2025年高考数学复习之立体几何初步

2025年高考数学复习热搜题速递之立体几何初步（2024年7月）

选择题（共10小题）

1.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，FA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形，E,

厂分别是A8的中点，/CEF=90°,则球。的体积为（）

A.8V6TTB.4V6nC.2V6TTD.V6TT

2.已知A,8是球。的球面上两点，ZAOB=90°,C为该球面上的动点，若三棱锥。-ABC体积的最

大值为36,则球。的表面积为（）

A.361TB.64nC.144itD.256n

3.已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,则异面直线ABi与2。所成

角的余弦值为（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2553

4.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9,,则三棱锥

D-ABC体积的最大值为（）

A.12V3B.18V3C.24V3D.54百

5.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正

方体中，直线AB与平面不平行的是(

6.已知A,B,C为球。的球面上的三个点，若OO1的面积为4n,AB=BC=

AC=OOi,则球。的表面积为（）

A.64nB.48TCC.36KD.32n

7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）

32

A.12TTB.-^-7iC.8iiD.4n

8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

D.1

9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（

7T

D.

4

10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（

D.5

二.填空题（共5小题）

11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径.若平面SCAJ_平面SCB,SA

=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为.

12.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.

13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积

为______________________

14.如图，三棱锥中，42=47=2。=8=3,AO=BC=2,点、M,N分别是AD,BC的中点,

则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是

—

C

15.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为50",该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.。、E、尸为圆。

上的点，4DBC,/XECA,AMB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别

以BC,CA,48为折痕折起△OBC,△ECA,AMB,使得。、E、尸重合，得到三棱锥.当△ABC的

边长变化时，所得三棱锥体积(单位：。/)的最大值为.

16.如图，在四棱锥尸-ABC。中，AB//CD,且NBAP=/CZ)P=90°.

(1)证明：平面E48_L平面B4D；

8

(2)PA=PD=AB=DC,ZAP£>=90°,且四棱锥尸-ABC。的体积为？求该四棱锥的侧面积.

17.如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BC。，AB=AD,。为8。的中点.

(1)证明：OALCD-,

(2)若△0。)是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为

45°,求三棱锥A-8CO的体积.

18.如图，已知三棱锥A-8PC中，AP±PC,AC±BC,M为A8中点，。为尸8中点，且△PMB为正三

角形.

(1)求证：0M〃平面APC；

(2)求证：平面A8C_L平面APC；

(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥Q-BCM的体积.

19.如图，四边形A3C。为菱形，G为AC与的交点，BEX5?®ABCD.

(I)证明：平面AEC_L平面BED；

V6

(II)若NA8C=120°,AE±EC,三棱锥E-AC。的体积为石，求该三棱锥的侧面积.

20.如图，四棱锥P-ABC。中，侧面E4D为等边三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC^^AD,/BAD=

ZABC=9Q°.

(1)证明：直线BC〃平面BW；

(2)若△PCD面积为2«,求四棱锥尸-ABC。的体积.

2025年高考数学复习热搜题速递之立体几何初步(2024年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形，E,

厂分别是B4,的中点，ZCEF=90°,则球。的体积为()

A.8V6TTB.4V6TTC.2V6TTD.V6it

【考点】球的体积和表面积.

【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离.

【答案】D

【分析】由题意画出图形，证明三棱锥尸-ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求

外接球球。的体积.

【解答】解：如图，

由以=尸8=PC,△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥尸-A8C为正三棱锥,

则顶点尸在底面的射影O1为底面三角形的中心，连接8。1并延长，交AC于G,

则AC_LBG,XPOiXAC,POiHBG=Oi,可得AC_L平面P8G,贝UP8_LAC,

,:E,P分别是E4,A2的中点，J.EF//PB,

又/CEF=90°,BPEFLCE,：.PB±CE,得？8，平面朋C,

则PB_LE4,PB1PC,又三棱锥P-ABC是正三棱锥，

正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为D=y/PA2+PB2+PC2=(PA2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2)

=J~(AB2+BC2+AC2)=J*(22+22+22)=瓜

半径为手,则球O的体积为孑兀x(~)3=遍兀.

故选：D.

【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题.

