专题09二次函数图像与性质（讲义）中考数学一轮复习

专题09二次函数图像与性质1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图像，能利用函数的图像认识二次函数的性质；3．会确定二次函数图像的顶点、开口方向和对称轴，并掌握图像的变化情况；4．能根据已知条件利用二次函数表达式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）通过待定系数法确定函数关系式。考点1：二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.考点2：二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

3.抛物线中，的作用：

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).注：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．【题型1：二次函数的定义】【典例1】（2013·江苏宿迁·校联考二模）下列函数中是二次函数的有（

）①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】利用二次函数定义，①不是二次函数.②是二次函数.③y=（x＋3）2－2x2=.是二次函数.④不是二次函数.选B.1．（2022·江苏泰州·统考一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为．【答案】2019【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2m1=0，∴m2m=1，∴3m2+3m+2022=3（m2m）+2022=3+2022=2019．故答案为：2019．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．2．（2020·江苏镇江·校考模拟预测）若是二次函数，则；抛物线的顶点坐标是．【答案】【分析】①，二次函数满足二次项系数不能为0，即，且根据此条件求出m即可．②，根据顶点式解析式直接写出顶点坐标即可．【详解】①，由题意知，且，解得m=2；②，根据顶点式公式解析式知道顶点坐标为（2，3）；故答案为：①②【点睛】此题考查二次函数的定义及二次函数顶点式求顶点坐标．3．（2019·江苏镇江·统考一模）已知函数的图像是一条抛物线，则m=.【答案】m=3【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】依题意得：m1=2，解得m=3．故答案是：3．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．4．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么：(1)设的面积为y，求y关于t的函数关系式；(2)当的面积为时，沿直线翻折后得到，试判断点是否落在直线上，并说明理由．【答案】(1)(2)点不落在直线上，见解析【分析】（1）根据、的速度，用时间表示出和的长，即可通过三角形的面积公式即可作答；（2）先根据（1）的函数式求出当的面积为时的值，即可得出和的长，然后求出点的坐标和直线的解析式，将点坐标代入直线的解析式中即可判断出是否在上．【详解】（1）解：，由题意，得．．；（2）解：点不落在直线上，理由如下：，当的面积为时，，解得，，即是等腰直角三角形．把沿直线翻折后，四边形是正方形．点的坐标为．，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，点不落在直线上．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、坐标与图形性质等知识点．解题的关键是求出关于的函数关系式．【题型2：二次函数的图像】【典例2】（2023·江苏镇江·统考中考真题）二次函数的最大值为．【答案】【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值．【详解】解：∵二次函数的表达式为，∴当时，二次函数取得最大值，为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．1．（2023·江苏镇江·统考二模）关于二次函数，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是C．该函数有最大值，最大值是2 D．当时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【详解】解：中，A．的系数为1，，函数图象开口向上，A错误；B．函数图象的顶点坐标是，B错误；C．函数图象开口向上，有最小值为2，C错误；D．函数图象的对称轴为，时随的增大而减小；时，随的增大而增大，D正确．故选：．【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．2．（2012·江苏淮安·统考一模）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的．【详解】解：A．一次函数中，，二次函数中，，故选项A不符合题意；B．一次函数中，，二次函数中，，故选项B符合题意；C．一次函数中，，二次函数中，，故选项C不符合题意；D．一次函数中，，二次函数中，，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．3．（2010·江苏扬州·统考一模）已知二次函数，y与x的部分对应值如表：x…013…y…131…则下列判断中正确的是（

