解三角形及其应用（含答案）-2025年高考数学一轮复习

专题08解三角形及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

避01正变定理驿三角形

辘02余走定理悔三角形

辘03判贮角形的的形状

雌04三角形的解的个数

翅05三角形的面积及应用

型06三小瞪-i•诵

避07解三角形中的是屣国诃题

型08三跳的中线侬、角平分线

凝09多三角曦酶确解三角形

^01测^离问题

魁02测星角度可题

壁03测量角度问题

口识盘点・置翡扑与

知识点1正、余弦定理及应用

1、正、余弦定理与变形

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c1—2/?ccosA；

内容q=q=q=2Rb2=c2+a2—2cacosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2—2abcosC

b2+c2-a2

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA—2bc；

(2)a:b:c=sinA*sinB'sinC；c2+a2~b2

变形cosB-2ac；

”+/?+c_a

⑶sinA+sin8+sinCsinA2A层+02一。2

cosC-2ab

【注意】若己知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理.在根据另一边所对角的正弦值确定

角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角

和定理去考虑问题.

2、解三角形中的常用结论

(1)二角形内角和定理：在△A3C中，A+B+C=7i；变形：-2-=2一~2-

(2)三角形中的三角函数关系

^A+5C与A~\~BC

(l)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=—cosC；③sin--=cosy；④cos-~=siny.

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)三角形中的大角对大边：在△A3C中，A>B^a>b^>smA>smB.

3、三角形常用面积公式

(1)力(心表示边〃上的高)；

(2)S=^absinC=^acsinB=^bcsinA；

(3)S=$(a+6+c)0"为内切圆半径).

知识点2解三角形的实际应用

名称意义图形表示

/目标

在目标视线与水平视线所成的角中，目标/视线

铅/翁角水平

仰角与俯角视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视垂

线y角—视线

、目标

线在水平视线下方的叫做俯角

视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到北」

方位角目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位(35°东

FT

角。的范围是0。*<360。

例：(1)北偏东a：(2)南偏西a：

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角4北f1北f

锐角，通常表达为北(南)偏东(西)

【注意】(1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不

同描述.

(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果

是否符合实际情况.

点突破•看分・必检

重难点01解三角形中的最值范围问题

1、三角形中的最值、范围问题的解题策略

(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角

或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.

（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点

（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，己知边的范围求角的

范围时可以利用余弦定理进行转化.

（2）注意题目中的隐含条件，如A+8+C=?t,0<A<TT,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等.

类型1角或三角函数值的最值范围

【典例1］（23-24高三下•山西•模拟预测）钝角AABC中，角A,民C的对边分别为。，6,c,若acos3=csinA,

则sinA+A/2sinB的最大值是.

【典例2］（23-24高三下•福建厦门•三模）记锐角AABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c.若2cosC=--y,

ab

则B的取值范围是.

类型2边或周长的最值范围

【典例1］（23-24高三下.江苏•月考）在中，内角A,8,C的对边分别为a,6,c,已知〃一〃=℃

（1）若8=60。求C的大小；

b

（2）若为锐角三角形，求2的取值范围.

A

【典例2］（23-24高三下.安徽淮北.二模）记的内角A民C的对边分别为a,b,c,已知。-6=2。$五彳

（1）试判断AABC的形状；

（2）若c=l,求"LBC周长的最大值.

类型3三角形面积的最值范围

【典例1］（23-24高三下•广东茂名•一模）在AABC中，内角A,B,C的对边分别是且

A+C

Z?sin(B+C)=asin

2

（1）求3的大小；

（2）若。是AC边的中点，且BD=2,求AABC面积的最大值.

【典例2](23-24高三下.湖北武汉.二模)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知

2a—c^cosB—bcosC=0.

(1)求B；

(2)已知人=百，求;。+2c的最大值.

重难点02解三角形角平分线的应用

如图，在A4BC中，4D平分NB4C,角力、B,C所对的边分别问a,b,c

(1)利用角度的倍数关系：4BAC=2ABAD=24CAD

(2)内角平分线定理：2。为AABC的内角乙B2C的平分线，则要=器.