2.已知A,2是球。的球面上两点，90°,C为该球面上的动点，若三棱锥。-ABC体积的最

大值为36,则球O的表面积为（）

A.36nB.64TTC.144TTD.256n

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；空间位置关系与距离.

【答案】C

【分析】当点C位于垂直于面AO8的直径端点时，三棱锥0-ABC的体积最大，利用三棱锥0-ABC

体积的最大值为36,求出半径，即可求出球。的表面积.

【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥0-A2C的体积最大，设球

。的半径为R，止匕时yO-ABC=yC-AOB=^xJxR2XR=袅3=36,故R=6,则球。的表面积为轨不

3zo

=144TU,

故选：C.

【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时,

三棱锥O-ABC的体积最大是关键.

3.已知直三棱柱481。中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,则异面直线ABi与8cl所成

角的余弦值为（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2553

【考点】异面直线及其所成的角.

【专题】数形结合；定义法；空间角.

【答案】c

【分析】【解法一】设加、N、尸分别为A3,821和B1C1的中点，得出A31、BC1夹角为MN和NP夹

角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ,MP和NMNP的余弦值即可.

【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁.

【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为A8,881和BiCi的中点,

则A81、8cl夹角为MN和NP夹角或其补角

71

（因异面直线所成角为（0,-]）,

可知MN=

NP=普G=与；

作5C中点Q,则△尸QM为直角三角形;

"：PQ=1,MQ=|AC,

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC

i

=4+1-2X2X1X（一日

=7,

：.AC=V7,

在△MQP中，MP=yjMQ2+PQ2=孚;

在△PMN中，由余弦定理得

MN2+NP2-PM2Vio

cos/MNP=

2MN,NP

71

又异面直线所成角的范围是（0,-],

Vio

.".ABi与BCi所成角的余弦值为

【解法二】如图所示,

z>,

AB

补成四棱柱ABC。-ALBICIP,求/BCLD即可；

BCi=V2,BD=V22+l2-2x2x1xcos60°=b,

CiD=V5,

2

；.BCI2+BD=C。，

.,.ZDBCI=90",

故选：c.

【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题,

是中档题.

4.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9遮，则三棱锥

ABC体积的最大值为（）

A.12V3B.18V3C.24VlD.54V3

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】计算题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.

【答案】B

【分析】求出等边△ABC的边长，画出图形，判断。的位置，然后求解即可.

【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9/，可得上XT1B2=9«,解得AB=6,

4

球心为。，三角形A8C的外心为O,显然。是O'。的延长线与球的交点，如图：

O'C—'x字x6=2v00'—^42—(2V3)2=2,

则三棱锥O-ABC高的最大值为：6,

则三棱锥D-A3C体积的最大值为：二x-x63=18遍.

34

故选：B.

【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

5.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正

方体中，直线AB与平面MAQ不平行的是()

【考点】直线与平面平行.

【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离.

【答案】A

【分析】利用线面平行判定定理可知从C、。均不满足题意，从而可得答案.

【解答】解：对于选项2,由于结合线面平行判定定理可知8不满足题意;

对于选项C,由于结合线面平行判定定理可知C不满足题意；

对于选项由于A8〃N。，结合线面平行判定定理可知。不满足题意；

所以选项A满足题意，

故选：A.

【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方

法的积累，属于中档题.

6.已知A,B,C为球。的球面上的三个点，为△ABC的外接圆.若的面积为4n,AB=BC=

AC=OOi,则球。的表面积为（）

A.64nB.48nC.367rD.32n

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象.

【答案】A

【分析】画出图形，利用已知条件求出然后求解球的半径，即可求解球的表面积.

【解答】解：由题意可知图形如图：。。1的面积为4m可得。1A=2,则

33V3

—AOi=ABsin60°,—AO——AB,

221y2

.•.AB=BC=AC=00i=2g,

外接球的半径为：R=Ja。/+。。/=%

球。的表面积：4X-n：X42=64,n:.

【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键.

7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）

32

A.12TTB.-^-TTC.8nD.4it

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；方程思想；综合法；球.

【答案】A

【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积.

【解答】解：正方体体积为8,可知其边长为2,

正方体的体对角线为44+4+4=2V3,

即为球的直径，所以半径为旧，

所以球的表面积为4兀■(V3)2=12-n.