）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当时，D．方程的正根在3与4之间【答案】D【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图表可得，该函数的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；当时，，抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意；和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意；方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．4．（2012·江苏徐州·中考真题）二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数的图象．【答案】见解析【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4，3），（3，0）代入得关于b、c的方程组，解之即得．（2）求出二次函数的顶点式（或用公式法）即可求得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．（3）描点作图．【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点（4，3），（3，0），∴，解得．（2）∵该二次函数为．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，－1），对称轴为x=1．（3）列表如下：x···01234···y···30103···描点作图如下：【题型3：二次函数的性质】【典例3】（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线，，为该抛物线上的两点，若，则的取值范围（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】先把化成，把，两点的坐标代入，根据，即可求出的取值范围．【详解】∵，当点，在抛物线上，∴，，∵，∴，解得：．故答案为：D．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数的图象和性质．1．（2019·江苏镇江·统考一模）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则【答案】/【分析】直线与轴交于点，如图，则，利用二次函数的性质得到，再证明为等腰直角三角形得到，所以，然后把点坐标代入即可得到的值．【详解】解：设直线与轴交于点，如图，则，，，过点且平行于轴，为等腰三角形，∵轴，∴，，为等腰直角三角形，，，把代入，得，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于两点，且满足：．当时，该函数的最大值与满足的关系式是．【答案】【分析】首先确定该函数的对称轴为直线为，结合可得，故当时，该函数的最大值为其顶点的纵坐标，即可获得答案．【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于两点，∴该函数的对称轴为直线，∵，∴，∴当时，该函数的最大值是时．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据确定二次函数对称轴的位置是解题的关键．3．（2023·江苏南京·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)该抛物线经过一个定点：______(写出坐标)；(2)点是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．①若，求k的值；②若，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．【答案】(1)(2)①2；②【分析】（1）将变形成，再令可求出的值，从而推出定点坐标；（2）①将配成顶点式，从而求出N与k的关系式，令n=3，求解关于k的方程即可；②将看成自变量的取值范围，利用N与k的关系式求N的范围即可．【详解】（1）解：令，则∴定点的坐标是故答案为：；（2）①∵当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N，∴令，则解得：即k的值为2；②，，对称轴为直线，(i)当时，N随着x的增大而增大，令，则，令，则∴(ii)当时，N随着x的增大而减小，令，则，令，则∴综上所述：N的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，定点的求法，将二次函数解析式由一般式化为顶点式等知识，掌握二次函数的图象与性质和最值的求法是解题的关键．4．（2023·江苏泰州·校考二模）已知二次函数．(1)若该函数图象经过点，求的值；(2)当时，随的增大而减小，①求的取值范围；②证明：．【答案】(1)；(2)①；②见解析．【分析】（1）将点代入即可求得的值；（2）①先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据“当时，随的增大而减小”列不等式并结合即可解答；②由“当时，随的增大而减小”可知当时，有最大值，然后再说明最大值小于等于零即可证明结论．【详解】（1）解：二次函数过点，，解得：；（2）①解：，函数图象抛物线开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，，解得：，，的取值范围；②证明：在时，随的增大而减小，当时，有最大值，即，，，，，，即．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质、配方法、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．1．下列函数中，属于二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键．【详解】解：A、当时，原函数化为：，则不是二次函数，故不符合题意；B、，是一次函数，故不符合题意；C、是二次函数，故符合题意；D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意；故选C．2．抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，对于二次函数，其顶点坐标为，熟记相关结论即可．【详解】解：由题意得：该抛物线的顶点坐标为：，故选：D3．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行作答即可．【详解】解：∵把抛物线向下平移2个单位长度，∴∵再向右平移1个单位长度，∴故选：D4．已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到、、的大小关系．【详解】解：∵二次函数的解析式为，∴抛物线的对称轴为y轴，，，，∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，∵抛物线开口向上，．故选：B．5．如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④点、是函数图象上两点，若且，则．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图像的性质，函数图像与参数的关系，由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断①，根据当时，，判断②，根据图象判定③，根据点D、E的位置和到对称轴的距离判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴，∵抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，∴与x轴另一个交点B坐标为，，∴，故①正确；当时，，∴，故②错误；由图象可得当时，y随x增大而增小，故③错误．∵若且，∴，∴，当时，，当时，∵，∴，即点E到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，∴，故④正确．综上所述：正确的说法有2个，故选：B．6．用配方法把二次函数写成的形式为．【答案】【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答．【详解】解：，故答案为：．7．已知，当时，函数值y随x的增大而．【答案】减小【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大是解题的关键．【详解】解：∵抛物线解析式为，，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，函数值y随x的增大而减小，故答案为：减小．8．已知二次函数的部分对应值列表如表：x…035…y…7﹣87…则抛物线的对称轴为．【答案】【分析】由表格可得抛物线经过即可得到抛物线的对称轴，此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性是解题的关键．【详解】解：由表格可得抛物线经过，∴抛物线对称轴为直线，故答案为：．9．下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是．01217【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，根据表格可知二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间，则方程的一个解的范围是．【详解】解：由表格可知，当时，，当，，∴二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间，∴方程的一个解的范围是，故答案为：．10．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点，均在轴上，且有一条水平线与两图象相交于，，，四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度为．

