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文档简介
专题08分式方程及其应用(32题)
一、单选题
1.(2024.四川德阳・中考真题)分式方程1=三的解是()
xx+3
33
A.3B.2C.—D.一
24
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解法,掌握分式方程的解法与步骤是解题关键.先去分母化分式方程为整式
方程,求出方程的解后再检验即可.
【解析1±=三,去分母,得x+3=5x,解得x==,当无==时,x(x+3)w0,.•/=:是原方程的角和故
xx+344'/4
选D
2.(2024•甘肃临夏・中考真题)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细
心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元?设每袋粽子
的原价是X元,所得方程正确的是()
“240240-B.史-也=1。
A.——--------=10
xx+2xx-2
型-科-2402400
C.=10D.--------------=10
x-2xx+2x
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程.根据
降价后用240元可以比降价前多购买10袋,可以列出相应的分式方程.
【解析】由题意可得,4240t-2丝40=10,故选:c.
3.(2024.四川广元.中考真题)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023
年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买42两种绿植,
已知A种绿植单价是8种绿植单价的3倍,用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的8种绿植少50
株.设B种绿植单价是尤元,则可列方程是()
6750s3000「300006750
A.---------50=-------B.--------50--------
3xx3xx
「6750“3000一300006750
C.------+50=-------D.------+50=-------
3xx3xx
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用,设B种绿植单价是x元,则A种绿植单价是3x元,根据用6750
元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株,列出方程即可.
【解析】设B种绿植单价是x元,则A种绿植单价是3x元,根据题意得:等+50=亚四,故选:C.
3xx
4.(2024.黑龙江绥化.中考真题)一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所
用时间,与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等,则江水的流速为()
A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式方程的应用,利用顺水速=静水速+水速,逆水速=静水速-水速,设未知
数列出方程,解方程即可求出答案.
【解析】设江水的流速为Xkm/h,根据题意可得:一匕=--,解得:x=8,经检验:x=8是原方
40+%40-%
程的根,答:江水的流速为8km/h.故选:D.
5.(2024.广东省.中考真题)方程三2=±3的解为()
x-3x
A.x=3B.x=—9C.x=9D.x=—3
【答案】C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的
解.
【解析】二=9去分母得:2x=3(x-3),去括号得:2x=3x-9,移项、合并同类项得:-工=-9,解得:
x=9,经检验:x=9是原分式方程的解,故选:C.
6.(2024・四川达州•中考真题)甲乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先
加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求
乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工x个零件.可列方程为()
120120”120120”
A.--------——=30B.——=30
1.2xXX1.2%
「120120_30120120_30
C.--------D.
1.2xx60X1.2x60
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用,设乙每小时加工了个零件,则甲每小时加工L2x个零件,
再根据时间=工作总量+工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可.
【解析】设乙每小时加工x个零件,则甲每小时加工1.2x个零件,由题意得匕-学=义,故选:D.
x1.2%60
7.(2024.四川泸州.中考真题)分式方程一1二-3=—7的解是()
x—22-x
75
A.x=—B.x=—\C.x=—D.x=3
33
2
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程,根据解分式方程方法和步骤(去分母,去括号,移项,合并同类项,系数
化为1,检验)求解,即可解题.
1219
【解析】-----3=,--------3=—,l-3(x-2]=-2,l-3x+6=-2,-3x=-9,尤=3,经检验
x-22—xx—2x—2
x=3是该方程的解,故选:D.
8.(2024•山东・中考真题)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产
100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为()
A.200B.300C.400D.500
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为(x-100),根据“改造后生产600件的
时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程,解方程即可.
【解析】设改造后每天生产的产品件数为龙,则改造前每天生产的产品件数为(x-100),根据题意,得:
眄=上与,解得:》=300,经检验了=300是分式方程的解,且符合题意,答:改造后每天生产的产
xx-100
品件数300.故选:B.
9.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)已知关于x的分式方程---2=--无解,则Z的值为()
x-33—x
A.左=2或左=—1B.k——2C.左=2或左=1D.k——l
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况,理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将分式方程去分
母,化为整式方程,再分两种情况分别求解即可.