故选：A.

【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题.

8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()

正视图恻视图

【考点】棱锥的体积.

【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何.

【答案】A

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案.

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

棱锥的底面面积XIX1=|,

高为1,

故棱锥的体积丫=义5h=!，

DO

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解

答的关键.

9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

37171

A.ITB.—C.,D.-

44

【考点】圆柱的体积.

【专题】计算题；方程思想；定义法；立体几何.

【答案】B

【分析】推导出该圆柱底面圆周半径厂=小2一（扔=乎,由此能求出该圆柱的体积.

【解答】解：.圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，

该圆柱底面圆周半径r=J12一（32=苧，

.•.该圆柱的体积:V=Sh=nX（^）2x1=^.

【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、

空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题.

10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

1

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.2+V5B.4+V5C.2+2星D.5

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】空间位置关系与距离.

【答案】C

【分析】根据三视图可判断直观图为：面ABC,AC^AB,E为中点，EA=2,EC=EB=1,

OA=1,BC^AEO,AC=V5,OE=而，判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积.

【解答】解：根据三视图可判断直观图为：

OA_L面ABC,AC=AB,E为BC中点，

EA=2,EC=EB=1,04=1,

可得AE_LBC,BC±OA,

由直线与平面垂直的判定定理得：面AEO,AC=®0E=V5

SAABC=2x2X2=2,SAOAC=SAOAB=]x巡xl=-y.

SABCO=；x2xV5=V5.

故该三棱锥的表面积是2+2V5,

故选：C.

O

B

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出

几何体的性质.

填空题（共5小题）

11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径.若平面SCA_L平面SCB,SA

=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为36n.

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体.

【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积.

【解答】解:三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上,SC是球0的直径，若平面SCAL平面SCB,

SA^AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r,

,11

可得一x-x2rxrxr—9,解得r—3.

32

球。的表面积为：4,1x^=3671.

故答案为：361T.

【点评】本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.

V2

12.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为—n.

3

【考点】球的体积和表面积.

【专题】数形结合；分析法；球；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积.

【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，

如图，圆锥母线3s=3,底面半径BC=1,

则其高SC=yjBS2-BC2=2V2,

不妨设该内切球与母线BS切于点D,

,ODBC

令AOD=OC=r,由则一=一,

OSBS

巡

2

【点评】本题考查圆锥内切球，考查球的体积公式，数形结合思想，属于中档题.

97r

13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为3.

【考点】球的体积和表面积.

【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可.

【解答】解：设正方体的棱长为。，

:这个正方体的表面积为18,

6a2—18,

则a2—3,即a-A/3,

...一个正方体的所有顶点在一个球面上，

正方体的体对角线等于球的直径，

即百°=2几

即R=2，

43

--

则球的体积32

97r

故答案为：—

【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是

解决本题的关键.

14.如图，三棱锥A-8CD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点N分别是A。，8c的中点,

7

则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是；

-

【考点】异面直线及其所成的角.

【专题】空间角.

【答案】见试题解答内容

【分析】连结N£>,取ND的中点为：E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是NEMC通过解

三角形，求解即可.

【解答】解：连结N。，取的中点为：E,连结ME,则异面直线AN,CM所成的角就

是NEMC,

,:AN=2五,

：.ME=V2=EN,MC=2y[2,

又•/ENLNC,：.EC=y/EN2+NC2=V3,

•cosZEMC-E-EC?_2+8—3_7

2EM-MC_2x72x272-8-

7

故答案为：—

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

15.如图，圆形纸片的圆心为。，半径为5c〃z,该纸片上的等边三角形ABC的中心为。.D、E、尸为圆。

上的点，△DBC,A£CA,AMB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别

以8C,CA,A8为折痕折起△O3C,△ECA,/XFAB,使得。、E、产重合，得到三棱锥.当△ABC的

边长变化时，所得三棱锥体积(单位：CW?)的最大值为45的3.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题.

【答案】4V15C7723.