【答案】【分析】由，，的长度及抛物线的对称性可得点与点，点与点的横坐标之差，再利用即可求解；【详解】解：，，∴,∴，，，，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查二次函数的对称性，利用横坐标的差表示特殊线段长度，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解．11．若函数是二次函数．(1)求k的值．(2)当时，求y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可．【详解】（1）解：依题意有，解得：，∴k的值为3；（2）把代入函数解析式中得：，当时，，∴y的值为．【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．12．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题．x…0…y…04…(1)求出该二次函数的表达式；(2)写出向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数表达式．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象的平移，注意计算的准确性．（1）将和代入，即可求解；（2）上下平移改变因变量的值：上加下减．【详解】（1）解：将和代入得：，解得：，∴该二次函数的表达式为：（2）解：向下平移2个单位后，二次函数得表达式为：，即：13．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为．(1)当时，求y的值．(2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值．【答案】(1)0(2)0【分析】（1）把代入，即可求得；（2）根据题意原抛物线经过，代入解析式解方程即可求得．【详解】（1）解：当时，；即y的值为0；（2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点∴原抛物线经过，把代入解析式可得：，∴．【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．

(1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______；(2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图；(3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______．【答案】(1)，，(2)见解析(3)①开口向上；②当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）【分析】（1）令，即可得到A、B的坐标，令，即可得到C的坐标；（2）根据二次函数图像特点描点连线即可；（3）根据二次函数图像特点即可解答．【详解】（1）（1）令，得，又∵A在B左侧，∴，，令，得，故答案为：，，．（2）

描点连线得图像如图所示；（3）根据二次函数图像特点，该函数图像开口向上，当时，y随x的增大而增大，故答案为：①开口向上；②当时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了画二次函数的图像及判断函数图像具备的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数及其函数图像．15．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：…………(1)求二次函数解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；(3)当时，的取值范围是____________．【答案】(1)(2)画图见详解(3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）根据函数解析式，用描点法即可求解；（3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围．【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，，∴，解方程得，∴二次函数解析式为．（2）解：二次函数解析式为，图像如图所示，函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意．（3）解：当时，根据（2）中图示可知，当时，；当当时，；当时，．∴当时，．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键．1．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与系数，二次函数的性质等知识；根据图象的开口、对称轴及图象与坐标轴的交点即可确定答案．【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，则，由抛物线对称轴在y轴左边，得，则，∴，故A错误；∵抛物线对称轴为直线，∴即，当时，函数取得最大值，且最大值为正，∴，，故C正确，B错误；由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，则有两个不相等实数根，所以，即，故D错误；故选：C．2．二次函数图象是抛物线，．白变量x与函数y的部分对应值如下表：x…012…y…4004…下列说法不正确的是（