说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就

可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。

⑶等面积法：因为SA4BD+SAACD=S”BC，所以如加%呜+”■ADsiW=^bcsi九4,

所以(6+c)4D=2儿cos-,整理的：4。匕(角平分线长公式)

2b+c

【典例1](23-24高三下.江西•模拟预测)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为“,6,c,其外接圆的半径

为26，且AcosC=a^csrnB.

3

(1)求角B；

(2)若的角平分线交AC于点。,BD=g,点E在线段AC上，EC=2EA,求的面积.

【典例21(23-24高三下•河北沧州•模拟预测)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知"=c(c+6).

(1)求证：B+3C=7t；

(2)若NABC的角平分线交AC于点。，且。=12,6=7,求8。的长.

重难点03解三角形中线的应用

1、中线长定理：在A4BC中，力。是边上的中线，贝"482+4。2=2（B£）2+力。2）

【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中

2、向量法：AD2=-（_b2+c2+2bccosX）

4

【点睛】适用于已知中线求面积（已知黑的值也适用）.

【典例1］（23-24高三下•山西•三模）在AABC中，内角A8,C所对的边分别为a八c.已知

27r

A=T，62+C2=24,AABC的外接圆半径R=2后,£＞是边AC的中点，则8。长为（）

A.6+1B.2季C.6夜D.721

【典例2］（23-24高三下•黑龙江哈尔滨•三模）已知AABC的内角A,3,C的对边分别为"c,且a=5BC

边上中线AD长为1,则儿最大值为（）

77

A.—B.-C.6D.2^/3

42

法技巧・逆袭学霸

一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

（2）己知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

（5）己知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；

2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间

的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并

注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

【典例1］（23-24高三下.浙江金华.三模）在AABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c.若”=近，b=2,

A=60°,则c为（）

A.1B.2C.3D.1或3

【典例2］（23-24高三下.江苏.二模）设钝角AABC三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若。=2,

sinA=V3,c=3,贝!16=.

【典例3](23-24高三下•广东江门•二模)尸是AABC内一点，ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,

则tanNBAP=()

D-I

二、判定三角形形状的两种常用途径

1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；

2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断

【典例1］（23-24高三下•湖南衡阳•模拟预测）在MBC中，角A,3,C的对边分别为a,b,c,若sin2A=sin2B,

则的形状为.

【典例2］（23-24高三下.河北秦皇岛.三模）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，6,c,且B=2C,

b-0a,贝!1（）

A.AABC为直角三角形B.AABC为锐角三角形

C.AABC为钝角三角形D.AABC的形状无法确定

三、三角形的面积及应用

1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S=5加inC=%csinB=*>csinA,一般是使用哪一个角就使

用哪一个公式；

2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化；

3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式/+/=3+加2_2ab将问题转化为求两边之和的问题。

【典例1］（23-24高三下•重庆•三模）（多选）在AABC中，角A,民C的对边为a,b,c,若b=2也,c=2,C=%,

则AABC的面积可以是（）

A.6B.3C.2布D.373

【典例2］（23-24高三下•福建莆田•三模）在AABC中，内角A民C的对边分别为a,6,c,且

Z?（cosC+l）=c（2-cosB）.

（1）证明：a+b=2c.

9

(2)右a=6,cosC=—~,求ZiABC的面积.

16

四、利用正弦定理解三角形的外接圆

利用正弦定理：一匕=-^―==2R可求解三角形外接圆的半径。

sinAsinBsinC

若要求三角形外接圆半径的范围，一般将R用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。

【典例1］（23-24高三下•云南・月考）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,记^ABC的面

积为S,已知（Hep-4=4>/*,b=2,c=3,求AABC外接圆半径R与内切圆半径「之比为（）

A7+3近„7+5A/706-"「6+36

A.---------D.-----------C.---------D.----------

9988

【典例2］（23-24高三下•河南•模拟预测）在AABC中，角AB。的对边分别为久久c,且

ccosB+2acosA+bcosC=0.

TT

（2）如图所示，。为平面上一点，与AABC构成一个四边形ABDC,且/Br>C=w，若c=26=2,求AD

的最大值.

五、利用解三角形解决测量距离问题

1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、

余弦定理求解。

2、求距离问题的注意事项

（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，

则把未知量放在另一确定三角形中求解.有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得

出所要求的量.

