苏科版2024-2025学年九年级数学上册 圆的对称性（专项练习）（培优练）

专题2.6圆的对称性（专项练习）（培优练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2024•新疆乌鲁木齐•模拟预测）如图，在半径为5的圆。中，AB,CZ）是互相垂直的两条弦，垂足为

A.3B.4C.3亚D.4垃

2.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，AB、CD是回。的弦，且AB=CD,若N3QD=84。，则NACO的度

数为（）

3.（2024•浙江杭州•二模）如图，45是。。的弦，CD是。。的直径，CDLAB于点、E.在下列结论中,

不一定成立的是（）

A.AE=BEB.ZCBD=90°

C.ZOBD=ZABCD.NCOB=NC

4.（2024•陕西西安•一模）如图，在。。内，以弦A3为边作等边△ABE,AE.鹿的延长线交。。于C、D

两点，过。作。/，应＞于点尸，延长尸。交AC于点G,若DE=4,EG=6,则A3的长为（）

5.（2024•内蒙古呼伦贝尔•二模）如图，。。的半径为3,点A为。。上一点，连接Q4,以。4为一条直角

边RSOAB,使NAO8=90°,03=4,A3交。。于点C,则3c的长为（）

6.（2022•山东烟台•一模）如图，48是半圆。的直径，以弦/C为折痕折叠AC后，恰好经过点O,则/AOC

C.130°D.145°

7.（18-19九年级上•浙江杭州•期中）如图，团。的直径48=8,尸是圆上任一点（A、3除外），ZAPS的

平分线交回。于C,弦所过AC、BC的中点M、N,则E尸的长是（）

A.473B.2/C.6D.275

8.（2024•江西九江•三模）如图1,A3是。。的直径，C是。。上的一点，连接AC,BC,。是AC上的动

点，过点。作DE1AC于点£.设==,y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若尸是

图象的最高点，则A3的长是（）

9.（2023・四川乐山•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于4

8两点，C、。是半径为1的上两动点，且0）=血，尸为弦CD的中点.当C、。两点在圆上运动时,

△MB面积的最大值是（）

A.8B.6C.4D.3

10.（2023九年级上•全国•专题练习）如图，在。。中，直径AB=10,于点及8=8.点、F是

弧8C上动点，且与点8、C不重合，P是直径A3上的动点，^m=PC+PF,则加的取值范围是（）

A.8<m<4^B.4A/5<7«<10C.8</7?<10D.6<m<10

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.（2024・湖南长沙•二模）如图，。。的半径OA为13,弦AB的长是24,ONLAB,垂足为N,则ON的

长为.

12.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在。。中，直径A5LCD于点£,CD=6,BE=\,则弦AC的

长为.

13.（2024九年级下•浙江•专题练习）如图，点AB,C在半径长为4的。。上，点、D,E分别是弦A3,

弦BC的中点，连接OE,若弧A3的度数为70。，弧3c的度数为50°,则DE的长度为.

14.（2023•广东珠海•三模）如图，。。是Rt^ABC的外接圆，交。。于点E,垂足为点。，AE,

CB的延长线交于点尸，若。D=3,AB=8,则△AFC的面积是.

15.（23-24九年级上•四川南充・期末）如图，在00中，圆心角44。8=120。,（7是A8的中点，作CDLOB,

与。。交于。，则图中与5。相等的线段有条.

/O/\

ArB

C

16.（2024九年级•全国•竞赛）如图，。。为AABC的外接圆，AO的延长线交。。于点O,且垂直BC于点

E,若。。的半径为10cm,3c=16cm,则AE与OE的长度之比为.

17.（23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在。。中，3C为。。的弦，点A在。。内（点0、

A在弦3c的同一侧），连接。4、AB,若线段。4的长为8,线段AB的长为12,NOAB的度数与—ABC

的度数相等，均为60°,则弦BC的长为

18.（22-23九年级上•江苏泰州•期中）如图，点M是半圆。。的中点，点/、C分别在半径0M和上,

NACB=90。，AC=3,3c=4,则。。的半径为.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（23-24九年级上•广东广州•期中）如图，以AABC的BC边上一点。为圆心的圆，经过A、8两

点，且与3C边交于点E,£＞为BE的下半圆弧的中点，连接交BC于/，若AC=FC.

（1）连接A。，求证：NQ4c=90。；

（2）若8尸=4,DF=710,求。。的半径.

D

20.（8分）（2024•上海静安•二模）己知：如图，CD是。。的直径，AC、AB,3。是。。的弦，AB//CD.

（1）求证：AC=BD；

（2）如果弦A3长为8,它与劣弧A8组成的弓形高为2,求CO的长.