）A．抛物线与y轴的交点坐标为 B．抛物线的对称轴是C．函数y的最小值为 D．当时，y随x的增大而增大【答案】C【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，运用待定系数法求出二次函数解析式，配方后结合二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：把代入得，，解得，，∴，∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，故选项B说法正确，不符合题意；当时，，抛物线与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意；∵，抛物线开口向上，函数y有最小值为，故选项C说法不正确，符合题意；∵对称轴为直线，图象开口向上，∴当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不符合题意；故选：C．3．对于抛物线，下列结论：①抛物线开口向下；②抛物线经过点③抛物线的顶点为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：抛物线中，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，∴时，随的增大而减小，将代入可得，即抛物线经过点，故③错误，①②④正确．故选：B．4．二次函数其对称轴为直线，若，为抛物线上三点，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先根据对称轴为判断抛物线的开口方向，再根据二次函数的增减性求解即可，解决问题的关键在于掌握二次函数（，，为常数，）的性质：当时，开口向上，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大；点到对称轴的距离越大，函数值越大；当时，开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小；点到对称轴的距离越大，函数值越小．【详解】解：∵对称轴为，∴，∴，∴抛物线开口向上，则当时，随增大而增大，∵关于的对称点为，又∵，∴，∵当时，随增大而增大，∴，故选：A．5．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数图像与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据该二次函数图像的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①；由函数图像可知，当时，，即可判断结论②；由函数图像可知，当时，，即可判断结论③结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④．【详解】解：根据题意，该函数图像开口向上，∴，∵对称轴是直线，∴，∴，∵该函数图像与轴交于负半轴，∴当时，可有，∴，故结论①不正确；由函数图像可知，当时，，∴，故结论②正确；由图像可知，当时，，∴，故结论③正确；∵当时，该二次函数取最小值，∴（为实数），即（为实数）．综上所述，结论正确的有②③④，合计3个．故选：C．6．已知抛物线经过点，，，，则．【答案】【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，首先要理解题意，，两点纵坐标相同，对称轴是两点横坐标的平均数，再利用对称轴，根据对称性求解是解决问题的关键．【详解】解：∵抛物线经过点，，，，∴由，得抛物线的对称轴为直线，∵，关于对称轴对称，∴，∴，故答案为：．7．如图是二次函数的部分图像，由图像可知方程的一个解是，那么它的另一个解是．【答案】【分析】本题考查利用二次函数的图像与性质解方程，涉及二次函数图像与性质、图像法解一元二次方程等知识，由图知抛物线与轴的一个交点为，求出对称轴，再根据二次函数图像的对称性即可得到另一个交点，从而得到答案．【详解】解：由二次函数的部分图像可知其对称轴为，且方程的一个解是，即抛物线与轴的一个交点为，由二次函数对称性知二次函数图像与轴的另一个交点为，即方程的另一个解是，故答案为：．8．二次函数的图象如图所示，给出下列说法：；；；；当时，．其中正确的序号是．