【解析】去分母得,履-2(》-3)=-3,整理得,(k-2)x=-9,当%=2时,方程无解,当心2时,令x=3,
解得左=—1,所以关于X的分式方程个-2=4无解时,%=2或女=—1.故选:A.
x-33-x
1m
10.(2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如果关于X的分式方程上-/一=0的解是负数,那么实数,"的取值
xX+1
范围是()
A.能<1且相力0B.m<lC./n>1D.m<1且
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数,解分式方程求出分式方程的解,再根据分式方程的
解是负数得到租-1<0,并结合分式方程的解满足最简公分母不为0,求出加的取值范围即可,熟练掌握
解分式方程的步骤是解题的关键.
【解析】方程两边同时乘以x(x+l)得,x+l-nu=o,解得X=一二,•.•分式方程的解是负数,.•.%一1<0,
m-L
m<1,又•.,x(x+l)wO,.•・%+lwO,.・.—-—。一1,••・加。0,•••加<1且机wO,故选:A.
m-1
11.(2024・四川遂宁•中考真题)分式方程一2七=1TH-'\的解为正数,则加的取值范围()
x-1x-1
A.m>-3B.机>一3且相。一2
C.m<3D.加<3且加。一2
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解,先解分式方程,求出分式方程的解,再根据分式方程解
的情况解答即可求解,正确求出分式方程的解是解题的关键.
2
【解析】方程两边同时乘以得,2=x-l-m,解得兄=机+3,•・•分式方程三=1-YH3的解为正数,・・.
x-1x-1
m+3>0,/.m>-3,又TXWI,即机+3wl,.・•根W-2,•,・根的取值范围为根〉一3且相。一2,故选:B.
二、填空题
12.(2024・四川宜宾・中考真题)分式方程J-3=0的解为________.
无一1
【答案】无=2
【分析】本题考查的是分式方程的解法,掌握解法步骤是解本题的关键;先去分母,化为整式方程,再解
方程并检验即可.
丫-I-1
【解析】--3=0,.-.x+l-3(x-l)=0,;.-2x=T,解得:x=2,经检验:尤=2是原方程的根,.•.方程
的根为x=2,故答案为:x=2.
13.(2024・四川广元•中考真题)若点。(x,y)满足,+'=则称点0为“美好点”,写出一个“美好点”的
xyxy
坐标.
【答案】(2,T)(答案不唯一)
【分析】此题考查了解分式方程,先将方程两边同时乘以冲后去分母,令x代入一个数值,得到y的值,
以此为点的坐标即可,正确解分式方程是解题的关键
【解析】等式两边都乘以孙,得无+y=l,令x=2,则>=-1,美好点”的坐标为(2,-1),故答案为(2,-1)
(答案不唯一)
2
14.(2024・湖南省•中考真题)分式方程一-=1的解是_____.
X+1
【答案】x=l
4
【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1,把分式方程转化为整式方程2=x+L求解后并检验即可.
【解析】方程的两边同乘x+1,得2=x+L解得x=l.检验:当x=l时,x+l=2R0.所以原方程的解为
X=l.故答案为:x=l.
15.(2024・湖北武汉•中考真题)分式方程」的解是____.
x-3x-1
【答案】x=-3
【分析】本题主要考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键.首先等号两边同时
乘以(x-3乂彳-1)完成去分母,再按照去括号,移项、合并同类项的步骤求解,检验即可获得答案.
【解析】一三==,等号两边同时乘以(》-3)(彳-1),得(x—l)x=(x—3)(x+l),去括号,得
x~3x~l
22
X-X=X-2X-3,移项、合并同类项,得了=-3,经检验,x=-3是该分式方程的解,所以,该分式方
程的解为x=-3.故答案为:x=-3.
16.(2024・四川达州•中考真题)若关于x的方程一二-口=1无解,则上的值为____.
x-2x—2
【答案】-1或2
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题,先解分式方程得到X=£,再根据分式方程无解得到左+1=0
k+l
或=2,解关于k的方程即可得到答案.
k+1
4Izjr_163IcX—1
【解析】三一J=1去分母得:3-京+l=x-2,解得:*=三,•.•关于龙的方程二一J=1无
x-2x-2化+1x-2x-2
解,,当%+1=0或工=2时,分式方程无解,解得:k=7或k=2(经检验是原方程的解),即%=-1或
Z+1
7c3kx-l1十左刀4X•依4d|V
k=2,-------=l无斛.故答案为:-1或2.
x-2x-2
17.(2024・北京・中考真题)方程『二+'=0的解为________.
