2024年中考数学试题分类训练：分式方程及其应用

专题08分式方程及其应用（32题）

一、单选题

1.（2024.四川德阳・中考真题）分式方程1=三的解是（）

xx+3

33

A.3B.2C.—D.一

24

【答案】D

【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键.先去分母化分式方程为整式

方程，求出方程的解后再检验即可.

【解析1±=三，去分母，得x+3=5x,解得x==,当无==时，x（x+3）w0,.•/=:是原方程的角和故

xx+344'/4

选D

2.（2024•甘肃临夏・中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细

心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子

的原价是X元，所得方程正确的是（)

“240240-B.史-也=1。

A.——--------=10

xx+2xx-2

型-科-2402400

C.=10D.--------------=10

x-2xx+2x

【答案】C

【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程.根据

降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程.

【解析】由题意可得，4240t-2丝40=10,故选：c.

3.（2024.四川广元.中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023

年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买42两种绿植，

已知A种绿植单价是8种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的8种绿植少50

株.设B种绿植单价是尤元，则可列方程是（）

6750s3000「300006750

A.---------50=-------B.--------50--------

3xx3xx

「6750“3000一300006750

C.------+50=-------D.------+50=-------

3xx3xx

【答案】C

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据用6750

元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可.

【解析】设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据题意得：等+50=亚四，故选：C.

3xx

4.（2024.黑龙江绥化.中考真题）一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所

用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速，设未知

数列出方程，解方程即可求出答案.

【解析】设江水的流速为Xkm/h,根据题意可得：一匕=--,解得：x=8,经检验：x=8是原方

40+%40-%

程的根，答：江水的流速为8km/h.故选：D.

5.（2024.广东省.中考真题）方程三2=±3的解为（）

x-3x

A.x=3B.x=—9C.x=9D.x=—3

【答案】C

【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的

解.

【解析】二=9去分母得：2x=3（x-3）,去括号得：2x=3x-9,移项、合并同类项得：-工=-9,解得：

x=9,经检验：x=9是原分式方程的解，故选：C.

6.（2024・四川达州•中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先

加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求

乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件.可列方程为（）

120120”120120”

A.--------——=30B.——=30

1.2xXX1.2%

「120120_30120120_30

C.--------D.

1.2xx60X1.2x60

【答案】D

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工了个零件，则甲每小时加工L2x个零件,

再根据时间=工作总量+工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可.

【解析】设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，由题意得匕-学=义，故选：D.

x1.2%60

7.（2024.四川泸州.中考真题）分式方程一1二-3=—7的解是（）

x—22-x

75

A.x=—B.x=—\C.x=—D.x=3

33

2

【答案】D

【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数

化为1,检验）求解，即可解题.

1219

【解析】-----3=,--------3=—,l-3（x-2]=-2,l-3x+6=-2,-3x=-9,尤=3,经检验

x-22—xx—2x—2

x=3是该方程的解，故选：D.

8.（2024•山东・中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产

100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为（x-100）,根据“改造后生产600件的

时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可.

【解析】设改造后每天生产的产品件数为龙，则改造前每天生产的产品件数为（x-100）,根据题意，得：

眄=上与，解得：》=300,经检验了=300是分式方程的解，且符合题意，答：改造后每天生产的产

xx-100

品件数300.故选：B.

9.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）已知关于x的分式方程---2=--无解，则Z的值为（）

x-33—x

A.左=2或左=—1B.k——2C.左=2或左=1D.k——l

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将分式方程去分

母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可.

【解析】去分母得，履-2（》-3）=-3,整理得，（k-2）x=-9,当％=2时，方程无解，当心2时，令x=3,

解得左=—1,所以关于X的分式方程个-2=4无解时，％=2或女=—1.故选：A.

x-33-x

1m

10.（2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如果关于X的分式方程上-/一=0的解是负数，那么实数，"的取值

xX+1

范围是（）

A.能<1且相力0B.m<lC./n>1D.m<1且

【答案】A

【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的

解是负数得到租-1<0,并结合分式方程的解满足最简公分母不为0,求出加的取值范围即可，熟练掌握

解分式方程的步骤是解题的关键.

【解析】方程两边同时乘以x（x+l）得，x+l-nu=o,解得X=一二，•.•分式方程的解是负数，.•.%一1<0,

m-L

m<1,又•.,x（x+l）wO,.•・%+lwO,.・.—-—。一1,••・加。0,•••加<1且机wO,故选：A.

m-1

11.（2024・四川遂宁•中考真题）分式方程一2七=1TH-'\的解为正数，则加的取值范围（）

x-1x-1

A.m>-3B.机>一3且相。一2

C.m<3D.加<3且加。一2

【答案】B

【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解

的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键.