【分析】法一：由题，连接0。，交BC于点G,由题意得OOL8C,0G=^-BC,设。G=x,则BC=

2V3x,DG=5-x,三棱锥的高h=V25-10%,求出S&ABC=3遮野,V=与S^BCxh=V3-V25x4-10x5,

令/(x)=25尤4-10尤5,xe(0,1),f'(x)=100欠3-50/,f(x)W/(2)=80,由此能求出体积最

大值.

法二：设正三角形的边长为x,贝I]OG=|x^x=^x,FG=SG=5-^-x,SO=h=yJSG2-GO2=

J(5-杀尸—(杀尸=Js(5-*比)，由此能求出三棱锥的体积的最大值.

金,DH—5—看,从而V=/x第x(2x)2*

法三:连接OD,交BC于H,设BC=2x,则0<2x<5百,OH=

](5—含2_(言)2,由此能求出三棱锥的体积最大值.

【解答】解法一：由题意，连接OO,交BC于点、G,由题意得。OG=^-BC,

即OG的长度与BC的长度成正比,

设OG=x,则BC=2A,DG=5-x,

三棱锥的高h=VDG2-OG2=72s—10x+/—/=V25-10x,

22

ShABC=筵x苧x(2-\/3x)=3V3X,

则v=打fBex/i=V3x2XV25-10%=V3-V25x4-10x5,

令/(x)=25x4-1(1?,xe(0,|),f'(无)=1001-5(1?,

令，(无)>0,即尤4-z4WO,解得xW2,

则/(%)'(2)=80,

V<V3xV80-4VT5czn3,；.体积最大值为4V15cm3.

故答案为：4V15czn3.

解法工如图，设正三角形的边长为羽则。G^x字人杀,

:.FG=SG=5-3,

6

SO=h=yJSG2-GO2=J(5-得x)2-/x)2=15(5一亭x),

1

三棱锥的体积V=(SUBC•h

=Ixx%2x15(5—学x)=弯,4_条,

令b3=5彳4—字尤5,则b，(乂)=20*3—%4,

x4

令〃(x)=0,则4x3-=0,解得了=4\后,

75

3

：.vmax=臂x48xV5-4=4V15(cm).

故答案为：4V15cm3.

C

解法三：连接。。，交BC于H,如图,

x

,DH=5-后

=旦x•x•x•x--^j=(10A/3-4%)

435,10痕1

<W,辰

=4V15,

当x=2百时，取“=

...体积最大值为4V15cm3.

故答案为：4VB

D

【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性

质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与

转化思想，是中档题.

三.解答题(共5小题)

16.如图，在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,且N8AP=NC£)P=90°.

(1)证明：平面融B_L平面丛。；

8

(2)若P4=PO=AB=DC,ZAPD=90°,且四棱锥P-ABC。的体积为？求该四棱锥的侧面积.

【考点】平面与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)推导出AB_LB4，CD±PD,从而AB_LP。，进而A3_L平面E4D由此能证明平面E43_L

平面PAD.

(2)设B4=PD=AB=r)C=a,取中点0,连结P0,则POXJftffiABCD,>AD=夜a,PO=^~a,

o

由四棱锥尸-ABC。的体积为3求出a=2,由此能求出该四棱锥的侧面积.

【解答】证明：(1):在四棱锥P-ABC。中，/BAP=/CDP=90°,

J.ABLPA,CDLPD,

又AB〃C。，：.AB±PD,

,：PAnPD=P,平面抬。，

平面B4B,平面平面B4Z).

解：(2)设以=PZ)=AB=OC=a,取A。中点。，连结尸。，

'：PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,平面B4BJ_平面也。，

：.PO±J^^ABCD,且PD=7a2+a2=伍,PO=^a,

g

•・•四棱锥P~ABCD的体积为J,

由平面B4。，ABLAD,

.1

**,Vp-A8C0=3Xs四边形ABCDXP。

1An.p.nc1/7T1o8

=WxABxADxPO=可xaxV2ax-^-a==可，

解得。=2,：.PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2y/2,PO=V2,

:.PB=PC=vm=2V2,

...该四棱锥的侧面积：

S侧=S△碗

=^xPAxPD+ixPAxAB+ixPDxDC+^xBCxPB2-&2

2222\v27

+++XV8—2

=6+2®

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转

化思想，是中档题.

17.如图，在三棱锥A-8。中，平面42£>_L平面BCD,AB=AD,。为BD的中点.