（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

【典例1］（23-24高三下•吉林•二模）如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60。方向C处有一艘

渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15。，且与甲船相距gnmile的B处的

乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）

A.V2nmileB.2nmileC.2V2nmileD.30nmile

【典例2］（23-24高三上.广东广州•月考）如图，A、8两点在河的同侧，且A、8两点均不可到达.现需

测A、8两点间的距离，测量者在河对岸选定两点C、D,测得C£>=@km,同时在C、。两点分别测得

2

ZADB=ZCDB=30°,ZACD=60°,ZACB=45°,则A、3两点间的距离为（）

A-TC'TD'T

六、求解高度问题应注意的三个问题

1、要理解仰角、俯角的定义；

2、在实际问题中可能遇到空间与平面（底面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一

个平面图形；

3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空间问题转化为平面问题。

【典例1］（23-24高三下•宁夏石嘴山•模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形

楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如

图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点A处测得塔顶。的仰角为45°,然后沿点A向

塔的正前方走了38m到达点3处，此时测得塔顶。的仰角为75°,据此可估计海宝塔的高度约为

m.（计算结果精确到0.1）

•"W"飞D

【典例2］（23-24高三下.广东湛江.二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技

术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一

个最高点A,点A在大厦底部的射影为点。，两个测量基点8、C与。在同一水平面上，他测得8c=102"

米，ZBOC=120°,在点8处测得点A的仰角为。（tand=2）,在点C处测得点A的仰角为45。，则财富

汇大厦的高度OA=米.

参考答案与试题解析

专题08解三角形及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

维构建・耀精晓绐

rK^gg>-()

K正、余弦印与变形＞

----(b'-J+f—ZcacosB)

-Qg~—xofecosC

K内角和定理）-c辘01正空定理麻三角形

辘02余型定稣三角形

健03判后匍杉的的形状

壁04三匐秒的好的个数

凝05三角形的面积及应用

_（o知识点一正、余弦定理及应用）

人三角形中的三角函数关系）-三0E三角二三厂亳淳

型07解三角形中的星鳏圉礴

-（解三角形中的常用结论》

辘08三角形的中缘型、角物线

辘09多三角腱瓯形的解三匍K

a=iKOsC-tcaB

&=acosC-CCOBJ

c=bcGsA-acaB

解三角形及其应用＜三角形）---（」＞3€»心占疝」＞疝3）

■（三角形常用面积公式）

碓与否—在目标视线与水平视断成的角中，目标视线在水平视

一线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角

壁01测毁离问题

一。知识点二解三角形的实际应用】方特角以晟点力田向送阴皈寺方向乳三标方向近亘超02测星角度问题

_______________________________＞的夹角叫做方位角，方位角6的范圉是0”6＜360°'辘03测量角度问题

一正正南方向线与目标方向的成的角，通常表达为北痈漏东㈣

口双盘点・置；层扑与

知识点1正、余弦定理及应用

1、正、余弦定理与变形

定理正弦定理余弦定理

4i2=/?2+c2—2Z?ccosA；

a_____b_____c___

内容bz=c2+a2-2cacosB；

sinAsinBsinC

c1=a2-\-b2-2abcosC

/+。2—〃2

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA—2bc；

(2)a:b:c=sinAIsinBIsinC；c^+c^—b2

变形cos8-2ac；

〃+/?+c_a_

⑶

sinA+sin8+sinCsinA2Aa2+b2~c2

cosC~2ab

【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理.在根据另一边所对角的正弦值确定

角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角

和定理去考虑问题.

2、解三角形中的常用结论

A+8TTC

(1)三角形内角和定理：在△A5C中，A+B+C=7L；变形：-2一=2—2--

(2)三角形中的三角函数关系

o।,三A~\~BC三A~\~BC

①sin(A十3)=sinC；②cos(A十8)=—cosC；③sin-5-=cosy；④cos--=siny.

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)三角形中的大角对大边：在△ABC中，A>B<=>a>b^smA>sinB.

3、三角形常用面积公式

(1)5=%九(总表示边〃上的高)；

(2)S=]〃bsinC=]〃csin3=]Z?csinA；

(3)S=5(〃+/?+c)(r为内切圆半径).

