2022年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形难点解析试题（含详细解析）

人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形难点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图所示，AB=CD,AD=BC,则图中的全等三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

2、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）

A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等

C.测量对角线是否相等D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

3、如图，已知菱形力版的对角线4C,切的长分别为6,8,AE2BC,垂足为点£,则的长是

（）

A.56B.2逐C.yD.y

4、在UABCD中,A（=24,8庐38,AB=m,则加的取值范围是（）

A.24〈水39B.14〈水62C.7〈水31D.7〈水12

5、如图，菱形的6c在平面直角坐标系中的位置如图所示，ZAOC=45°,0A=,则点C的坐标为

（）

A.（逝，1）B.（1,1）C.（1,应）D.（V2+1,1）

6、在△/!a'中，A9是角平分线，点£Q分别是线段4C、口的中点，若4ABD、△跖C的面积分别为

AR

21、7,则会的值为（)

C.|D

3-I

7、如图，正方形43CD的面积为256,点尸在A。上，点£在48的延长线上，"的面积为200,

则BE的长为（）

A.10B.11C.12D.15

8、如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为瓶\4再过点6折叠纸片，使

点月落在助V上的点尸处，折痕为跖若丝的长为2,则£”的长为（）

A.2B.6C.y/2D.1

9、如图菱形48切，对角线力。，劭相交于点。，若BD=8,4c=6,则的长是（）

C.8D.10

10、如图，正方形力6切中，46=12,点/在边6c上，BE=EC,将△〃方沿应对折至△勿E延长）

交边46于点G,连接〃G、BF,给出以下结论：①△为侬△"&；②BG=2AG；③BF/1DE、®SABEF=

72

y.其中所有正确结论的个数是（）

C.3D.4

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在一张矩形纸片4?（力中，^5=30cm,将纸片对折后展开得到折痕跖.点尸为a'边上任意一

点，若将纸片沿着8折叠，使点，恰好落在线段跖的三等分点上，则比'的长等于cm.

2、一个三角形三边长之比为4：5：6,三边中点连线组成的三角形的周长为30cm,则原三角形最大边

长为cm.

3、在平行四边形力及力中，若NJ=130°,则/分,NO,NA.

4、如图，将〃个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点4,4,…，加分别是正方形的中心，则〃

个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为.

5、如图，直线/经过正方形/腼的顶点8,点出。到直线/的距离分别是1,3,则正方形力比9的

面积是.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平行四边形力比7?中，E为比1的中点，连接〃'并延长交火的延长线于点凡连接班;

AC,且49="：

(1)判断四边形46/七的形状并证明;

(2)若46=3,ZABC=60°,求斯的长.

2、(1)如图a,矩形力版的对角线作、如交于点0,过点〃作〃尸〃0C,豆DP=0C,连接团判断四

边形，〃如的形状并说明理由.

(2)如图6,如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由.

(3)如图c,如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由.

3、如图所示，在边长为1的菱形力8口中，N为6=60°,必是力〃上不同于4〃两点的一动点，N是

切上一动点，且4淤GV=1.

(1)证明：无论必，N怎样移动，48邮总是等边三角形;

(2)求△51仰面积的最小值.

4、如图所示，正方形A8C。中，点反尸分别为比，或上一点，点仍为斯上一点，。，"关于直线"'

对称.

(1)求证：反"关于对称;

(2)若NEFC的平分线交/£的延长线于G,求证：AG=0AF.

5、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按

下列要求画三角形.

(1)在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形；

(2)在图2中，画一个以理为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等;

(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.

参考答案.

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定与性质，求解即可.

【详解】

解：'：AB=CD,AD=BC

四边形ABC。为平行四边形

AOB=OD,OA=OC,ZDAB=ZBCD,ZABC=ZADC

：./\ABC^CDA(SAS),丛ABD%ACDB(SAS)

XVZAOB=ZCOD,ZAOD=ZCOB

：./\AOD=Z\COB(SAS)、^AOB^COD(SAS)

.•.图中的全等三角形共有4对

故选：D

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判

定与性质.

