。2H4I

整理得（同一同）•（同+同+1）=0,得同+WI=T，矛盾，所以错误;

a

②右1=°,-㈤=k+\=

显然，可以是2,正,《万，…，不是常数列，所以错误；

③令a=l,d=2,由al+i-\ak\=d可知4=±Jd+同=±百

当生=-G时，显然不是递增数列，所以错误；

11

④当q=—,d=――时，有%=±Jd+同=i-

当出=:，则以后各项都可以为;，是无穷数列，所以错误.

22

故答案为：①②③④

例题2..若数列｛氏｝满足：存在正整数T,对于任意正整数〃都有%+7=%成立，则称数列

an-1，%>1

｛。“｝为周期数列，周期为T.已知数列｛叫满足％=加（机>0）,an+l=\1,则下

一，U<a”S1

列结论中错误的是（）

A.若%=4,则%可以取3个不同的值；

B.若加=0,则数列｛4｝是周期为3的数列；

C.对于任意的7eN*且於2,存在力>1,使得｛%｝是周期为T的数列

D.存在机e。且加22,使得数列｛%｝是周期数列

【答案】D

%-1,%>1

【分析】A.若。3=4,根据。用=“1n/分别对出，。1讨论求解即可；