知识点2解三角形的实际应用

名称意义图形表示

/目标

在目标视线与水平视线所成的角中，目标/视线

铅/轴角水平

仰角与俯角视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视垂

线y角—视线

、目标

线在水平视线下方的叫做俯角

视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到北

。不

方位角目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位SR35i

角。的范围是0。*<360。

例：（1）北偏东a：（2）南偏西a：

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角北f北t

锐角，通常表达为北（南）偏东（西）

【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不

同描述.

（2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果

是否符合实际情况.

X聿点突破•看分•必拓

重难点01解三角形中的最值范围问题

1、三角形中的最值、范围问题的解题策略

（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角

或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.

（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点

（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，己知边的范围求角的

范围时可以利用余弦定理进行转化.

（2）注意题目中的隐含条件，如A+8+C=TC,0<A<7i,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等.

类型1角或三角函数值的最值范围

【典例1］（23-24高三下•山西•模拟预测）钝角AABC中，角A,氏C的对边分别为“"，c,若々cos3=csinA,

则sinA+>/2sinB的最大值是.

【答案】7

【解析】因为QCOsB=csinA,由正弦定理得sinAcos5=sinCsinA,

ITIT

又因为Ae（0,兀），可得sinA^O,所以sinC=cosB,贝ijC=或C=一+8.

22

当C=g-3时，可得A=与AABC是钝角三角形矛盾，所以C=g+B,

八/兀

0<A<—

2

JTTTJT

由《0<3v—,贝！JA=^—23>O,可得0<3<二，

224

A+3+C=九

所以sinA+A/2sinB=sin（B+C）+及sinB-cos2B+V2sinB

=-2sin2B+^sinB+1=-2sinB-if

所以当sin5=1^时，sinA+J^sinB的最大值为

【典例2】（23-24高三下•福建厦门•三模）记锐角AABC的内角A,'C的对边分别为〃也c若2cosc=亚-：，

ab

则6的取值范围是一

7171

【答案】

6'2

【解析】因为2cosc=及一所以2HCOSC=362-〃,

ab

由余弦定理可得：2abcosC=a2+b2-c2»

可得从="1c2,在锐角“IBC中，由余弦定理可得:

22

222a+C

a+c-b'3

cosB=--------------=---------

laclac2ac4a

a2+/--c2>c2

a2+b2>c2口口2Qc2

因为b2+c2>a2,即'，即"＞产所町〈存

a2~—c2+c2>a2

2

_3c32G71兀

所以cosB=-----<,所以BE

4a4y/3~26'2）

类型2边或周长的最值范围

【典例1］（23-24高三下.江苏・月考）在“BC中，内角A民C的对边分别为a,6,c,已知〃一〃=如

（1）若5=60。求C的大小；

b

（2）若"RC为锐角三角形，求一的取值范围.

a

【答案】（1）90°；（2）（V2,V3）

【解析】（1）由题意，在AABC中，b2-a2=ac.,

由余弦定理得，a2+c2-lac-cosB=b1

a1+c2—2ac-cosB—a2=acf/.c—2acosB=a,

A+B+C=180°,

sin(A+5)-2sinAcosB=sinA=>cosAsinB—sinAcosB=sinA,

/.sin(B-A)=sinA:.B-A=A^B-A+A=TI(舍)，:.B=2A

VB=60°,/.A=30°,/.C=180-A-B=90°.

（2）由题意及（1）得，在AABC中，B=2A,

.bsinBsin2A

由正弦定理得，一=——=-----=2cosA,

asinAsinA

•・•△ABC为锐角三角形,

Q<A<-

2

71,71

0<2A<-解得:—<A<—,

264

71

0<7t-A-2A<-

2

/.^2<2cosA<^3，

A

【典例2］（23-24高三下•安徽淮北•二模）记△ABC的内角ABC的对边分别为。也。，已知c-

（1）试判断AABC的形状;

（2）若。=1,求"RC周长的最大值.

【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）V2+1

^c-b=2csm2-,可得sin24=所以1-cosAc-b

【解析】（1）

222c2

1cosA1b匚b

即5-丁=5一五,所以cosA=]

又由余弦定理得“+广一"2=2,可得“2+62=。2,所以C=g,

2bcc2

所以AABC是直角三角形

(2)由（1）知，AABC是直角三角形，且。=1,可得a=sinA,Z?=cosA,

所以AABC周长为1+sinA+cos