2025高考数学大一轮复习讲义-空间向量的概念与运算

§7.6空间向量的概念与运算

【课标要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其

坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直3理解直线的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

-落实主干知识

佚口识梳理】

1,空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有________和________的量

相等向量方向________且模________的向量

相反向量长度________而方向________的向量

共线向量表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_______或_________的

(或平行向量)向量

共面向量平行于________________的向量

2.空间向量的有关定理

⑴共线向量定理：对任意两个空间向量a,5SN0),a//b的充要条件是存在实数力，使

(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存

在________的有序实数对(x,J)，使p=.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(X,y,

z)，使得p=.{a,b,c}叫做空间的一基底.

3.空间向量的数量积及运算律

⑴数量积

非零向量。，6的数量积

ab=.

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设a=3,。2,%)，》=01,bi,左).

向量表示坐标表示

数量积a-b

a=Xb

共线

3WO，止R)

ab=0

垂直

(aWO,bWO)

模\a\

C0S储，彷=箭

夹角余

cos(a,b)=______________

弦值(〃WO,bWO)

4.空间位置关系的向量表示

⑴直线的方向向量：如果表示非零向量«的有向线段所在的直线与直线/平行或重合，那么

称此向量a为直线I的方向向量.

⑵平面的法向量：直线,取直线/的方向向量a,则称向量«为平面a的法向量.

⑶空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线,，2的方向向量分别为“1,/1〃/2

“2/1±/2n\,Ln2^nvn2=0

直线/的方向向量为〃，平面a的l//an.Lm^nm-0

法向量为m,ICal.Lan//m^n-£R)

a//pn//m^n-£R)

平面a,/3的法向量分别为n,m

a.L/3n-Lm^nm-0

【常用结论】

1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线㈡位=x5h+y沆（其中尤+y=1）,。为平面内任

意一点.

2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面㈡=+y初+z5b（其中x+y+z=l）,

0为空间中任意一点.

【自主诊断】

1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（1）空间中任意两个非零向量“，》共面.（）

（2）空间中模相等的两个向量方向相同或相反.（）

（3）若A,B,C,。是空间中任意四点，则有矗+/+历+而=0.（）

（4）若直线a的方向向量和平面a的法向量平行，则a〃a.（）

2.（选择性必修第一册P12T3改编）如图，在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，AC与BD的

交点为点M,设前=a,Ab="石7=c,则下列向量中与稔相等的向量是（）

A.-呼+m+cB.]〃+的+c

1111,

C.---cD.-2^-2^+c

3.（选择性必修第一册P30例3改编）如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiD,中，棱长为a,

分别为AI和AC上的点，4M=AN=与，则与平面881cle的位置关系是（）

A.相交

C.垂直D.不能确定

4.设直线Zi,Z2的方向向量分别为。=(-2,2,1)，方=(3,-2,㈤，若,则m.

-探究核心题型

题型一空间向量的线性运算

例1⑴(2023•淮安模拟)设x,y是实数,已知三点4(1,5,-2),8(2,4,1),C(无,3,j+2)在同一

条直线上，那么尤+y等于()

A.2B.3C.4D.5

⑵(2023・淮安模拟)在正四面体ABCD中，尸是AC的中点，E是。F的中点，若函=a,DB=

方，皮=。，则前等于()

A.-^a-b+^c

〃1,1

C.^a+力+型

跟踪训练1(1)已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),万二;x-2〃，则x等于()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

(2)如图，在长方体ABC。-AiBiGDi中，。为AC的中点.

①化简Aib-^AB-^AD=

②用赢,AD,筋i表示出,则而=.

题型二空间向量基本定理及其应用

例2(1)下列命题正确的是()

A.若。与匕共线，8与c共线，则a与c共线

B.向量a,A,c共面，即它们所在的直线共面

C.若空间向量a,b,c不共面，则a,方，c都不为0

D.若a,8,c共面，则存在唯一的实数对(x,j)，使得a=xb+yc

(2)(多选)下列说法中正确的是()

A.|a|-\b\=|a+臼是a,b共线的充要条件

B.若赢,无共线,贝！

C.A,B,C三点不共线，对空间任意一点。，若赤=^OA++|(?C,P,A,B,C

四点共面

D.若P,A,8,C为空间四点，且有说=4油+〃无(通,正不共线)，则义+〃=1是A,8,

C三点共线的充要条件

思维升华应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较

三点(P,A,2)共线空间四点(M,P,A,8)共面

Pk=XRBMP=xMA+yMB

对空间任一点0,0P=0A+tAB对空间任一点0,0P=0M+xMA+yMB

对空间任一点O,OP^xOM+yOA+(l-x

对空间任一点。，OP=xdA+(l-x)OB

~y)OB

跟踪训练2⑴已知空间中A,B,C,D四点共面，目其中任意三点均不共线，设P为空间中

任意一点，若说）=6丽-4通则九等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

⑵（2024.金华模拟）已知正方体ABC。-AiBiCiDi的棱长为1,且满足m=xZ%+/比+（1-x

-y）万万，则的最小值是（）

A.|B当D.|

题型三空间向量数量积及其应用

例3如图，已知平行六面体ABCD-AiSGA中，底面ABCD是边长为1的正方形，A4i=2,

ZAiAB=ZAiAZ)=120°.

