数学-互动课堂反证法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反命题为假,或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q,即从原题的反命题“既p又q”入手，由p与q合乎逻辑地推出一个矛盾结果;根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定反命题“既p又q”为假;从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真.由此肯定命题“若p则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的。由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而肯定命题的结论.2。用反证法证明命题“若p则q”，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下.否定结论q导致逻辑矛盾“既p又q"为假“若p则q”为真。应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤：第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；第二步:作出与命题结论q相矛盾的假定q;第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q不真,于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真。第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.3。使用反证法证明问题时，准确地做出反设（即否定结论),是正确运用反证法的前提,现将常见的“结论词与反设词”列表如下：原结论词等于（=）大于（＞）小于(＜）对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或qp且q反设词不等于(≠）不大于（≤)不小于（≥）存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个至多n—1个至少n+1个┐p且┐q┐p或┐q案例用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证:是无理数。【探究】可设为有理数,利用实数运算法则得出矛盾.证明:假设为有理数，则（）（）=a—b.由a＞0,b＞0得＞0.∴=。∴a、b为有理数，且为有理数，∴为有理数，即为有理数，∴（）+()为有理数,即为有理数，从而也应为有理数，这与已知为无理数矛盾.∴一定为无理数.【规律总结】1。本例推出的是与已知矛盾，反证法导出结果的几种情况:(1）导出p为真,即与原命题的条件矛盾。（2)导出q为真，即与假设“q为真"矛盾。(3）导出一个恒假命题,即与定义、公理、定理矛盾。(4）导出自相矛盾的命题.2。当结论的反面仅有一个时，假设这个结论的反面为真，经过合理的论证，否定这个假设，从而证得结论成立,这种反证法称为归谬法.活学巧用1.a、b是平面内的两条直线，求证：它们最多有一个交点.证明：假设直线a、b至少有两个交点A和B,则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线"相矛盾,所以平面内的两条直线最多有一个交点。2。设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x）≠0，且f（x+y)=f（x）·f(y）成立。求证:对定义域内任意x都有f(x)＞0。证明:设满足题设条件的任意x,f（x)＞0不成立，即存在某个x0，有f（x0)≤0，∵f(x）≠0,∴f（x0)＜0。.又知f(x0）=f(）=f（）·f(）=f2（）＞0。这与假设f(x0）＜0矛盾,假设不成立。故对任意的x都有f（x)＞0.3.如果一条直线与一个平面平行，那么过这平面内一点而与这条直线平行的直线必在这个平面内。证明:如图所示，如果直线b不在平面α内,则直线b不在平面α有一个公共点A.过平行直线a和b作平面β，则平面α、β有过A点的一条直线,设为b′，在平面β内直线b与交线b′相交于A点。因为直线a∥b，所以交线b′也与直线a相交于A，即直线a与平面α相交，这是不可能的.故过A点而平行于直线a的直线b必在平面α上。4。已知a≠0，证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=.如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根，即ax1=b①ax2=b②①-②得a(x1-x2)=0因为x1≠x2，所以x1—x2≠0,所以应有a=0,这与已知矛盾,故假设错误。所以，为a≠0时，方程ax-b有且只有一个根.5.已知a、b、c∈(0,1)，求证：（1—a）b、（1—b)c、（1-c)a不能同时大于.证明一:假设三式同时大于，即（1-a)b＞,（1—b）c＞,（1-c）a＞，三式相乘，得：（1-a)a·（1—b)b·(1-c）c＞.又（1—a)a≤（）2=.同理,(1—b）b≤,（1—c)c≤.以上三式相乘得（1-a)a（1—b）b(1—c)c≤，这与(1—a）a(1-b)b（1—c）c＞矛盾，故结论得证.证明二：假设三式同时大于。∵0＜a＜1,∴1—a＞0.同理，.三式相加得,矛盾,∴原命题成立.6.如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.已知：aα,bα,a∥b,如图。证明:假设直线a与平面α不平行.∴aα，∴a∩α=A.下面只要证明a∩α=A不可能即可。