【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．【详解】解：∵图象开口向下，∴，∵，∴，∴，，∵抛物线交轴正半轴，∴，∴，故正确；∵当时，，∴，故正确；∵图象和轴交于两点，∴，故正确；由图象可知，当时，，故正确；所以正确的序号是，故答案为：．9．已知点，，，在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点．（1）若，则的值是．（2）若，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线顶点为最低点可得抛物线开口向上，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点A，B关于对称轴对称时m的值，结合抛物线开口方向求解．解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线，，，，，故答案为：；（2）点为抛物线顶点，，抛物线开口向上，顶点为最低点，，抛物线对称轴为直线，当点，关于抛物线对称轴对称时，，解得，，，故答案为：．10．已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】先求得的坐标，勾股定理求得的长，设抛物线与轴负半轴的交点为，连接交于点，当与点重合时，取得最小值，则取得最小值，即可求解．【详解】解：如图所示，抛物线与轴负半轴的交点为，连接交于点，由当时，，解得：，当时，，∴，∴，∴，∵是的中点，是的中点，∴，∴当与点重合时，取得最小值，则取得最小值，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了的抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，中位线的性质，一点到圆的距离最值问题，得出当与点重合时，取得最小值，则取得最小值是解题的关键．11．已知二次函数抛物线经过，．(1)求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像；(2)根据图像，直接写出：①当函数值时，自变量的取值范围；②当时，函数值的取值范围．【答案】(1)，见解析(2)①②【分析】(1)把坐标代入解析式转化方程组计算即可．(2)①计算抛物线与轴的交点坐标，根据题意计算即可．②利用数形结合思想计算即可．熟练掌握抛物线的性质，待定系数法是解题的关键．【详解】（1）∵二次函数抛物线经过，．∴解得，故抛物线的解析式为．画图像如下：．（2）①根据题意，得，解得，当函数值时，自变量的取值范围是．②∵，∴对称轴为直线，∴在自变量范围内，∴函数值的最大值为；∵抛物线开口向下，∴距离对称轴越近，函数值越大，∵，∴，函数值最小，，故函数值的取值范围是．【点睛】本题考查了待定系数法，函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．12．已知二次函数图像的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求该二次函数的解析式．【答案】【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握求二次函数解析式的方法是解题关键．设该二次函数的解析式为，然后把点代入，求解即可获得答案．【详解】解：由题意可知，二次函数图像的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，把点代入，可得，解得，故该二次函数的解析式为，即．13．已知抛物线的顶点，且过，与x轴交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求的面积．【答案】(1)(2)8【分析】（1）根据顶点坐标，设抛物线解析式为，把代入解得：，即可得出抛物线函数表达式；（2）先求出点B和按C的坐标，再根据三角形面积公式，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：把代入得：，解得：，∴，∴，∴．14．我们定义一种新函数：形如的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数的图像，根据该图像解答下列问题：(1)求该函数图像与轴和轴的交点坐标．(2)当函数值随值的增大而减小时，求自变量的取值范围．【答案】(1)与x轴交点坐标，，与y轴交点坐标(2)或【分析】（1）分别令和，然后求解，即可获得答案；（2）首先确定该函数图像的对称轴，然后结合图像，即可获得答案．【详解】（1）解：令，即，可得，∴，解得，，∴函数图像与轴的交点坐标为和，令，则，∴函数图像与轴的交点坐标为；（2）该图像具有对称性，对称轴是直线，函数图像与轴的交点坐标为和，观察图像可知，当或时，函数值随值的增大而减小．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与轴交点、二次函数图像与轴交点、解一元二方程、二次函数图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．15．【概念理解】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数是，它的相关函数为．【尝试解决】已知二次函数，请回答下列问题：（1）这个二次函数的相关函数为；（2）当在这个二次函数的相关函数的图像上时，求的值；【灵活应用】（3）当时，求这个二次函数的相关函数的最小值是_________；（4）当直线与该二次函数的相关函数的图像只有二个交点时，的取值范围是_______．（直接写出答案）【答案】（1），；（2）的值为，或；（3）；（4）【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及新定义函数、已知函数值求自变量、函数作图、函数图像平移、函数最值及函数图像的交点等知识，读懂题意，理解相关函数定义并利用数形结合求解是解决问题的关键．（1）根据相关函数定义直接求解即可；（2）由（1）中所求函数表达式，令求解即可；（3）作出相关函数图像，数形结合即可得到最值；（4）作出相关函数图像，再由函数图像平移，数形结合即可得到范围．【详解】（1）已知二次函数，由相关函数定义可知，当时，它们对应的函数值互为相反数，可得；当时，它们对应的函数值相等，可得，，故答案为：；；（2）由（1）知的相关函数为，当在这个二次函数的相关函数的图像上时，分两种情况：当在时，，解得或，由得；当在时，，解得或，由得或；综上所述，的值为，或；【灵活应用】（3）在平面直角坐标系中作出图像，如图所示：