2x+3x
【答案】x=-l
【分析】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键.
先去分母,转化为解一元一次方程,注意要检验是否有增根.
【解析x+2x+3=0,解得:x=-l,经检验:尸一1是原方程的解,所以,原方程的解为x=-l,
2%+3x
故答案为:x=-l.
2
18.(2024•浙江・中考真题)若一-=1,则兀=________
x-1
【答案】3
【分析】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解
分式方程一定注意要验根.分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可
得到分式方程的解.
【解析】去分母得:2=x-l,移项合并得:-%=-3,解得:尤=3,经检验,x=3是分式方程的解,故
答案为:3
19.(2024・四川凉山・中考真题)方程三=±的解是_____
x-3x
【答案】x=9
【分析】观察可得最简公分母是x(x-3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解析】方程的两边同乘x(x-3),得3x-9=2x,解得x=9.检验:把x=9代入x(x-3)=54^0.
•••原方程的解为:x=9.故答案为:x=9.
20.(2024・四川成都・中考真题)分式方程一二=?的解是—.
x-2x
【答案】x=3
【解析】试题分析:分式方程去分母转化为整式方程x=3(x-2),求出整式方程的解得到x=3,经检验
x=3是分式方程的解,即可得到分式方程的解.
考点:解分式方程
21.(2024.重庆・中考真题)若关于x的一元一次不等式组3-的解集为xV4,且关于V的分式
4x-2<3尤
方程Y-一三=i的解均为负整数,则所有满足条件的整数。的值之和是______.
y+2y+2
【答案】12
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数,根据不等式组的解集求参数,先解不等式组中的
两个不等式,再根据不等式组的解集求出。>2;解分式方程得到y再由关于丁的分式方程
V—一々=1的解均为负整数,推出。<10且。片6且a是偶数,贝|2<。<10且。片6且a是偶数,据止匕
y+2y+2
确定符合题意的a的值,最后求和即可.
2%+1<3®
【解析】3"解不等式①得:无<4,解不等式②得:x<a+2,•不等式组的解集为x<4,
4x—2<3x+a(2)
.-.a+2>4,.-.a>2;解分式方程-一%=1得广三3,•.・关于y的分式方程空|一一弋=1的解均
y+2y+22y+2y+2
为负整数,.•・£^<0且£^是整数且y+2=^^+2f0,.•.a<10且。力6且a是偶数,.•.2<。<10且
ar6且a是偶数,.••满足题意的a的值可以为4或8,••.所有满足条件的整数a的值之和是4+8=12.故答
案为:12.
6
22.(2024•黑龙江牡丹江•中考真题)若分式方程上7=3-产的解为正整数,则整数相的值为____.
x-11-x
【答案】-1
【分析】此题考查了分式方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
表示出方程的解,由解是正整数,确定出整数机的值即可.
【解析】一^7=3-3,化简得:+去分母得:尤=3(》-1)+皿,移项合并得:(2+m)x=3,
x-11-xx-1x-1
3
解得:x=--,由方程的解是正整数,得到尤为正整数,即2+m=1或2+加=3,解得:m=-l^m=l(舍
2+m
去,会使得分式无意义).故答案为:-1.
三、解答题
23.(2024.内蒙古包头.中考真题)(1)先化简,再求值:(X+1)2-2(X+1),其中%=2忘.
E-2=上
(2)解方程:
x-4x-4
【答案】(1)M-1,7;(2)x=3
【分析】本题考查了整式的运算,二次根式的运算,解分式方程等知识,解题的关键是:
(1)先利用完全平方公式、去括号法则化简,然后把x的值代入计算即可;
(2)先去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化1,检验,解分式方程即可.