3

B

⑴求线段AC的长；

（2）求异面直线AG与4。所成角的余弦值；

⑶求证：AAi±BD.

跟踪训练3（1）（2023•益阳模拟）在正三棱锥尸-ABC中，。是△ABC的中心，PA=AB=2,则

用.说等于（）

•5n近„4^2r8

A.gB.C.D.1

⑵已知点P为棱长等于1的正方体-4B1GO1内部一动点，且|的=1,则后•丽的

值达到最小时，历与两夹角的余弦值为.

题型四向量法证明平行、垂直

例4如图所示，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，=A。=1,E为CD的中点.

⑴求证：BiELADi；

(2)在棱AAi上是否存在一点尸，使得。尸〃平面BiAE?若存在，求AP的长；若不存在，说

明理由.

跟踪训练4如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC

=2AB,AC=^AB,PBLAC.

⑴求证：平面ABCD；

(2)设。为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过8,。两点的截面，且AC〃平面BEQF,是否

存在点。，使得平面BEQF，平面PAD?若存在，求明的值；若不存在，说明理由.

§7.6空间向量的概念与运算答案

落实主干知识

知识梳理

1.大小方向相同相等相等

相反平行重合同一个平面

2.(l)a=Ab(2)唯一xa+yb

(3)x〃+yb+zc

3.(l)|a||ft|cos(a,b)(2)a\b\+a2b2+a3b3=协,a?=入b?,〃3=孙

a\b\+a2b2+a3b3-07次+冼+星

a\b\+a2b2+a3b3

y曷+星+亦J贵+屋+孱

自主诊断

1.(1)V(2)X(3)V(4)X

2.C3.B4.10

探究核心题型

例1(1)D[由已知可得赢=(1,—1,3),

AC=(x—1,—2,y+4).

因为A,B,。三点共线，所以存在唯一的实数九

使得n=通，

%—1=2,

所以2=一九

j+4=3九

，=2,

解得卜=3,

J=2,

所以x+y=5.]

⑵A[根据题意可得

—►1—»•—►1

DF—^DA+£)Q=2(«+c),

—►1—*■1

OE=]DF=a(a+c),

->■->■~>■~>■-*■111

所以BE=BD+DE=—DB+DE=—b+~^a+c)=~^a—b+~^c.]

跟踪训练1(1)B

(2)®XA®|AB+^AZ)+AAT

例2⑴C(2)CD

跟踪训练2(1)B(2)C

例3⑴解设施=〃，M)=b,~AAI=C9

则⑷=|例=1,\c\=2,ab=O,

cs=c0=2义1Xcos120°=-l.

因为AG=AB+AD+AAi=a+b+c,所以|AG|=|a+)+c|

=\(a+1+c)2

—1«|2+|^|2+k|2+lab+2bc+2ac

=\j1+1+4+0—2—2=y[2,

所以线段AG的长为也.

(2)解因为ACi=a+b+c,

A\D=b—c,

所以ACi'A[D=(a~\~b~\~cy(b—c)

=ab—ac+b2—c2

=0+1+1—4=-2,

而a=i方一d=、s一以

=、/|臼2+匕|2—2"c

=11+4+2=市,

设异面直线AG与所成的角为9,

|而|一2|

则cos8=|cos(ACi,A\D)|=

\ACi\\Ad)\/又#7

即异面直线ACi与MD所成角的余弦值为华.

(3)证明由①知AAi=c,BD=b—a,

所以AAi/口二阳方一a)=c0一cu=-1+1=0,

即时_L由)，所以A4i_L2D

跟踪训练3(1)D(2)0

例4⑴证明以A为原点，AB,AD,工前的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图

所示的空间直角坐标系.设

Z

则A(0,0,0),0(0,1,0),01(0,1,1),限1,0),Bi(a,o,l).

..—►—►(a、

故ADi=(0,l』)，2班=(一5，1,-1J.

因为靛•而=—gxo+ixi+(—1)X1=O,

所以瓦互_1启，即B1E_L4£>1.

(2)解存在满足要求的点P.

假设在棱A4i上存在一点P(0,0,zo),

使得。尸〃平面BiAE,此时加=(0,-1,zo),

设平面B1AE的法向量为"=(x,y,z).

福=3,0,1),AE=|j,1,0

ctx~\~z~~0j

n-ABi=0,

则，_即《ax

5+y=0,

ji-AE=G,

取x=l,则y=_g,z=-a,

故”=(1,一/一a).

要使。尸〃平面&AE,只需“，而

则?一azo=O,解得zo=],

所以存在点P,满足。尸〃平面5AE,

此时AP=；.

跟踪训练4⑴证明在AABC中，

因为BC=