(1)证明：OA±CD；

(2)若△0。)是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小为

45°,求三棱锥A-8C。的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间角；逻辑推理；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用等腰三角形中线就是高，得至UAOL8。，然后利用面面垂直的性质，得到AOL平面

BCD,再利用线面垂直的性质，即可证明A0_LCD；

(2)方法一：建立合适的空间直角坐标系，设A(0,0,t),利用待定系数法求出平面的法向量，由

向量的夹角公式求出f的值，然后利用锥体的体积公式求解即可.

方法二：利用几何法求出二面角E-BC-。的平面角，然后利用锥体的体积公式求解即可.

【解答】解：(1)证明：因为A8=A。，。为8。的中点，所以AO_LB。，

又平面ABD_L平面BCD,平面A8OC平面AOu平面ABD,

所以AO_L平面BCD,又CDu平面BQ),

所以AO_LC。；

(2)方法一：

取。。的中点R因为△OCO为正三角形，所以CF，。。，

过。作OM"CF与BC交于点M,则OWJ_OD,

所以。M,OD,OA两两垂直，

以点。为坐标原点，分别以OM,OD,。4所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

则8(0,-1,0),C卷,[0),D(0,1,0),

设A(0,0,力，贝氏0,y),

-»

因为。41_平面BCD,故平面BCD的一个法向量为04=(0,0,t),

设平面BCE的法向量为£=Q,y,z),

34令

又盛=(孚,-

，

-，-

2(O3

fV3^3

一k%+77y=n0

所以由n-BC=0得122

4

n-BE=0（科+寺=n0

令x=用,则y=-l,z=I，故n=（遮，-1,

因为二面角E-BC-。的大小为45°,

—>\n-OA\2V2

所以|cosOi,0A>\=~―

\n\\OA\

解得f=l，所以。4=1,

又SAOCD=*xlxlx5=乎，所以SABCO=苧，

故匕-BCD=[ABCD,%x亭x1=造.

方法二：

过E作跖，B。，交BD于点、F,过尸作FGLBC于点G,连结EG,

由题意可知，EF//AO,又AO_L平面8CD1

所以所_1_平面BCD,又BCu平面BCD,

所以E7LLBC,又BCLFG,FGCEF=F

所以8C_L平面EFG,又EGu平面EFG,

所以BC±EG,

则/EG尸为二面角E-BC-。的平面角，即NEGP=45°,

又CD=DO=OB=OC=\,

所以/BOC=120°,则/OCB=/O8C=30°,

故/BCD=90°,

所以FG//CD,

DEDFEF2

因为通

0D40-3

219

贝!)40=/F,09=毋，DF=

BFGF1+1

所以而贝”GF=^=

22

所以EP=GF=g,贝!MO=^EF=1,

所以VA-BCD=oS^BCD'A。=京x5xV3x1x1='v-

【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空

间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题.

18.如图，已知三棱锥A-BPC中，AP±PC,AC±BC,M为A8中点，。为尸8中点，且为正三

角形.

(1)求证：0M〃平面APC；

(2)求证：平面ABC_L平面APC；

(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.

【考点】直线与平面平行；平面与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)要证。M〃平面APC,只需证明(因为APu面APC)即可.

(2)在平面ABC内直线AP_L8C,BCYAC,即可证明8仁1_面APC,从而证得平面48cl,平面APC；

(3)因为8C=4,48=20,求出三棱锥的高，即可求三棱锥。-2CM的体积.

【解答】证明：(/)由已知得，是AABP的中位线

：.MD//AP'：MD^APC,APc®APC

：.MD//\^APC；

(〃):△PMB为正三角形，。为尸8的中点

：.MD±PB,：.AP±PBX"^AP±PC,PBCiPC^P

：.AP1^PBC(6分)VBCcjSPBCJ.APLBC

XVBCXAC,ACHAP=A：.BC±^APC,

：8Cu面ABC.,.平面ABC_L平面APC；

(HI)由题意可知，三棱锥A-BPC中，APLPC,ACLBC,M为AB中点，。为尸8中点，且△PMB

为正三角形.

