北京林业大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷

−1tπ10曲线x=t−1tπ10曲线x=t−sint,y=1−cost,z=4sin在对应t=的点处的法平面方程是22π 试卷名称高等数学（理工类课程所在院系理学院（N考试班级学号姓名一填空题（每题3分，共39分） 2．极限lim=2.3设函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点 2．极限lim=2.3设函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1,−1)处取得极值则常数a=-5. 4函数u=xsin(yz)的全微分为du=sin(yz)dx+xzcos(yz)dy+xycos(yz)dz.5已知平面区域D是由直线x+y=1x−y=1及x=0所围成则ydxdy=0D6微分方程y′=y2e2x,满足初始条件y(0)=−2的特解为y=−2e−2x.7设y1,y2,y3是微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的三个不同的解且≠常数则微分方程的通 c1(y1−y2)+c2(y2−y3)+y1. 8周期为2π的函数f(x)它在一个周期上的表达式为f(x)=则f(x)的傅里叶级数的和函数在x=0处的值为0.9设Σ为平面++=1在第一卦限中的部分则(z+2x+y)dS=4.ΣL2−x222213．若级数(un+1)收敛，则lnun=-1二（5分）函数z=z(x,y)由方程x−az=φ(y−bz)所确定，其中φ(u)有连续导数，a,b是不全为零的常数，明a∂x+b证明方程x−az=φ(y−bz)两边同时对x,y求偏导得解解∂x∂y三（5分设z=e求x2y3∂2z=2xy3ex2y3,=(6xy2+6x3y5)ex2y3四（6分求微分方程y′′−3y′+2y=2ex满足条件y(0)=0,y′(0)=1的特解.解特征方程为r2−3r+2=0特征根为r1=2,r2=1对应齐次方程的通解是y=c1e2x+c2ex设原方程的特解为：y*=axex，将其代入原方程待定系数得a=−2.所以y*=−2xex=−3五（6分计算二重积分(x2+y)dxdy其中D={(x,y)4≤x2+y2≤9}.D解:(x2+y)dxdy=x2dxdy=πdθ∫(rcosθ)2rdr=πDD六（5分）利用格林公式，计算(2x2y−2y)dx+(x3−2x)dy，其中L为以y=x,y=x2围成区域的正向L边界.LD七（6分设Σ是由曲线z=y2,(0≤z≤2)绕z轴旋转而成的曲面.(1)写出Σ的方程.（2）计算4(1−y2)dzdx+z(8y+1)dxdy，其中Σ取下侧.Σ解:(1)Σ的方程是z=x2+y2(0≤z≤2). (2)设Σ1为z=2,(x2+y2≤2)的上侧则 1Σ+ΣΩ11xyxyΣ1xyxyΣ八、（6分）求幂级数的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.解收敛半径R=2收敛区间为[−1,3)2/7s(x)=s′(x)=⋅=()n−1=s(1)=0s(x)=ln2−ln(3−x)(−1≤x<3)九、（5分）设bn是收敛的正项级数，(an−an+1)收敛.试讨论anbn的敛散性，并说明理由.解:anbn是绝对收敛的.因为(an−an+1)收敛,所以部分和sm=(an−an+1)=a1−am+1有界,从而数列{an}有界即存在常数M>0使|an|<M(n=1,2,3,L)故|anbn|<Mbn(n=1,2,3,L)由于bn是收敛的正项级数，由比较审敛法知，anbn绝对收敛.十、（6分）设可导函数f(x)满足f(x)cosx+2f(t)sintdt=x+1，求f(x).