黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊校2025届高二上数学期末经典模拟试题含解析

黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊校2025届高二上数学期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为、，左顶点为，左焦点为，若直线与直线互相垂直，则椭圆的离心率为A. B.C. D.2．设函数的导函数是，若，则（）A. B.C. D.3．若向量则（）A. B.3C. D.4．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，，，，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（）A.8 B.9C.10 D.115．双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.6．等差数列前项和，已知，，则的值是（）.A. B.C. D.7．设集合或，，则（）A. B.C. D.8．下面三种说法中，正确说法的个数为（）①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若，，，则A.1 B.2C.3 D.09．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）A.圆 B.两个圆C.椭圆 D.两个椭圆10．若，则（）A. B.C. D.11．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤12．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，则在点处切线的斜率为______14．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为___________.15．已知，满足约束条件则的最小值为__________16．已知圆C：和点，若点N为圆C上一动点，点Q为平面上一点且，则Q点纵坐标的最大值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求值18．（12分）设数列的前项和为，已知，且（1）证明：；（2）求19．（12分）双曲线，离心率，虚轴长为2（1）求双曲线的标准方程；（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程20．（12分）某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号x12345678910营业收入y（亿元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.21．（12分）已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，（1）求与的通项公式；（2）若，求数列的前n项和22．（10分）已知函数，曲线y＝f(x)在点（0，4）处的切线方程为（1）求a，b的值；（2）求f(x)的极大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】依题意，直线与直线互相垂直，，，故选2、A【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.3、D【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D4、B【解析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.【详解】由，可得，，，，所以，，所以前项和，所以，故选：B.5、B【解析】由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，从而即可求解.【详解】解：由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以双曲线C的离心率，故选：B.6、C【解析】由题意，设等差数列的公差为，则，故，故，故选7、B【解析】根据交集的概念和运算直接得出结果.【详解】由题意知，.故选：B.8、A【解析】对于①，有两种情况，对于②考虑异面直线，对于③根据线面公理可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故①不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确；若，，，可知必在交线上，则，故③正确；综上所述只有一个说法是正确的.故选：A9、A【解析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆【详解】是焦点为、的椭圆上一点为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点，如图，，，，由题意知是△的中位线，，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆故选：A10、D【解析】设，计算出、的值，利用平方差公式可求得结果.【详解】设由已知可得，，因此，.故选：D.11、A【解析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，解得，故选：A12、C【解析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以,故.所以.故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据条件求出，，再求即答案.【详解】∵，∴，则和，得，，∴，，∴，所以在点处切线的斜率为.故答案为：14、【解析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.【详解】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，∴“欧拉线”的方程为.故答案为：.15、2【解析】由题意，根据约束条件作出可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，并将其在可行域内平行上下移动，当移到顶点时，在轴上的截距最小，即.16、【解析】设出点N的坐标，探求出点Q的轨迹，再求出轨迹上在x轴上方且距离x轴最远的点的纵坐标表达式，借助函数最值计算作答.【详解】圆C：的圆心，半径，圆C与x轴相切，依题意，点M在圆C上，设点，则，线段MN中点，因，则点Q的轨迹是以线段MN为直径的圆(除点M，N外)，这个轨迹在x轴上方，于是得这个轨迹上的点到x轴的最大距离为：令，于是得，当，即时，，所以Q点纵坐标的最大值为.故答案为：【点睛】结论点睛：圆上的点到定直线距离的最大值等于圆心到该直线距离加半径.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.小问1详解】由；；【小问2详解】把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得，，因为在直线上，所以，或而，所以.18、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可；（2）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.【详解】（1）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，（2）由（1）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，于是从而，综上所述，.【点睛】已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.19、（1）（2）【解析】（1）根据题意求出即可得出；（2）利用点差法求出直线斜率即可得出方程.【小问1详解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴双曲线的标准方程为；【小问2详解】设以定点为中点的弦的端点坐标为，可得，，由在双曲线上，可得：，两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，联立方程得：，，符合，∴直线的方程为：.20、（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2025届.【解析】（1）根据的公式，将题干中的数据代入，即得解；（2）代入，可估计2021年的营业收入；令，可求解的范围，继而得到的范围，即得解【详解】（1），，故回归方程为.（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.依题意有，解得，故.因为，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2025届.21、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，两式相除得，由已知得，求得数列的公差为，由等差数列的通项公式可求得；（2）运用错位相减法可求得.【小问1详解】解：因为数列的前n项积，所以，所以，两式相除得，因为数列为等差数列，且，，所以，即，所以数列的公差为，所以，所以，【小问2详解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.22、（1）a＝4，b＝4（2）【解析】（1）由题意得