BC=4,AB=20,MB=10,DM=543,尸8=10,PC=”00—16=2后,

：.MD是三棱锥D-BCM的高，SABCD=^X4X2何X1=2421,

-11

■,-VM-DBC=与Sh=掾x5V3x2旧=10V7.

B

【点评】本题考查直线与平面的平行，三棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，是中档题.

19.如图，四边形ABC。为菱形，G为AC与的交点，BEX5?®ABCD.

(I)证明：平面AEC_L平面8£»；

V6

(II)若NA8C=120°,AE±EC,三棱锥E-AC。的体积为飞■,求该三棱锥的侧面积.

【考点】平面与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

【专题】空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AECL平面8即；

(II)根据三棱锥的条件公式，进行计算即可.

【解答】证明：(I)..•四边形ABC。为菱形，

：.AC±BD,

平面ABC。，

：.AC±BE,

则AC_L平面BED,

：ACu平面AEC,

平面AEC_L平面BED；

解：(II)设AB=x,在菱形ABC。中，由NABC=120°,得AG=GC=%,GB=GDJ

,：BEmABCD,

C.BELBG,则AEBG为直角三角形，

：.EG=^AC=AG=个，

贝ijBE=y/EG2-BG2=孝x,

•三棱锥E-ACD的体积V=^x^AC-GD-BE=第/=去

3Z3

解得x=2,即A5=2,

VZABC=120°,

：.AC1=AB2+BC1-2AB«BCcosABC=4+4-2x2X2X(-1)=12,

即AC-V12=2-/3,

在三个直角三角形EA4,EBD,E3C中，斜边AE=EC=E。，

•：AE±EC,.♦.△EAC为等腰三角形，

则AE2+£C2=AC2=12,

即2A序=12,

.•.AE2=6,

贝ijAE=V6,

，从而得AE=EC=ED=V6,

-11

/.AEAC的面积S=^xEA-EC=^xV6x46=3,

在等腰三角形EAD中，过E作EF1AD于F,

则AE=V6,AF=^AD=jx2=1,

贝!]£/=J(V6)2-l2=V5,

1

AEAZ)的面积和△£<?£)的面积均为x2xV5=V5,

故该三棱锥的侧面积为3+2V5.

【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体

积公式.

20.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面外。为等边三角形且垂直于底面ABCQ,AB=BC=^AD,ZBAD=

ZABC=90°.

（1）证明：直线BC〃平面BW；

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可.

（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可.

【解答】（1）证明：四棱锥P-ABC。中，VZBAD=ZABC=90°.J.BC//AD,平面E4D,

平面PAD,

直线〃平面E4D；

（2）解：四棱锥尸-ABC。中，侧面阴。为等边三角形且垂直于底面A8CD,

设。是AD的中点，贝UPOLBC,

而POu面PAD,面PADn面ABCD=BC,

所以PO±^ABCD,

A2=BC=%£）,ZBAD=ZABC=90°.设AD=2x,

则A8=BC=x,CD=V2x,连接OC,设CD的中点为E,连接OE,

则0E=庠x,P0=V3x,PE=y/PO2+OE2=毕，

ZV2

1

△PCD面积为2b，可得：-PE-CD=2小,

2

即：工xg久•A/LC=2仍，解得尤=2,尸。=2次.

1111

则Vp-ABCD="x.(BC+AD)XABXPO=1x^x(2+4)x2x2V3=4瓜

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计

算能力.

考点卡片

1.球内接多面体

【知识点的认识】

1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径.球内接多面体也

叫做多面体外接球.

球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径.球外切多面体也

叫做多面体内切球

2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

(1)球心与多面体中心的位置关系；

(2)球的半径与多面体的棱长的关系；

(3)球自身的对称性与多面体的对称性；

(4)能否做出轴截面.

3、球与多面体的接、切中有关量的分析：

(1)球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r,正方体的棱长为a,贝！I：

①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；

②正方体的四个顶点都在球面上；

③轴截面就是正方体的对角面；

④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三角形；

⑤球半径和正方体棱长的关系：r=空°.=

2.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【知识点的认识】

侧面积和全面积的定义：

(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就

是空间几何体的侧面积.

(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积.

柱体、锥体、台体的表面积公式(c为底面周长，场为高，h