当时，求这个二次函数的相关函数的最小值是当时，，故答案为：；（4）直线与平行，由（3）中图像，在同一个坐标系中作出，如图所示：

当直线过点时，与相关函数有两个交点，此时，往上平移有且只有一个交点；当直线过点时，与相关函数有两个交点，此时，网上平移有且只有两个交点；综上所述，，故答案为：．1．（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：依题意，，解得：设∴∵∴有最大值，最大值为故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为，，∴二次函数图象必经过第一、二象限，又∵，∵，∴，当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，故①错误；②正确；∵抛物线对称轴为，，∴抛物线开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：过点C作，

∵，，∴，过点B作，∵，∴四边形是矩形，∴，需使最小，显然要使得和越小越好，∴显然点F在线段的之间，设，则，∴，∴当时取得最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．5．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．【详解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①点P在AD上运动，AP=t，AQ=t，即0，如图，过点P作PG⊥AB于点G，，则PG=(0)，此时y=AQPG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，此时y=AQDE=(13)，图象是一段线段；③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，此时y=ABDE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；④点P在BC上运动，PB=31t，即18，如图，过点P作PH⊥AB于点H，，则PH=，此时y=ABPH=(18)，图象是一段线段；综上，只有D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，6．（2023·江苏泰州·统考中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是（填一个值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，即二元一次方程的根为、，由根与系数的关系得：，，一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，，为异号，，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．7．（2022·江苏南京·统考中考真题）已知二次函数（、为常数，）的最大值为2，写出一组符合条件的和的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】根据最值公式得到，即可得到，据此写出一组符合条件的a和c的值即可．【详解】解：∵二次函数的最大值为2，∴，∴，故时，，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的最值公式是解题的关键．8．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．【答案】2【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．【详解】根据题意，有，当时，有最大值．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．9．（2023·江苏无锡·统考中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为．【答案】或或【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线，⑥如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解．【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，∴，，，设直线解析式为，∴解得：∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，∵，∴，∴点必在内部．1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线的解析式为∴解得：则直线的解析式为①如图1，直线过中点，，中点坐标为，代入直线求得，不成立；

②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，∴∴，∴，解得；

⑤如图5，直线，，则∴，又，∴，∵，∴不成立；⑥如图6，直线，同理可得，∴，，，∴，解得；综上所述，或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．10．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数的图象交于A、B两点，且，P为的中点，设点P的坐标为，写出y关于x的函数表达式为：．【答案】【分析】过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，，设A(a，a2)，则B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，从而得P(，)，进而即可得到答案．【详解】解：过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，∴，∵，∴，设A(a，a2)，则B(3a，9a2)，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2，∴C(0，3a2)，∵P为的中点，∴P(，)，∴，即：，故答案是：．【点睛】本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．11．（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数（为常数）．(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，①则的值是_________，点的坐标是_________；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．【答案】(1)①②或(2)(3)【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，∴，∴，∴，∴当时，，∴，∴点的坐标是；故答案为：；②，列表如下：1345005画出函数图像如下：

由图可知：当时，或；（2）∵，∴当时，有最小值为；∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，∴关于对称轴对称，∴，∴，∴，∴，当时，有最小值，∴．

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．12．（2023·江苏·统考中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

(1)_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解；（3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解．【详解】（1）解：把代入得，，解得，故答案为；（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵，∴二次函数的解析式为设，∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），当m=时，，∴，∵，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得抛物线为∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，∴；（3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，∵顶点为在上，∴，∴平移后的抛物线为，顶点为，∵原抛物线，∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，∴，∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化简得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，当p=3时，，当p=时，，∴点P坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．13．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解．②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解．【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点∴解得：∴，，；（2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、．∵，当时，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵设直线的解析式为∴解得：直线解析式为．设，，，当时，取得最大值为，的最大值为．②如图2，已知，令，则，在上取点，使得，∴，设，则，则，解得，∴，即．如图3构造，且轴，相似比为，又∵，设，则．分类讨论：ⅰ当时，则，∴与的相似比为，∴，，∴，代入抛物线求得，（舍）．∴点横坐标为．ⅱ当时，则，∴相似比为，∴，，∴，代入抛物线