21.（10分）（2023•贵州•模拟预测）如图，A8是。。的直径，弦与AB相交于点E,ZBOD=2ZA.

（1）写出图中一对你认为全等的三角形」

（2）求证：AB1CD；

（3）若。。的半径为4,AE：EB=3:1,求C£）的长.

22.（10分）（22-23九年级上•湖北十堰•期中）如图，A3是。。的直径，C、。为0。上的点，且,

过点。作DE工AB于点E.

（1）求证：平分/ABC；

（2）若3C=4,DE=3,求。。的半径长.

EO

23.（10分）（21-22九年级上•福建福州•期中）如图，四边形ABCD内接于。。，A3是。。的直径，点C

为8。的中点，弦CE/AB于点尸，与3。交于点G.

（1）求证：BG=CG；

（2）若。尸=1,求的长.

24.（12分）（20-21九年级上•江苏镇江•阶段练习）如图，在回。中，N8是直径，尸为48上一点，过点尸

作弦MV,团VP2=45°.

(1)若/P=2,BP=6,求MN的长;

(2)若A/P=3,NP=5,求的长;

嚏晅的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变

(3)当尸在45上运动时（0AP2=45。不变）,

化，请求出其范围.

参考答案:

1.D

【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键.作于M,ONLCD

于N,连接0D,首先利用勾股定理求出31的长，然后判定四边形MQVP是正方形即可得到答案.

【详解】解：作于〃，ONLCD于N,连接。B,0D,

由垂径定理得AM=BM=DN=CN=3

勾股定理得：OM=ON=dB()2-BM2=后-32=4,

•弦AB、CD互相垂直，

:.ZDPB=90°,

于ONLCD于N,

:./OMP=NONP=90°

.•・四边形MONP是矩形，

•;OM=ON,

四边形MONP是正方形，

:.OP=4也

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出ZAOC=ZBOD=84。，再根据等腰三角形的性质求解即可.此题考

查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键.

【详解】解：如图，连接OA,

■.■AB=CD,

AB=CD，

AB-AD=CD-AD，

AC=BD，

ZAOC=ZBOD=84°,

•：OA=OC,

ZACO=ZCAO=1(180。-ZAOC)=1x(180°-84°)=48°,

故选：D

3.D

【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，根据垂径定

理、圆周角定理判断求解即可.

【详解】解：根据垂径定理可以得到钻=SE，故选项A不符合题意；

回。是0。的直径，

0ZCBZ>=9O°,故选项B不符合题意；

回OB=OD,

由NOBD=NODB,

^\ZABC=ZCDB

国NOBD=NABC,

故选项c不符合题意；

团无法证明CB=OB,

团选项D符合题意.

4.C

【分析】本题考查等边三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，垂径定理.

由等边AABE得到ZA£3=60。，从而/EGV=90°—ZA£B=30°,进而=3EG=3,DF=DE+EF=1,

根据垂径定理得到3尸=止=7,从而BE=EF+BF=10,根据等边三角形的性质即可解答.

【详解】解：回△可是等边三角形，

0ZA£B=6O°,

B1OF1BD

iaZGFE=90°,

0ZEGF=90°-ZAEB=30°,

回EF=LEG=3,

2

^DF=DE+EF=4+3=7f

团OF过圆心O,且

团BF=DF=7,

⑦BE=EF+BF=3+7=IO,

团在等边石中，AB=BE=10.

故选：C

5.A

【分析】本题考查了垂径定理，三角形的面积，勾股定理，过点。作于。，由垂径定理得

AD=CD=-AC,由勾股定理得=加=5,利用三角形的等面积法求得。。=不，再由勾股

定理得">=g-0a=1,进而得AC=2AE>=(,最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅

助线是解题的关键.

【详解】解：如图，过点。作。于。，则AO=CD=LAC,NADO=90。，

2

回。。的半径为3,

004=3,

EINAOB=90°,05=4,

^AB^yJo^+OB2=732+42

05△aAunDR=-2OAOB=-2ABOD,

[?]—x3x4=—x5xOD,

22

0OD=y,

团AC=2AD=—,

1Q7

^\BC=AB-AC=5——

55

故选：A.

6.A

【分析】连接OC,BC,过。作。砸4c于。交圆。于E,根据折叠的性质得到OD=3O£,根据圆周角

定理得到翌1C8=9O。，根据三角形的中位线的性质得到求得回CO5=60。，得到&4OC=120。，于是

得到结论.

