2025年高考数学一轮复习：数列求和的常用方法-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-数列求和的常用方法-专项训练

一、基本技能练

1.已知数列｛a*｝满足或+i—a”=2(〃CN*),ai=-5,则|ai|+|a2H--卜隧|=()

A.9B.15

C.18D.30

2.在数列｛。〃｝中，<71=3,am+n=ClmJ^an(jn,〃GN'),若。1+。2+。3+…+四=135,

则左等于()

A.10B.9

C.8D.7

3.数列｛丽｝满足包+1+(—1)3=2〃一1,则｛如｝的前60项和为()

A.3690B.3660

C.1845D.1830

4.在等差数列｛a”｝中,03+05=04+7,mo=19,则数歹(]｛。〃85〃兀｝(〃e川)的前2023

项和为()

A.lOilB.1010

C.-2023D.-2022

5.已知函数人x)=y的图象过点(4,2),令工=/(“+1J+/(〃)("©N*),记数列

｛斯｝的前7项和为S,则S2023等于()

A.y/2023+1B々2024—1

C.、2023-1D.y/2024+1

6.(多选)已知等差数列｛z｝的前〃项和为的，公差d=l.若m+3a5=S7,则下列结

论一定正确的是()

A.<25=1B.S，最小时n=3

C.S1=S6D.S〃存在最大值

1]]]________1________=

7方十2+4十2+4+6十2+4+6+8^h2+4+6H------F2022一---------

-n筝的值为

8.数列｛aa｝满足ai+2a2+3a3H-----1nan=2,则"j+

9.设各项均为正数的等差数列｛为｝首项为1,前”项的和为S,且S〃=~~4

(〃GN*),设耳=2"s,则数列｛瓦｝的前〃项和4=.

10.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子

数列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在实际生活

中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐

波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列｛劣｝满足:

<21=02=1>tZn+2=<7n+1+N*),贝！J1+03+05+07+。9H023是斐波那契

数列｛丽｝中的第项.

11.已知等差数列｛板｝的前〃项和为Sn,且S4=S5=—20.

(1)求数列｛板｝的通项公式；

(2)已知数列｛况｝是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列｛板｝与｛况｝的公共项

为am,记m由小到大构成数列｛cQ,求｛扇｝的前n项和Tn.

12.已知各项均为正数的等差数列｛劣｝满足ai=l,晶+1=忌+2(即+i+aQ.

(1)求｛厮｝的通项公式；

(2)记bn=-I—I,求数列｛d｝的前〃项和Sn.

弋。"十

二,创新拓展练

n

13.已知数列｛或｝满足<71+2(72+4(73H-\-2n~1an=2>将数列｛或｝按如下方式排列

成新数歹U：<71,02,。2,<22,。3,。3,。3,。3,。3,…，

则新数列的前70项和为.

14.函数y=[x]称为高斯函数，国表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[1g99]

=1.已知数列｛如｝满足磁=3,Man=n(an+i—an),若b”=[lgM，则数列｛瓦｝的前

2023项和为.

15.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的和,

构造一个新的数列.现对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次得

到数列1,7,6,11,5,依次类推，第〃次得到数列1,羽，…，5.记第

n次得到的数列的各项之和为Sn,则｛S,｝的通项公式Sn=.

99

16.在①&=2。”+1—3,<22=4,②2s"+i—3S”=3,。2=不③点(斯，S»(〃GN*)在直

线3x—y—3=0上这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

已知数列｛z｝的前〃项和为S,.

(1)求｛m｝的通项公式；

YI

(2)若bn=~,求｛瓦｝的前〃项和Tn.

参考答案与解析

一'基本技能练

1.答案C

解析•Cln+1—。〃=2,Q1=-5,

・•・数列｛期｝是公差为2的等差数列，

an——5+2(〃-1)=2〃-7,

72(—5+2〃—7)

数列｛〃〃｝的前〃项和Sn=2=〃2—6〃(〃£N*).