2、D

【解析】

【分析】

由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【详解】

解：尔•••对角线互相平分的四边形是平行四边形，

...对角线互相平分且相等的四边形才是矩形,

...选项力不符合题意；

8、•.•两组对边分别相等是平行四边形，

选项6不符合题意；

•对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

.••对角线相等的四边形不是矩形，

，选项C不符合题意；

•对角线交点到四个顶点的距离都相等，

...对角线互相平分且相等，

•.•对角线互相平分且相等的四边形是矩形，

•••选项，符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理.

3、D

【解析】

【分析】

根据菱形的性质得出60、C0的长，在灯△而T中求出比；利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等

于BCXAE,可得出丝的长度.

【详解】

解：•.•四边形/比Z?是菱形，

：.CO^A(=3,83T娇4,心B0,

"•BOy/AO2+BO2=5»

...S箜滋ABC加BDjC=1x6x8=24,

,:S娜ABCABCXAE,

:.BCXA队24,

.但2424

..AE=——=—,

BC5

故选：D.

【点

此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对

角线互相垂直且平分.

4、C

【解析】

【分析】

作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得AE=CE=；AC=12,BE=DE=；BD=19,然后在，A8E

中，利用三角形三边的关系即可确定勿的取值范围.

【详解】

解：如图所示：

•.•四边形45（力为平行四边形，

/.AE=CE=-AC=12,BE=DE=-BD=19,

22

在❷ABE匚①,AB=m,

/.19-12</M<19+12,

即7<m<31,

故选：C.

【点^青】

题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系

是解题关键.

5、B

【解析】

【分析】

作切_Lx轴，根据菱形的性质得到妗的=及，在.RtAOCD中,根据勾股定理求出加的值，即可得到

C点的坐标.

【详解】

：作x轴于点D,

则N(W=90°,

•.•四边形。4%是菱形，%=及，

：.0(=0A=^,

XVZA00450,

：.ZOCD=90°-N加仁90°-45°=45°,

：.ZDOOZOCD,

/.CD-OD,

在七力中，0（=^2,Clf+Olf=O（f,

.•.2旌降2,

彷1,

：.OD=CD=\（负值舍去），

则点C的坐标为（1,1）,

故选：B.

【点睛】

此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性

质求出OD=CD=\是解决问题的关键.

6、B

【解析】

【分析】

1J?OR

过点力作△49。的高，设为X,过点£作△如'C的高为彳x,可求出8。=一，CF=—,再由点昆6分

2xx

别是线段力G切的中点，可得出CE.8=2CECF,进而求出CD=型,再利用角平分线的性质可得出

X

*的值为黑即可求解.

【详解】

解：过点力作的高，设为x,过点£作的高为QX,

A

,S^EFC==7

,Rn_4228

xx

丁点区厂分别是线段zc、⑦的中点，

•CEEFCF1

**CA-AD-CD-2，

:,CA=2CE,

■:CE・CD=CA£F,

・・・CE・CD=2CECF,

：.CD=—,

X

过点〃作〃「46,DNLAC,

•.•在为N5AC平分线，

:.D距DN,

,/S△ABD=-2AB-DMt,^ACDS.rn2=-AC-DN,

.S/BDAB-DMDBABDB

••~~—,n艮n1」：■—

SzACDAC-DNCDACCD

42

.ABBD_7_423

**AC_C5_56-56-4，

x

故选：B.

【点睛】

本题考查角平分线性质定理及三角形中位线的性质，解题关键是求出段=更.

ACCD

7、C

【解析】

【分析】

先证明以△。蛇灯△侬故上⑦，根据△烟'的面积计算幽根据正方形/腼的面积计算a根

据勾股定理计算BE.

【详解】

解：刀匠90°,N〃叱90°,

:.乙BC%乙DCF,

NBCE=NDCF

"BC=DC,

/CDF=NCBE

：.4CDF叁4CBE,故CQCE.

因为以的面积是200,即

g•纺。^200,故华20,

正方形ABCD的面积=8d=256,得陷16.

根据勾股定理得：BZCE'—BC'=12-

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形，等腰直角三角形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证

层四是解题的关键.

8、B

【解析】

【分析】

由折叠的性质可得8M=gBC=；A8=l,N3Z的90°,陷45=2,由此利用勾股定理求解即可.

【详解】

解：•.•把正方形纸片力的沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为必V,AB=2,

：.BM=-BC=-AB=\,N8历宜90°,

22

••,四边形/腼为正方形，45=2,过点3折叠纸片，使点月落在彷，上的点尸处，

:.FB=AB=2,

则在RtXBMF中，FM=4BF2-BM2=6，

故选B.