【详解】解：如图，连接。C,BC,过。作OKa4c于。交圆。于E,

团把半圆沿弦/C折叠，AC恰好经过点。，

WD^^OE,ODLAC

S48是半圆。的直径，

EEL4c2=90°,

EIQDE5C,

004=08,

^\OD=^BC,

站C=OE=OB=OC,

.•.△OCB是等边三角形，

00CO5=6O°,

aa40c=120°,

【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助

线是解题的关键.

7.A

【详解】回PC是ZAPB的角平分线,

SZAPC^ZCPB,

ElAC=BC,

又13AB是直径，

回NACB=90。，即AABC为等腰直角三角形.

连接。C,交EF于点、D,则OC_LAB,

0M,N是AC,8C的中点，

^\MN\\AB,

0OC1EF,OD=-OC=2,

2

连接0E根据勾股定理，得

DE=2^/3,EF=2DE=46.

故答案为4君.

故选A.

8.C

【分析】本题主要考查动点函数图象问题和垂径定理，过点。作OHLAC于点G,交。。于点〃，由图象

可知此时AG=2,HG=1,设OG=a,贝！JQ4=OH=a+l,在RtzXAOG中，由勾股定理可列方程，求出

3s

。=不，得04=不，从而可求出

【详解】解：如图，过点。作OHLAC于点G,交。。于点X,

结合图象知，AG=2,HG=L

设OG=af贝!JOA=OH=a+1,

在RtZ\AOG中，OG2+AG2=AO2

团2?+a?—（a+1）

3

解得，a六

八43i5

回。4=—+1=—

22

0AB=2OA=5

故选：C

9.D

【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出。4=。5=2,确定A3=20，再由题意得出当尸。的延长线

恰好垂直⑷?时，垂足为点此时尸石即为三角形的最大高，连接利用勾股定理求解即可.

【详解】解：回直线y=—x—2与％轴、y轴分别交于4、5两点，

团当九=0时，y=-2,当>=。时，x=-2,

0A（-2,O）,B（O,-2）,

0OA=OB=2,

0AB=7OA2+<9B2=2A/2-

回AR4s的底边A3=2应为定值，

回使得△上底边上的高最大时，面积最大，

点尸为8的中点，当尸。的延长线恰好垂直AB时，垂足为点£,此时PE即为三角形的最大高，连接DO,

0CD=V2.。。的半径为1,

SDP=—

2

BOP=yjOD2-DP2=—,

2

团

^\OE=-AB=42f

2

⑦PE=OE+OP=^^,

2

HSD4D=-X2A/2X3^^=3,

.22

故选：D.

【点拨】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最

大值是解题关键.

10.C

【分析】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接

PD,DF,OC,BD,利用垂径定理可得AB是C。的垂直平分线，则PC=PD；利用三角形的任意两边之

和大于第三边，可得不等式PD+尸尸之。尸（当，P,尸在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论.

【详解】解：如图，连接PD,DF,OC,BD,

E1AB为。。的直径，CD1AB,

0CE=ED=-Cr>=4,

2

0AB=1O,

EIOC=-AB=5,

2

0OE=A/OC2-CE2=3-

^\BE=OE+OB=8.

^BD=个BE2+DE2=4M■

0P是直径AB上的动点，CDLAB,

回AB是8的垂直平分线，

SPC=PD.

Sm-PC+PF,

Bm=PD+PF,

0(当D,P,尸在一条直线上时取等号)，点尸是弧8c上动点，且与点8、C不重合，

直径，

回8<wiW10.

故选：C.

11.5

【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

先根据垂径定理得出AN=BN=12,再用勾股定理即可求出QV的长.

【详解】解：回弦A8的长是24,ONLAB,

@AN=BN=12,

又回半径。4为13,ZONA=90°,

团ON=SJAO2-AN2=V132-122=5，

E1ON=5,

故答案为5.

12.3M

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

由垂径定理得CE=ED=；CO=3,设。。的半径为r，则OE=O3—座=厂一1,在及△(?即中，由勾股定

理得出方程，求出厂=5,即可得出AE=9,在RMAEC中，由勾股定理即可求解.

【详解】解：SAB±CD,CD=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

设。。的半径为『，则OE=O3—E3=r—1,

在RMOED中,由勾股定理得：OE?+DE?=OD?,(r-1)2+32=r2,

解得：r=5,

OA=5,OE=4,

:.AE=OA+OE=9,

在RAAEC中，由勾股定理得：AC=dcE?+/IE?=,3?+9?=3回，

故答案为：3M.

13.273

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强,

解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接Q4,OC,AC,作。尸，AC于点尸，根据已知得

ZAOC=120°,可得OP=2,CF=2也,所以AC=4百，再根据OE是AABC的中位线，即可得出答案.