2

【解析】方程两边同时乘以得，2=x-l-m,解得兄=机+3,•・•分式方程三=1-YH3的解为正数，・・.

x-1x-1

m+3>0,/.m>-3,又TXWI,即机+3wl,.・•根W-2,•,・根的取值范围为根〉一3且相。一2,故选：B.

二、填空题

12.（2024・四川宜宾・中考真题）分式方程J-3=0的解为________.

无一1

【答案】无=2

【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解

方程并检验即可.

丫-I-1

【解析】--3=0,.-.x+l-3（x-l）=0,;.-2x=T,解得：x=2,经检验：尤=2是原方程的根，.•.方程

的根为x=2,故答案为：x=2.

13.（2024・四川广元•中考真题）若点。（x,y）满足,+'=则称点0为“美好点”，写出一个“美好点”的

xyxy

坐标.

【答案】（2,T）（答案不唯一）

【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以冲后去分母，令x代入一个数值，得到y的值,

以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键

【解析】等式两边都乘以孙，得无+y=l,令x=2,则>=-1,美好点”的坐标为（2,-1）,故答案为（2,-1）

（答案不唯一）

2

14.（2024・湖南省•中考真题）分式方程一-=1的解是_____.

X+1

【答案】x=l

4

【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1,把分式方程转化为整式方程2=x+L求解后并检验即可.

【解析】方程的两边同乘x+1,得2=x+L解得x=l.检验：当x=l时，x+l=2R0.所以原方程的解为

X=l.故答案为：x=l.

15.（2024・湖北武汉•中考真题）分式方程」的解是____.

x-3x-1

【答案】x=-3

【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键.首先等号两边同时

乘以（x-3乂彳-1）完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案.

【解析】一三==，等号两边同时乘以（》-3）（彳-1）,得（x—l）x=（x—3）（x+l）,去括号，得

x~3x~l

22

X-X=X-2X-3,移项、合并同类项，得了=-3,经检验，x=-3是该分式方程的解，所以，该分式方

程的解为x=-3.故答案为：x=-3.

16.（2024・四川达州•中考真题）若关于x的方程一二-口=1无解，则上的值为____.

x-2x—2

【答案】-1或2

【分析】本题主要考查了分式方程无解问题,先解分式方程得到X=£,再根据分式方程无解得到左+1=0

k+l

或=2,解关于k的方程即可得到答案.

k+1

4Izjr_163IcX—1

【解析】三一J=1去分母得：3-京+l=x-2,解得：*=三，•.•关于龙的方程二一J=1无

x-2x-2化+1x-2x-2

解，，当％+1=0或工=2时，分式方程无解，解得：k=7或k=2（经检验是原方程的解），即％=-1或

Z+1

7c3kx-l1十左刀4X•依4d|V

k=2,-------=l无斛.故答案为：-1或2.

x-2x-2

17.（2024・北京・中考真题）方程『二+'=0的解为________.

2x+3x

【答案】x=-l

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键.

先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根.

【解析x+2x+3=0,解得：x=-l,经检验：尸一1是原方程的解,所以，原方程的解为x=-l,

2%+3x

故答案为：x=-l.

2

18.（2024•浙江・中考真题）若一-=1,则兀=________

x-1

【答案】3

【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解析】去分母得：2=x-l,移项合并得：-％=-3,解得：尤=3,经检验，x=3是分式方程的解，故

答案为：3

19.(2024・四川凉山・中考真题)方程三=±的解是_____

x-3x

【答案】x=9

【分析】观察可得最简公分母是x(x-3),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.

【解析】方程的两边同乘x(x-3),得3x-9=2x,解得x=9.检验：把x=9代入x(x-3)=54^0.

•••原方程的解为：x=9.故答案为：x=9.

20.(2024・四川成都・中考真题)分式方程一二=?的解是—.

x-2x

【答案】x=3

【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3(x-2),求出整式方程的解得到x=3,经检验

x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解.

考点：解分式方程

21.(2024.重庆・中考真题)若关于x的一元一次不等式组3-的解集为xV4,且关于V的分式

4x-2<3尤

方程Y-一三=i的解均为负整数，则所有满足条件的整数。的值之和是______.

y+2y+2

【答案】12

【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的

两个不等式，再根据不等式组的解集求出。>2；解分式方程得到y再由关于丁的分式方程

V—一々=1的解均为负整数，推出。<10且。片6且a是偶数，贝|2<。<10且。片6且a是偶数，据止匕

y+2y+2

确定符合题意的a的值，最后求和即可.