【点睛】

本题主要考查了正方形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质.

9、A

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得好妗3,吩⑺=4,AOLBO,由勾股定理求出16.

【详解】

解：•••四边形力腼是菱形，4信6,劭=8,

：.0A=0(=?>,0B=0D=4,AOLBO,

在位△/如中，由勾股定理得：AB=J。1+0B?==5，

故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关

键.

10、D

【解析】

【分析】

根据正方形的性质和折叠的性质可得ORNA=4GFD=90：于是根据“7/T判定

Rt△"四RtG；

②再由0+"=&+G6=12,EB=EF,△仇花为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出4G=4,BG=

8,即可判断；

③由△比尸是等腰三角形，证明/仍F=N%T,；

④结合①可得4G=G汽，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形应F的面

积.

【详解】

解：①由折叠可知，DF=DC=DA,NDFE=4C=90°,

：.ZDFG=ZA=90°,

在R349G和RtA/77G中，

AD=DF

DG=DG

：.^/\ADG^\^/\FDG(应)，

故①正确；

②•・•正方形边长是12,

:.BE=EC=EF=6,

设AG=FG=x,则EG=x+6,BG=12-x,

由勾股定理得：EG=BE+Bd,

即:(x+6)i+(12w)2,

解得：x=4,

：.AG=GF=4,BG=8,BG=2AG,

故②正确；

⑧：EF=EC=EB,

：.AEFB=AEBF,

'：ADEC=ADEF,ACEF=AEFB+AEBF,

：.ADEC=/EBF,

：.BF//DE,

故③正确；

④•：S<BE=*BE。BG=三X6X8=24,

'：GF=AG=4,EF=BE=6,

.S«BFG-GF=3=2

•*S.BJEF-6-3'

3372

SABEF=MS&GBE=-X24=y,

故④正确.

综上可知正确的结论的是4个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的

判定，三角形的面积计算，有一定的难度.

二、填空题

1、20店或受走

2

【解析】

【分析】

分为将纸片沿纵向对折，和沿横向对折两种情况，利用折叠的性质，以及勾股定理解答即可

【详解】

如图：当将纸片沿纵向对折

根据题意可得：AB=EF=DC=DC'=3O

•.・C为E尸的三等分点

22

.­,£C,=-£F=-x30=20

33

在Rt/\DEC'中有DE=ylDC'2-EC2=7302-202=10石

AD=2DE=2。/

BC=AD=20>/5

如图：当将纸片沿横向对折

根据题意得：AB=DC^DC'=30,DF=-DC=-x30=}5

22

在Rt^DFC中有c，r=4DC'2-DF2=>/302-152=156

•••C'为E/的三等分点

2

CF=-EF

3

尸=，15凤竺叵

22

故答案为：20石或迎

2

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理解直角三角形，解题关键是分两种情况作出折痕

EF,考虑问题应全面，不应丢解.

2、24

【解析】

【分析】

由三边长之比得到三角形的三条中位线之比，再由这三条中位线组成的三角形周长求出三中位线长，

推出边长，再比大小判断即可.

【详解】

•・•如图，H、I、J分别为a；AC,4?的中点

Z.HI=-AB,IJ=-BC,HJ=-AC

222

又,:HI+IJ+HJ=30

：.AB+8C+AC=60

'.'AB：AC：B04：5：6,即6c边最长

，BC=6x60=24

4+5+6

故填24.

【点睛】

本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

3、50°130°50°

【解析】

【分析】

利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案.

【详解】

解：在平行四边形0中，DB、ZD是ZA的邻角，NC是NA的对角，

ZB=ZD=50°,ZC=130°,

故答案为：50°,130°,50°.

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本

题的关键.

4、丁

【解析】

【分析】

根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的已知两个正方形可得到一个阴影部分，则〃个

这样的正方形重叠部分即为（止1）个阴影部分的和.

【详解】

解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的。，即是

44

〃个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1=一M—1.

4、4

故答案为：二.

4

【点睛】

本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到〃个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计

算方法，难点是求得一个阴影部分的面积.