【详解】解:连接Q4,OC,AC,作。尸，4c于点厂，

回弧A3的度数为70。，弧的度数为50°,

0ZAOC=120°,

SOA=OC,

ISZOCA=ZOAC=30°,AC=2CF=2AF,

0OC=4,

0OF=-OC=2,

2

®CF=0OF=2C,

EIAC=4百，

团点O,E分别是弦AB,弦3c的中点，

回£>£■是AABC的中位线，

SDE=-AC=2s/3.

2

故答案为：2下.

14.40

【分析】由OELAB，得AD=BD,结合AO=CO,推出。。是44BC的中位线，OE是△ARC的中位线，

根据勾股定理求出圆的半径，得到C厂的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道NABC=90。，从而利用

-FCAB即可求得面积.

2

【详解】-.-OE±AB

：.AD=BD^-AB^-x8^4

22

•：OA=OC

为AABC的中位线

:.OD//BC

又QO£>=3

OA=y/AD2+OD2=V42+32=5

:.OE=OA=5

・••O£||CF,点。是AC中点

AEAO,

.EFOC

即E为AF中点

是△AFC的中位线

:.CF=2OE=2x5=10

•.•AC是直径

:.ZABC=90°

.•△ARC的面积=A3=LxlOx8=40

22

故答案为：40.

【点拨】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的

化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键.

15.3

【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接OD,OC,根据圆心角、

弧的关系求出NAOC=/3OC=60。，根据圆周角定理求出NCDB=30。，根据直角三角形的性质求出

/0班>=60。，再根据等边三角形的判定与性质求解即可.

【详解】解：如图，连接O。，OC,

D

c

vZAOB=120°,。是AB的中点，

ZAOC=ZBOC=-ZAOB=60°,

2

ZCDB=-ZBOC=30°,

2

•••CDLOB,

:./CDB+NOBD=9。。,

:.ZOBD=60°,

•;OB=OD,

.•.△05。是等边三角形，

ZBOD=6Q°fOB=BD,

­.­ZAOC=60°fOA=OC,

:.^OAC是等边三角形，

:.OA=AC,

：.OA=OC=OB=BD,

「•图中与BD相等的线段有3条，

故答案为：3.

16.4:1

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接OB,根据题意可得：OB=10cm,根据垂径定理得出

BE=^BC=8cm,进而得出OE=JOB?—BE?=6cm，再得出AE=16cm,DE=4cm,即可得出答案.

【详解】解：连接OB,

A

团区C=16cm,

团BE=—BC=8cm,

2

0OE=-JOB2-BE2=6cm，

团AE=16cm,DE=4cm,

团石=16:4=4:1.

故答案为：4:1.

17.20

【分析】延长AO交3c于D,根据NA=/B=60。，易证得是等边三角形，由此可求出OO,3。的

长；过。作BC的垂线，设垂足为E；在中，根据的长及NODE的度数易求得DE的长，进

而可求出BE的长；由垂径定理知3c=23E,由此得解.

【详解】解：延长A。交8c于。，作OELBC于E.

^ZADB=G0°,

回△A5O为等边三角形，

^BD=AD=AB=U,

0OD=AD-Q4=12-8=4,

又E]ZADB=60。，OELBC,

0ZZ)OE=3O°,

^\DE=-OD=-x4=2,

22

BE=BD-DE=12-2=10,

团区C=26石=20,

故答案为：20.

【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，垂径定理的应用，难度适

中.解题的关键是根据已知条件的特点，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形.

18.2A/5

【分析】连接AT＞，易得点/在。上，在R/AACB中根据勾股定理求出A8,根据垂径定理得到AD,

在RADCB中可得直径，即可得到半径.

【详解】解：连接AD,

B1BD是圆的直径，

®NDCB=90°,

SZACB=90°,

回点/在CD上，

回点M是半圆。。的中点，

^MO±BD,

团AB-AD,

在HAAC5中

0AC=3,BC—4,

^AB^AD^>jAC2+BC2=V32+42-5，

ElCD=AC+AD=3+5=8

在RtMJCB中

BD=飞BC?+8、="2+8、=46，

。。的半径为4A后+2=2石，

故答案为2省.

【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理及直径所对圆周角是直角，解题关键是得到点/在8上.

19.⑴见解析

(2)3

【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质.

(1)连接A0,由圆的性质可得/。=根据AC=PC,ZCAF=ZCFA=Z.OFD,由垂径

定理可得。。，■，然后借助角关系转化可得结论；

(2)在RtA。。厂由勾股定理可求解.

