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文档简介

专题08分式方程及其应用(32题)

一、单选题

1.(2024.四川德阳・中考真题)分式方程1=三的解是()

xx+3

33

A.3B.2C.—D.一

24

【答案】D

【分析】本题考查分式方程的解法,掌握分式方程的解法与步骤是解题关键.先去分母化分式方程为整式

方程,求出方程的解后再检验即可.

【解析1±=三,去分母,得x+3=5x,解得x==,当无==时,x(x+3)w0,.•/=:是原方程的角和故

xx+344'/4

选D

2.(2024•甘肃临夏・中考真题)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细

心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元?设每袋粽子

的原价是X元,所得方程正确的是()

“240240-B.史-也=1。

A.——--------=10

xx+2xx-2

型-科-2402400

C.=10D.--------------=10

x-2xx+2x

【答案】C

【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程.根据

降价后用240元可以比降价前多购买10袋,可以列出相应的分式方程.

【解析】由题意可得,4240t-2丝40=10,故选:c.

3.(2024.四川广元.中考真题)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023

年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买42两种绿植,

已知A种绿植单价是8种绿植单价的3倍,用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的8种绿植少50

株.设B种绿植单价是尤元,则可列方程是()

6750s3000「300006750

A.---------50=-------B.--------50--------

3xx3xx

「6750“3000一300006750

C.------+50=-------D.------+50=-------

3xx3xx

【答案】C

【分析】本题主要考查了分式方程的应用,设B种绿植单价是x元,则A种绿植单价是3x元,根据用6750

元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株,列出方程即可.

【解析】设B种绿植单价是x元,则A种绿植单价是3x元,根据题意得:等+50=亚四,故选:C.

3xx

4.(2024.黑龙江绥化.中考真题)一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所

用时间,与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等,则江水的流速为()

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【分析】此题主要考查了分式方程的应用,利用顺水速=静水速+水速,逆水速=静水速-水速,设未知

数列出方程,解方程即可求出答案.

【解析】设江水的流速为Xkm/h,根据题意可得:一匕=--,解得:x=8,经检验:x=8是原方

40+%40-%

程的根,答:江水的流速为8km/h.故选:D.

5.(2024.广东省.中考真题)方程三2=±3的解为()

x-3x

A.x=3B.x=—9C.x=9D.x=—3

【答案】C

【分析】把分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的

解.

【解析】二=9去分母得:2x=3(x-3),去括号得:2x=3x-9,移项、合并同类项得:-工=-9,解得:

x=9,经检验:x=9是原分式方程的解,故选:C.

6.(2024・四川达州•中考真题)甲乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先

加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求

乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工x个零件.可列方程为()

120120”120120”

A.--------——=30B.——=30

1.2xXX1.2%

「120120_30120120_30

C.--------D.

1.2xx60X1.2x60

【答案】D

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用,设乙每小时加工了个零件,则甲每小时加工L2x个零件,

再根据时间=工作总量+工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可.

【解析】设乙每小时加工x个零件,则甲每小时加工1.2x个零件,由题意得匕-学=义,故选:D.

x1.2%60

7.(2024.四川泸州.中考真题)分式方程一1二-3=—7的解是()

x—22-x

75

A.x=—B.x=—\C.x=—D.x=3

33

2

【答案】D

【分析】本题考查解分式方程,根据解分式方程方法和步骤(去分母,去括号,移项,合并同类项,系数

化为1,检验)求解,即可解题.

1219

【解析】-----3=,--------3=—,l-3(x-2]=-2,l-3x+6=-2,-3x=-9,尤=3,经检验

x-22—xx—2x—2

x=3是该方程的解,故选:D.

8.(2024•山东・中考真题)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产

100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为()

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【分析】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.

设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为(x-100),根据“改造后生产600件的

时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程,解方程即可.

【解析】设改造后每天生产的产品件数为龙,则改造前每天生产的产品件数为(x-100),根据题意,得:

眄=上与,解得:》=300,经检验了=300是分式方程的解,且符合题意,答:改造后每天生产的产

xx-100

品件数300.故选:B.

9.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)已知关于x的分式方程---2=--无解,则Z的值为()

x-33—x

A.左=2或左=—1B.k——2C.左=2或左=1D.k——l

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程无解的情况,理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将分式方程去分

母,化为整式方程,再分两种情况分别求解即可.