5、10

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，结合题意易求证AB=BC,4BAM=NCBN,ZABM=NBCN,即可利用“AS4”证

明得出AM=BN=1.最后根据勾股定理可求出BC?=8N?+CN?=10,即正方形的面

积为10.

【详解】

•.•四边形/发力是正方形，

/.AB=BC,ZABC=90°,

:ABM?CBN90?.

根据题意可知：NB4W+ZABM=90。，ZCBN+ZBCN=90°,

：.ZBAM=NCBN,ZABM=ABCN,

'/BAM=4CBN

...在“BA/和他四中，AB=BC,

NABM=NBCN

AABM*BCN(ASA),

:.AM=BN=l.

■:在RtABCN中，BC2=BN2+CN2=32+12=10,

，正方形/吸力的面积是10.

故答案为：10.

【点^青】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理.利用数形结合的思想是解答本题的

关键.

三、解答题

1、(1)矩形，见解析；(2)3

【分析】

(1)利用/MS判定△463△反石从而得到肥=仍由已知可得四边形45FC是平行四边形，BC=

AF,根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形/6R7是矩形；

(2)先证△/应'是等边三角形，可得AB=4E=EF=3.

【详解】

解：（1）四边形46”是矩形，理由如下:

V四边形/功力是平行四边形，

/.AB//CD,

:./BAE=/CFE,AABE=AFCE,

为反?的中点,

：.EB=EC,

在△力成和△凡F中，

.NBAE=NCFE

-ZABE=NFCE,

BE=EC

:.XABE^XFCECAAS),

：.AB=CF.

'：AB//CF,

四边形力跖。是平行四边形，

-：AD=BC,AD=AF,

：.BC=AF,

...四边形力“是矩形.

(2)•.•四边形/物'C是矩形，

：.BC=AF,AE=EF,BE=CE,

：.AE=BE,

VZABC=600,

△/鳍是等边三角形，

：.AB=AE=3,

：.EF=3.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与

判定，掌握以上性质定理是解题的关键.

2、(1)四边形C眦是菱形，理由见解析；(2)四边形是矩形，理由见解析；(3)四边形

是正方形，理由见解析

【分析】

(1)先证明四边形而冰是平行四边形，再由矩形的性质可得〃伊0G即可证明平行四边形人是菱

形；

(2)先证明四边形C0加是平行四边形，再由菱形的性质可得/加仁90°,即可证明平行四边形。加

是矩形；

(3)先证明四边形C〃如是平行四边形，再由正方形的性质可得劭，/C,DO=OC,即可证明平行四边形

况"是正方形；

【详解】

解：(1)四边形ca*是菱形，理由如下：

,JDP//OC,旦DP=0C,

...四边形如是平行四边形，

又•.•四边形/物是矩形，

：.OD=OC,

...平行四边形比如是菱形；

(2)四边形caw是矩形，理由如下：

,：DP//OC,&DP=OC,

...四边形是平行四边形，

又..•四边形力8切是菱形,

:.BD工AC,

:./D0C=9G,

•••平行四边形颇产是矩形；

(3)四边形是正方形，理由如下：

'：DP//0C,豆DP=OC,

...四边形6W是平行四边形，

又：四边形4成》是正方形，

：.BDVAC,DWOC,

:./D0090。，平行四边形。〃户是菱形，

菱形OCDP是正方形.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，解题的关键在于能够

熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定条件.

3、(1)见解析；(2)邠面积的最小值为装

16

【分析】

(1)连接BD,证明△/!,娱△〃伤，则可得8沪阴；/MBA=NNBD,由菱形的性质易得乙吩60°,从

而可证得结论成立；

(2)过点6作肱V于点反

【详解】

(1)证明：如图所示，连接切，

AB

在菱形力驱中，ZDAB=QO°,

：.4ADB=』NDB=6Q°,

故是等边三角形，

：.AB=BD,

又DN^CN=l,

：.AM=DN,

在阳和△〃场中，

AM=DN

<Z.MAB=NNDB=60°,

AB=DB

:AAM曜XDNB(SIS),

：.BM=BN,/MBA=/NBD,

又/MBA+NDBM=60°,

.•.NA®方/颂=60°,

即N.姐匕60°,

.•.△51仰是等边三角形；

(2)过点6作应'L限于点£.

设BM=B4MN=x,

则BE=旦,

2

故、MN?BE昱x2,

Ufirity2