一7

令诙=2〃一720,解得

・・〃W3时，|斯|=一

时，

则|〃1|+|〃21H----\~\ae\

=—ai—。2—。3+。4+。5+。6

=Ss-2s3

=62—6X6—2X(32—6X3)=18.

2.答案B

解析令m=1,由Clm+n=dm~\~Cln可得斯+1

=

所以Cln+1—Un39

所以｛z｝是首项为0=3,公差为3的等差数列，

斯=3+3(〃—l)=3n,

匕)k(QI+以)k(3+3左)

所以3H----\-ak-2=2=135,

整理可得3+Z—90=0,

解得左=9或%=—10(舍去).

3.答案D

解析因为〃用+(—l)〃z=2〃-1,

故有。2—。1=1,。3+。2=3,04—03=5,〃5+。4=7,Q6—。5=9,。7+。6=11,…，

。50—049=97.

从而可得。3+。1=2,。4+。2=8,45+47=2,。8+。6=24,〃9+。11=2,〃12+〃10

=40,03+415=2,〃16+〃14=56,…

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始，依次取2

个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列.

所以｛期｝的前60项和为15X2+[15X8+至/X16)=1830.

4.答案C

解析由题意得Q3+。5=2〃4=Q4+7,解得Q4=7,

北〜八垩7Qi。一〃419-7

所以公差d=]0-4=-6-=2，

则。1=。4-3d=7-3><2=1,

所以an=2n—l,

设bn=ClnCOSfTJl,

则Z71+/?2=6Z1COS兀+02COS2兀=—〃1+。2=2,

~3+~4=a3COS37l+〃4COS4兀=—〃3+〃4=2,.......,

・•.数歹U｛〃〃cos〃7i｝(〃£N*)的前2023项和S2023=(61+62)+(63+64)+…+(历021+

bl022)+岳023

=2X1011-4045=~2023.

5.答案B

解析函数兀的图象过点(4,2),

贝I4"=2,解得贝正，

_________1___________1

a>,f(〃+i)+/q〃+1+5,

则S2023=(理—1)+(4—地)H-----F«2023r2022)+32024r2023)=

y)2024-1.

6.答案AC

7X6

解析由已知得ai+3(ai+4Xl)=7ai+—]—X1,

解得ai=-3.

对于选项A,«5=—3+4X1=1,故A正确.

=

对于选项B,an—3+冏―1=n—4,

因为<71=—3<0,<72=—2<0,4/3=—1<0,<74=0,<75=1>0>

所以的的最小值为S3或S4,故B错误.

对于选项C,Sb—51=42+。3+。4+。5+。6=5。4,

又因为<24=0,

所以S6—S1=O,即S1=S6,故C正确.

n(n-1)“2一7”

对于选项D,因为的=—3〃+—2—二—^，所以凡无最大值，故D错误.

7.口木I。]2

解析根据等差数列的前〃项和公式，

可得2+4+6H-----\-2n=~~~^~~~=ri(n-\-1),

用11

因为冏(〃+1)~nn+V

所以』+——++----------I1------------------

m*2十2+42+4+62+4+6+82+4+6HP2022

7

8.答案而

解析对于。1+2〃2+3〃3+…

当时，。1+2。2+3。3+…+（〃-1）斯—1=2"I

两式相减得〃诙=2L1,

2〃一］

则外=孔，〃三2,又=21=2不符合上式，

2,n—1,

则为=<2"—1

K心2,

si/r>ngJ-0*或+1=2k_2*_j_1_1_1~■）

当时'小一（左+1）人.22亡24（左+1）—2”左+什

.axaiaia3Q9〃10

••丁十丰十

41

-X

2

9.答案（2〃一3）2"1+6（〃eN*）

解析由题意48=（斯+1）2,①

4Sn+1=（斯+1+1>，②

两式相减得4〃九+1=（Q〃+1+1）2—（an~\~1）2,

即（Z+1—an-2）（。〃+1+an）=0,

・。〃>0,••斯+i+o〃W0,cin+i—。〃=2,

・•・｛〃〃｝是公差为2的等差数列，

•/6/1=1,

・・Cln=41+（H—1）d=2〃—1,bn=2rleIn=（2〃-1）2".