【解析】去分母得,履-2(》-3)=-3,整理得,(k-2)x=-9,当%=2时,方程无解,当心2时,令x=3,

解得左=—1,所以关于X的分式方程个-2=4无解时,%=2或女=—1.故选:A.

x-33-x

1m

10.(2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如果关于X的分式方程上-/一=0的解是负数,那么实数,"的取值

xX+1

范围是()

A.能<1且相力0B.m<lC./n>1D.m<1且

【答案】A

【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数,解分式方程求出分式方程的解,再根据分式方程的

解是负数得到租-1<0,并结合分式方程的解满足最简公分母不为0,求出加的取值范围即可,熟练掌握

解分式方程的步骤是解题的关键.

【解析】方程两边同时乘以x(x+l)得,x+l-nu=o,解得X=一二,•.•分式方程的解是负数,.•.%一1<0,

m-L

m<1,又•.,x(x+l)wO,.•・%+lwO,.・.—-—。一1,••・加。0,•••加<1且机wO,故选:A.

m-1

11.(2024・四川遂宁•中考真题)分式方程一2七=1TH-'\的解为正数,则加的取值范围()

x-1x-1

A.m>-3B.机>一3且相。一2

C.m<3D.加<3且加。一2

【答案】B

【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解,先解分式方程,求出分式方程的解,再根据分式方程解

的情况解答即可求解,正确求出分式方程的解是解题的关键.

2

【解析】方程两边同时乘以得,2=x-l-m,解得兄=机+3,•・•分式方程三=1-YH3的解为正数,・・.

x-1x-1

m+3>0,/.m>-3,又TXWI,即机+3wl,.・•根W-2,•,・根的取值范围为根〉一3且相。一2,故选:B.

二、填空题

12.(2024・四川宜宾・中考真题)分式方程J-3=0的解为________.

无一1

【答案】无=2

【分析】本题考查的是分式方程的解法,掌握解法步骤是解本题的关键;先去分母,化为整式方程,再解

方程并检验即可.

丫-I-1

【解析】--3=0,.-.x+l-3(x-l)=0,;.-2x=T,解得:x=2,经检验:尤=2是原方程的根,.•.方程

的根为x=2,故答案为:x=2.

13.(2024・四川广元•中考真题)若点。(x,y)满足,+'=则称点0为“美好点”,写出一个“美好点”的

xyxy

坐标.

【答案】(2,T)(答案不唯一)

【分析】此题考查了解分式方程,先将方程两边同时乘以冲后去分母,令x代入一个数值,得到y的值,

以此为点的坐标即可,正确解分式方程是解题的关键

【解析】等式两边都乘以孙,得无+y=l,令x=2,则>=-1,美好点”的坐标为(2,-1),故答案为(2,-1)

(答案不唯一)

2

14.(2024・湖南省•中考真题)分式方程一-=1的解是_____.

X+1

【答案】x=l

4

【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1,把分式方程转化为整式方程2=x+L求解后并检验即可.

【解析】方程的两边同乘x+1,得2=x+L解得x=l.检验:当x=l时,x+l=2R0.所以原方程的解为

X=l.故答案为:x=l.

15.(2024・湖北武汉•中考真题)分式方程」的解是____.

x-3x-1

【答案】x=-3

【分析】本题主要考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键.首先等号两边同时

乘以(x-3乂彳-1)完成去分母,再按照去括号,移项、合并同类项的步骤求解,检验即可获得答案.

【解析】一三==,等号两边同时乘以(》-3)(彳-1),得(x—l)x=(x—3)(x+l),去括号,得

x~3x~l

22

X-X=X-2X-3,移项、合并同类项,得了=-3,经检验,x=-3是该分式方程的解,所以,该分式方

程的解为x=-3.故答案为:x=-3.

16.(2024・四川达州•中考真题)若关于x的方程一二-口=1无解,则上的值为____.

x-2x—2

【答案】-1或2

【分析】本题主要考查了分式方程无解问题,先解分式方程得到X=£,再根据分式方程无解得到左+1=0

k+l

或=2,解关于k的方程即可得到答案.

k+1

4Izjr_163IcX—1

【解析】三一J=1去分母得:3-京+l=x-2,解得:*=三,•.•关于龙的方程二一J=1无

x-2x-2化+1x-2x-2

解,,当%+1=0或工=2时,分式方程无解,解得:k=7或k=2(经检验是原方程的解),即%=-1或

Z+1

7c3kx-l1十左刀4X•依4d|V

k=2,-------=l无斛.故答案为:-1或2.

x-2x-2

17.(2024・北京・中考真题)方程『二+'=0的解为________.