2%+1<3®

【解析】3"解不等式①得：无<4,解不等式②得：x<a+2,•不等式组的解集为x<4,

4x—2<3x+a(2)

.-.a+2>4,.-.a>2；解分式方程-一%=1得广三3，•.・关于y的分式方程空|一一弋=1的解均

y+2y+22y+2y+2

为负整数，.•・£^<0且£^是整数且y+2=^^+2f0,.•.a<10且。力6且a是偶数，.•.2<。<10且

ar6且a是偶数，.••满足题意的a的值可以为4或8,••.所有满足条件的整数a的值之和是4+8=12.故答

案为：12.

6

22.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）若分式方程上7=3-产的解为正整数，则整数相的值为____.

x-11-x

【答案】-1

【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数机的值即可.

【解析】一^7=3-3，化简得：+去分母得：尤=3（》-1）+皿，移项合并得：（2+m）x=3,

x-11-xx-1x-1

3

解得：x=--,由方程的解是正整数，得到尤为正整数，即2+m=1或2+加=3,解得：m=-l^m=l（舍

2+m

去，会使得分式无意义）.故答案为：-1.

三、解答题

23.（2024.内蒙古包头.中考真题）（1）先化简，再求值：（X+1）2-2（X+1）,其中％=2忘.

E-2=上

（2）解方程:

x-4x-4

【答案】（1）M-1,7；（2）x=3

【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是:

（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；

（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1,检验，解分式方程即可.

解：（1）（x+1）-2（x+l）

=x2+2尤+1—2尤一2

=%2—1,

当x=2无时，原式=仅0了一1=7；

,、x-2-x

（2）------2=——

x-4尤一4

去分母，得x-2-2（x-4）=x,

解得x=3,

把x=3代入x—4=3—4=-1/0,

.•.x=3是原方程的解.

24.（2024.四川自贡・中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七

（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所

用的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用.设乙组每小时包x个粽子，则甲组每小时包（x+20）个粽子,

根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于X的分式方程，解之并检验后即可得出结果.

解：设乙组平均每小时包X个粽子，则甲组平均每小时包（x+20）个粽子,

由题意得:

150

—,解得:x=80,

1+20X

经检验：x=80是分式方程的解，且符合题意,

•••分式方程的解为：x=80,

+20=100

答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子.

.13

25.（2024・广东广州.中考真题）解方程：----

2x-5x

【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验.依次去分母、去括号、

移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案.

去分母得：x=3（2x-5）,

去括号得：x=6x-15,

移项得：x-6x=-15,

合并同类项得：-5》=-15,

解得：x-3,

经检验，x=3是原方程的解,

该分式方程的解为x=3.

26.（2024•江苏扬州•中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、8两种机器，A型机器比8

型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相

等.8型机器每天处理多少吨垃圾？

【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型.

设8型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案.

解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（彳+40）吨垃圾，

解得x=60.

经检验，x=60是所列方程的解.

答：B型机器每天处理60吨垃圾.

27.(2024•山东威海•中考真题)某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时.后

购进一批相同数量的8型节能灯，一年用电9600千瓦•时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯

每年用电量的2倍少32千瓦•时.求一盏A型节能灯每年的用电量.

【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验.根据两种节能灯数量相等列式

分式方程求解即可.

解：设一盏8型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，

则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦.时

160009600

2%-32x

整理得5x=3(2x-32)

解得x=96

经检验：x=96是原分式方程的解.

2x—32=160

答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时.

28.(2024・陕西・中考真题)解方程：-2^+*x=1.

x-1x-1

【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程

的解进行检验即可.

去分母得：2+x(x+l)=%"—1,

去括号得：2+》2+%=彳2-1,

移项，合并同类项得：x=-3,

检验：把x=—3代入(x+l)(x_l)得：(-3+1)(-3-1)=8^0,

x=-3是原方程的解.

29.(2024・广西・中考真题)综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达

到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水.

浓度关系式：%=丁上.其中“、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所

加清水量（单位：kg）

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1汝口果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键;

（1）把d后=601%,d前=。-2%代入d后=9强，再解方程即可；

0.5+w

（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；

（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可.

（1）解：把金=0.01%,“前=0.2%代入d=9幺

0.5+w

得0.01%=”逆%,

0.5+w

解得w=9.5.经检验符合题意；

二只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.

（2）解：第一次漂洗:

把w=2kg，代入金=蓝£,

_0.5x02%

=0.04%

0.5+2

第二次漂洗:

把「2kg,『。。4%代入y然,

0.5x0.04%

=0.008%

0.5+2

而0.008%<0.01%,

•••进行两次漂洗，能达到洗衣目标；

（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，

・•・从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.

30.（2024•重庆・中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、

乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购

买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比3种外墙漆每千克的价格多2元.