由错位相减法可求得4=（2〃一3）2〃+i+6（〃£N*）.

10.答案2024

角星析依题意，得1+〃3+〃5+。7+〃9+…+〃2023=〃2+03+〃5+。7+〃9+…+。2023

=。4+。5+。7+。9+・一+。2023=。6+。7+。9+・・・+。2023=・・・=〃2022+。2023=4/2024.

n.解（1）设等差数列｛斯｝的公差为"，

由5*4=5*5=—20,

得4ai+6d=5ai+10d=-20,

解得ai=—8,d=2,

则外=—8+2(〃一1)=2〃一10(〃©N*).

(2)数列｛儿｝是以4为首项，4为公比的等比数歹

氏=4-4"-i=4"(〃GN*).

又依题意2机—10=4",

10+4",,

.,.m=2=5+2"I

2(1—4")_,22n+1—2

则4=5-=5n~\~g.

1-4

12.解（1）各项均为正数的等差数列｛丽｝满足。1=1,晶+1=晶+2（即+1+访0,

整理得（。〃+1+。”）（呢+1—an）=2（tZw+l+an）,

由于aa+i+a.WO,

所以ctn+i—a”=2,

故数列｛所｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以an=2n—l.

11、2n+1—\l2n-1

（2）由⑴可得bn=

Cln+1\)2n—1+^2n+12

所以S*X(#T+小―仍H----”2〃+l—jn—l)=^2n+l-1).

二,创新拓展练

47

13.答案而

[=9

解析由。1+2〃2+4〃3+…+2"an2①

n2

得QI+2〃2+4Q3H------\-2~an-i

n—1

=­(H^2),②

①一②得2"1a«=2＞即。1=吩(〃三2),

又ai=T，即

由1+3+5H-----P(2〃-1)=/=64,

得〃=8.

令s=；+奈+^—

两式相减得;S=^+2X/+2X/H---F2X^8—^=1+-

所以新数列的前70项和为公749+热6=而47

14.答案4962

解析因为如=〃(。〃+1—Cln)9

所以(1+n)cin="02+1,

Cln+\Un

n~\~1n

所以智为常数数列,

所以an=n,

记｛瓦｝的前"项和为Tn,

当1W〃W9时，O^lgan<l,bn=0;

当10W〃W99时，lWlgz<2,bn=l；

当100W〃乏999时，2Wlga”<3,瓦=2；

当1000W〃W2023时，3Wlga“<4,从=3；

所以72023=[1gai]+[lg<22]4--k[lgai023]

=9X0+90X1+900X2+1024X3

=4962.

15.答案3+3n+l

解析由题意可知，第九次得到数列1,XI,X2,X3,…，5.

第1次得到数列1,6,5,

第2次得到数列1,7,6,11,5,

第3次得到数列1,8,7,13,6,17,11,16,5,

第4次得到数列1,9,8,15,7,20,13,19,6,23,17,28,11,27,16,

21,5.

第九次得到数列1,XI,X2,X3,…，5,

所以Si=6+6=6+2X31

12

52=6+6+18=6+2X3+2X3,

53=6+6+18+54=6+2X31+2X32+2X3\

1234

54=6+6+18+54+162=6+2X3+2X3+2X3+2X3,

即S„=6+2(3x+324----43")

2X3(1—3")

=64=3+3"+L

1-3

16.解(1)方案一选条件①.

•Sn=2,Cln+l—3)

・•.当“三2时，Sn-l=2an-3,

_3

两式相减，整理得〃(九三2).

.._9

・02—4，

■___3_3

・・Q1=S1=2〃2—3=5，

等=|(〃GN*),

・•.数列｛词是以3豺首项，力3公比的等比数列,

方案二选条件②.

'：2Sn+l-3Sn=3,

.•.当〃三2时，2Sn-3Sn-l=3,

一3

两式相减，整理得（〃三2）.

・・9

V2（ai+