2x+3x

【答案】x=-l

【分析】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键.

先去分母,转化为解一元一次方程,注意要检验是否有增根.

【解析x+2x+3=0,解得:x=-l,经检验:尸一1是原方程的解,所以,原方程的解为x=-l,

2%+3x

故答案为:x=-l.

2

18.(2024•浙江・中考真题)若一-=1,则兀=________

x-1

【答案】3

【分析】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可

得到分式方程的解.

【解析】去分母得:2=x-l,移项合并得:-%=-3,解得:尤=3,经检验,x=3是分式方程的解,故

答案为:3

19.(2024・四川凉山・中考真题)方程三=±的解是_____

x-3x

【答案】x=9

【分析】观察可得最简公分母是x(x-3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.

【解析】方程的两边同乘x(x-3),得3x-9=2x,解得x=9.检验:把x=9代入x(x-3)=54^0.

•••原方程的解为:x=9.故答案为:x=9.

20.(2024・四川成都・中考真题)分式方程一二=?的解是—.

x-2x

【答案】x=3

【解析】试题分析:分式方程去分母转化为整式方程x=3(x-2),求出整式方程的解得到x=3,经检验

x=3是分式方程的解,即可得到分式方程的解.

考点:解分式方程

21.(2024.重庆・中考真题)若关于x的一元一次不等式组3-的解集为xV4,且关于V的分式

4x-2<3尤

方程Y-一三=i的解均为负整数,则所有满足条件的整数。的值之和是______.

y+2y+2

【答案】12

【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数,根据不等式组的解集求参数,先解不等式组中的

两个不等式,再根据不等式组的解集求出。>2;解分式方程得到y再由关于丁的分式方程

V—一々=1的解均为负整数,推出。<10且。片6且a是偶数,贝|2<。<10且。片6且a是偶数,据止匕

y+2y+2

确定符合题意的a的值,最后求和即可.

2%+1<3®

【解析】3"解不等式①得:无<4,解不等式②得:x<a+2,•不等式组的解集为x<4,

4x—2<3x+a(2)

.-.a+2>4,.-.a>2;解分式方程-一%=1得广三3,•.・关于y的分式方程空|一一弋=1的解均

y+2y+22y+2y+2

为负整数,.•・£^<0且£^是整数且y+2=^^+2f0,.•.a<10且。力6且a是偶数,.•.2<。<10且

ar6且a是偶数,.••满足题意的a的值可以为4或8,••.所有满足条件的整数a的值之和是4+8=12.故答

案为:12.

6

22.(2024•黑龙江牡丹江•中考真题)若分式方程上7=3-产的解为正整数,则整数相的值为____.

x-11-x

【答案】-1

【分析】此题考查了分式方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

表示出方程的解,由解是正整数,确定出整数机的值即可.

【解析】一^7=3-3,化简得:+去分母得:尤=3(》-1)+皿,移项合并得:(2+m)x=3,

x-11-xx-1x-1

3

解得:x=--,由方程的解是正整数,得到尤为正整数,即2+m=1或2+加=3,解得:m=-l^m=l(舍

2+m

去,会使得分式无意义).故答案为:-1.

三、解答题

23.(2024.内蒙古包头.中考真题)(1)先化简,再求值:(X+1)2-2(X+1),其中%=2忘.

E-2=上

(2)解方程:

x-4x-4

【答案】(1)M-1,7;(2)x=3

【分析】本题考查了整式的运算,二次根式的运算,解分式方程等知识,解题的关键是:

(1)先利用完全平方公式、去括号法则化简,然后把x的值代入计算即可;

(2)先去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化1,检验,解分式方程即可.

解:(1)(x+1)-2(x+l)

=x2+2尤+1—2尤一2

=%2—1,

当x=2无时,原式=仅0了一1=7;

,、x-2-x

(2)------2=——

x-4尤一4

去分母,得x-2-2(x-4)=x,

解得x=3,

把x=3代入x—4=3—4=-1/0,

.•.x=3是原方程的解.