【详解】(1)解：连接40,

COA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

AC=FC,

:.ZCAF=ZCFA=ZOFD,

•.,D为BE的下半圆弧的中点，

:.OD1.BE,

:.NODA+N0FD=90°,

ZCAF+ZDAO=90°,

.-.ZOAC=90°;

(2)在RtA。。/中，DF2=OD-+OF-,

.-.10=OD2+(4-OD)2,

;.0D=l(不合题意舍去)或0D=3,

二。。的半径为3.

20.⑴见解析

(2)10

【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质：

(1)作QELAB于点E,交。。于点R连接49,3。运用SAS证明2△反龙＞,可得出结论;

(2)设。。的半径为R,在RaB。片中，运用勾股定理列出方程求出A的值即可得出结论.

【详解】(1)解：作。于点。交0。于点尸，连接A。,30,如图，

^\AB//CD,

0OE±cr>,

⑦NCOE=/DOE,

回AO=BO,OELAB,

^ZAOE=ZBOE,

国NAOC=/BOD,

团AO=BO,CO—DO,

EIAAOC^ABOD(SAS),

0AC=BD；

(2)解：设。。的半径为R,则OE=R—2,

又AB-8,

EIBE」AB=4,

2

在RUBOE中，OB2=OE1+BE2,

即：R2=(/?-2)2+4,

解得，R=5,

0CD=2R=2x5=10.

21.(l)AOCE^AOOE

⑵详见解析

(3)Cr>=4.y/3

【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键.

(1)由。l=OC得NCOE=2NA,再证明/C0E=/30D,从而证明出；

(2)由垂径定理可得结论；

(3)根据勾股定理得出CE=2百，再由垂径定理得出。的长即可.

【详解】(1)解：AOCEdODE,

•：OA=OC,

.-.ZA=ZOCA,

:.ZCOE=2ZA,

QZBOD=2ZA,

QNBOD=2ZA,

:./COE=/BOD,

♦;OE=OE,

回△OCE丝△〃＞石.

故答案为：Z\OCEmZ\ODE.

(2)证明：•二△OCE也△OD石，

.\ZCEO=ZDEO=90°,

:.AB上CD.

(3)解：・.・AE:EB=3:1,OA=OB,

OB:EB=2:1,

•.OB=OC=4f

OE=EB=2,

\AB±CD,

,-.CE=742-22=2A/3-

:.CD=4s/3.

22.⑴见解析

(2)713

【分析】（1）利用平行线的性质得到=根据半径相等可得/6©3=/。比），等量代换得到

ZOBD=ZCBD,进而证得结论；

（2）过。点作O"13c于H,根据垂径定理得到BH=CH=2,再证明AODE丝力。“得到DE=OH=3,

然后利用勾股定理计算。8的长即可.

【详解】（1）证明：^\BC//OD,

0/ODB=NCBD,

团OB=OD,

@NODB=/OBD,

©/OBD=/CBD,

团BD平分NABC；

（2）解：过。点作于H,如下图，

田BH=CH==BC=2,

2

©DEJ.AB,OHJ.BC,

⑦/DEO=NOHB=9U0,

通OD〃BC,

国NDOE=NOBH,

在△(无)石和△5。”中，

ZDEO=ZOHB

<ZDOE=ZOBH,

OD=OB

团4DE2△8OH(AAS),

⑦DE=OH=3,

在RtZ^OBH中，OB=yjBH2^OH2=722+32=V13»

即。。的半径长为风.

【点拨】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌

握相关知识，正确作出辅助线是解题关键.

23.⑴见解析

(2)2

【分析】⑴根据垂径定理以及圆周角定理可得病=彘=匕),进而得至UNCBD=NCDB=ZBCE,再根据

等腰三角形的判定可得8G=CG；

(2)利用圆心角、弦、弧之间的关系以及垂径定理证得RtABOM=RtAEOF(HL),可得OM=O尸=1,再结

合三角形中位线定理可得答案.

【详解】(1)证明：回点C为的中点，

E1BC=CD.

又回弦CE人AB,A3是直径，

团BC=BE，

eBC=BE=CD，

团NCBD=NCDB=ZBCE,

团区G=CG；

(2)解：如图，过点。作。MLBD,垂足为反，连接OQ,0E,

⑦BC=BE=CD，

^BC+CD=BC+BE,

即BD=CE，

回BD=CE,

又回OFICE,

SDM=BM=-BD,EF=CF=-CE,

22

贝=

又回。B=OE,

igRtABOM=RtAEOF(HL),

0OM=OF=1,

SOA^OB,

回QAf是△ABO的中