解：方程f(x)cosx+2f(t)sintdt=x+1两边对x求导得求解上面的一阶线性微分方程得f(x)=e−∫tanxdx[∫e∫tanxdxdx+C]=sinx+Ccosx由于f(0)=1所以C=1故f(x)=sinx+cosx十一（5分证明:(siny−ysinx)dx+(xcosy+cosx)dy为某二元函数f(x,y)的全微分并求f(x,y)所以(siny−ysinx)dx+(xcosy+cosx)dy为某二元函数f(x,y)的全微分故f(x,y)=xsiny+ycosx+c十二（6分求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面使它与抛物面及圆柱面(x−1)2+y2=1所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程.3/7∂y0得x0=1,y0=0，由提意可知V的最小值一定存在，且只有一个驻点，故可断定V的最小值为3πV=π+π−2π=切平面为z=2x2∂y0得x0=1,y0=0，由提意可知V的最小值一定存在，且只有一个驻点，故可断定V的最小值为3πV=π+π−2π=切平面为z=2x22@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@北京林业大学2006--2007学年第2学期考试试卷答案试卷名称高等数学（经济类、A卷）课程所在院系：基础学院抛物线在(x0,y0,z0)处的切平面方程为该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为2π解一、填空题（每小题3分，共30分）1、已知两点M12(,2,2)和M21(,3,0),则模M1M2=____2_____。2以点O(2,−2,1)为球心，通过坐标原点的球面方程是：2与平面x−z+1=0的交线平行于z轴的投影柱面+y2=14设f(x,y)=ln(x−)其中x>0,y>0则f(x+y,x−y)=ln(x+y−25、设f(x,y)=x2+2xy+y3，则1(,2)=6。6设u=f(x+xy+xyz)则=(1+y+yz)f′7、设z=exy，则全微分dz=yexydx+xexydy。f(x,y)dy+∫dx∫f(x,y)dy4/79微分方程y′′−3y′+2y=0,y(0)=2,y(0)′=3的特解y(x)=ex+e2x10微分方程y′′−4y=e2x−2x+1的特解形式可设为y*(x)=Axe2x+Bx+C二、综合计算题（每小题6分，共66分）解：=f′+g−g′（2分），=f′′+g′′（2分），=−f′′−g′′（2分x+y=012求由方程siny+ex−xy2=0所决定隐函数y(x)的导数解F(x,y)=siny+ex−xy2Fx=ex−y2（2分13求函数f(x,y)=x2−y2+2在椭圆域D={(x,y)x2+≤1}上的最大值和最小值。∂f∂f解：∂x=2x=0,∂y=−2y=0,驻点（0，0）（2分）L(x,y;λ)=x2−y2+2+λ(x2+−1)，（2分）Lx=2x+2λx=0Ly=−2y+λy=0，Lλ=x2+−1=0，可能极值点（02（0-2（10（-10f(0,2)=f(0,−2)=−2最小，f(1,0)=f(−1,0)=3最大。（2分）14计算I=dxdyD是由直线x=2,y=x和曲线xy=1所围成的闭区域。,y1)≤x2+y2≤4}D解I=∫πdθ∫ρ2⋅ρdρ（4分=2π⋅ρ4=π（2分16求幂级数的收敛域5/7n=1nn→∞n(n+1)解令x−3=yRyn=1nn→∞n(n+1)当y=±1时均收敛收敛域−1≤y≤12≤x≤4（3分17、判定级数(−1)n敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。n解≥,发散发散。（2分）n设f(x)=当x>ef′(x)=<0f(x)单调递减（2分）又==0∴(−1)n条件收敛（2分18求幂级数在收敛域(−1,1)内的和函数，并求级数()2n+1的和。解S(x)=S′(x)=x2n=,x≤1（3分S(x)=∫dx=ln,x≤1（2分()2n+1=S()=ln3（1分19求微分方程+2xy=2xe−x2的通解解+2xy=0Y=Ce−x2（2分设y(x)=u(x)e−x2⇒u(x)′=2x（2分u(x)=x2+C∴y(x)=(x2+C)e−x2（2分解：y′′−2y′+y=0，r2−2r+1=0，r=1（二重根），（2分）Y=(C1+C2x)ex，设y*=Ax2ex，（2分）⇒A