24.(2024.四川自贡・中考真题)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七

(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所

用的时间相同.求甲,乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用.设乙组每小时包x个粽子,则甲组每小时包(x+20)个粽子,

根据时间等于总工作量除以工作效率,即可得出关于X的分式方程,解之并检验后即可得出结果.

解:设乙组平均每小时包X个粽子,则甲组平均每小时包(x+20)个粽子,

由题意得:

150

—,解得:x=80,

1+20X

经检验:x=80是分式方程的解,且符合题意,

•••分式方程的解为:x=80,

+20=100

答:甲组平均每小时包100个粽子,乙组平均每小时包80个粽子.

.13

25.(2024・广东广州.中考真题)解方程:----

2x-5x

【分析】本题考查的是解分式方程,掌握分式方程的解法是解题关键,注意检验.依次去分母、去括号、

移项、合并同类项求解,检验后即可得到答案.

去分母得:x=3(2x-5),

去括号得:x=6x-15,

移项得:x-6x=-15,

合并同类项得:-5》=-15,

解得:x-3,

经检验,x=3是原方程的解,

该分式方程的解为x=3.

26.(2024•江苏扬州•中考真题)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A、8两种机器,A型机器比8

型机器每天多处理40吨垃圾,A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相

等.8型机器每天处理多少吨垃圾?

【分析】本题考查分式方程的应用,解题的关键是正确找出题中的等量关系,本题属于基础题型.

设8型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾,根据题意列出方程即可求出答案.

解:设B型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处理(彳+40)吨垃圾,

解得x=60.

经检验,x=60是所列方程的解.

答:B型机器每天处理60吨垃圾.

27.(2024•山东威海•中考真题)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16000千瓦•时.后

购进一批相同数量的8型节能灯,一年用电9600千瓦•时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯

每年用电量的2倍少32千瓦•时.求一盏A型节能灯每年的用电量.

【分析】本题考查分式方程的应用,根据题意列方程是关键,并注意检验.根据两种节能灯数量相等列式

分式方程求解即可.

解:设一盏8型节能灯每年的用电量为x千瓦•时,

则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦.时

160009600

2%-32x

整理得5x=3(2x-32)

解得x=96

经检验:x=96是原分式方程的解.

2x—32=160

答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时.

28.(2024・陕西・中考真题)解方程:-2^+*x=1.

x-1x-1

【分析】本题主要考查了解分式方程,先去分母变分式方程为整式方程,然后再解整式方程,最后对方程

的解进行检验即可.

去分母得:2+x(x+l)=%"—1,

去括号得:2+》2+%=彳2-1,

移项,合并同类项得:x=-3,

检验:把x=—3代入(x+l)(x_l)得:(-3+1)(-3-1)=8^0,

x=-3是原方程的解.

29.(2024・广西・中考真题)综合与实践

在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.

【洗衣过程】

步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;

步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达

到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5kg水.

浓度关系式:%=丁上.其中“、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所

加清水量(单位:kg)

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务:

(1汝口果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水?

(2)如果把4kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?

(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.

【分析】本题考查的是分式方程的实际应用,求解代数式的值,理解题意是关键;

(1)把d后=601%,d前=。-2%代入d后=9强,再解方程即可;

0.5+w

(2)分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度,即可得到答案;

(3)根据(1)(2)的结果得出结论即可.

(1)解:把金=0.01%,“前=0.2%代入d=9幺

0.5+w

得0.01%=”逆%,

0.5+w

解得w=9.5.经检验符合题意;

二只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.

(2)解:第一次漂洗:

把w=2kg,代入金=蓝£,

_0.5x02%

=0.04%

0.5+2

第二次漂洗:

把「2kg,『。。4%代入y然,

0.5x0.04%

=0.008%

0.5+2

而0.008%<0.01%,

•••进行两次漂洗,能达到洗衣目标;

(3)解:由(1)(2)的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标,还能大幅度节约用水,

・•・从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法值得推广学习.

30.(2024•重庆・中考真题)某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、

乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克,购

买外墙漆总费用为15000元,已知A种外墙漆每千克的价格比3种外墙漆每千克的价格多2元.

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