解:(1)(x+1)-2(x+l)
=x2+2尤+1—2尤一2
=%2—1,
当x=2无时,原式=仅0了一1=7;
,、x-2-x
(2)------2=——
x-4尤一4
去分母,得x-2-2(x-4)=x,
解得x=3,
把x=3代入x—4=3—4=-1/0,
.•.x=3是原方程的解.
24.(2024.四川自贡・中考真题)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七
(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所
用的时间相同.求甲,乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用.设乙组每小时包x个粽子,则甲组每小时包(x+20)个粽子,
根据时间等于总工作量除以工作效率,即可得出关于X的分式方程,解之并检验后即可得出结果.
解:设乙组平均每小时包X个粽子,则甲组平均每小时包(x+20)个粽子,
由题意得:
150
—,解得:x=80,
1+20X
经检验:x=80是分式方程的解,且符合题意,
•••分式方程的解为:x=80,
+20=100
答:甲组平均每小时包100个粽子,乙组平均每小时包80个粽子.
.13
25.(2024・广东广州.中考真题)解方程:----
2x-5x
【分析】本题考查的是解分式方程,掌握分式方程的解法是解题关键,注意检验.依次去分母、去括号、
移项、合并同类项求解,检验后即可得到答案.
去分母得:x=3(2x-5),
去括号得:x=6x-15,
移项得:x-6x=-15,
合并同类项得:-5》=-15,
解得:x-3,
经检验,x=3是原方程的解,
该分式方程的解为x=3.
26.(2024•江苏扬州•中考真题)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A、8两种机器,A型机器比8
型机器每天多处理40吨垃圾,A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相
等.8型机器每天处理多少吨垃圾?
【分析】本题考查分式方程的应用,解题的关键是正确找出题中的等量关系,本题属于基础题型.
设8型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾,根据题意列出方程即可求出答案.
解:设B型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处理(彳+40)吨垃圾,
解得x=60.
经检验,x=60是所列方程的解.
答:B型机器每天处理60吨垃圾.
27.(2024•山东威海•中考真题)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16000千瓦•时.后
购进一批相同数量的8型节能灯,一年用电9600千瓦•时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯
每年用电量的2倍少32千瓦•时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
【分析】本题考查分式方程的应用,根据题意列方程是关键,并注意检验.根据两种节能灯数量相等列式
分式方程求解即可.
解:设一盏8型节能灯每年的用电量为x千瓦•时,
则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦.时
160009600
2%-32x
整理得5x=3(2x-32)
解得x=96
经检验:x=96是原分式方程的解.
2x—32=160
答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时.
28.(2024・陕西・中考真题)解方程:-2^+*x=1.
x-1x-1
【分析】本题主要考查了解分式方程,先去分母变分式方程为整式方程,然后再解整式方程,最后对方程
的解进行检验即可.
去分母得:2+x(x+l)=%"—1,
去括号得:2+》2+%=彳2-1,
移项,合并同类项得:x=-3,
检验:把x=—3代入(x+l)(x_l)得:(-3+1)(-3-1)=8^0,
x=-3是原方程的解.
29.(2024・广西・中考真题)综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达
到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5kg水.
浓度关系式:%=丁上.其中“、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所
加清水量(单位:kg)
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1汝口果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水?
(2)如果把4kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用,求解代数式的值,理解题意是关键;
(1)把d后=601%,d前=。-2%代入d后=9强,再解方程即可;
0.5+w
(2)分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度,即可得到答案;
(3)根据(1)(2)的结果得出结论即可.
(1)解:把金=0.01%,“前=0.2%代入d=9幺
0.5+w
得0.01%=”逆%,
0.5+w
解得w=9.5.经检验符合题意;
二只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.
(2)解:第一次漂洗:
把w=2kg,代入金=蓝£,
_0.5x02%
=0.04%
0.5+2
第二次漂洗:
把「2kg,『。。4%代入y然,
0.5x0.04%
=0.008%
0.5+2
而0.008%<0.01%,
•••进行两次漂洗,能达到洗衣目标;
(3)解:由(1)(2)的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标,还能大幅度节约用水,
・•・从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法值得推广学习.
30.(2024•重庆・中考真题)某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、
乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克,购
买外墙漆总费用为15000元,已知A种外墙漆每千克的价格比3种外墙漆每千克的价格多2元.
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