2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷（学生版+解析版）

2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1.（2分）9的相反数是（）

11

A.-B.C.9D.-9

99

2.（2分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

2_/

方/j:0

___V

±1D.CH

A.~B.~~~~C.

3.（2分）据报道，截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000次,

将数据3270000用科学记数法表示为（）

A.32.7X105B.0.327X107C.3.27Xio5D.3.27X106

4.（2分）下列计算结果正确的是（）

A.〃4加2=。8B.6。-2a=4。

C.〃6+〃2=々3D.（-办）2=-

5.（2分）如图，直线6被直线c所截,若a〃6,/1=70°,则N2的度数是（）

A.70°B.100°C.110°D.120°

6.（2分）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/疝，力，数据整理如

T：15,17,23,15,17,17,19,21,21,,18,对于这组数据，下列说法正确的是（）

A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18

7.（2分）如图，△ABC与△AiBiCi位似，位似中心是点0,若OA：04=1：2,则△ABC

与△AiBC的周长比是（）

8.（2分）一次函数y=-3x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（2分）下列说法正确的是（）

A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，S单2=0.3,s乙2=。02,则甲组数据更稳定

10.（2分）如图，△48C是。0的内接三角形，AB=2y/3,ZACB=60°,连接。A,OB,

则通的长是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）

11.（3分）分解因式：ax2+2ax+a=.

12.（3分）不等式组卜一5<1的解集是____________________.

t3x-5>0

18

13.（3分）化简：（————）・（x+4）=

X-4%z-16

14.（3分）如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函数（kWO）图

象上的一点，过点A分别作AMLx轴于点M,ANLy轴于点N.若四边形AMON的面

积为12,则k的值是

15.（3分）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销

售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，

那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大.

16.（3分）如图，ZVIBC中，AC=3,BC=4,AB=5.四边形ABEF是正方形，点。是直

线BC上一点，且C£>=1.P是线段OE上一点，且尸过点尸作直线/与BC

平行，分别交A8,AO于点G,H,则GH的长是.

三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）

]

17.（6分）计算：（TT-2021）0-3tan30°+|1-V3|+（-）-2.

18.（8分）如图,在菱形A8C£>中，点M,N分别是边BC,OC上的点,8M=沙0£>2沙C.连

接AM,AN,延长AN交线段BC延长线于点E.

（1）求证：△ABM也△AON；

（2）若A£>=4,则ME的长是.

D

19.（8分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用4,B,

C依次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型

号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.

（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.

（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.

四、解答题（每小题8分，共16分）

20.（8分）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全

校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A,B,C,。四个等级，随机抽取了

部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图.

学生成绩等级条形统计图

（1）在这次调查中一共抽取了名学生；

（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，。等级对应的圆心角度数是度；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等

级.

21.（8分）某校团体操表演队伍有6行8歹U,后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加

的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？

五、解答题（本题10分）

22.（10分）如图，A8是。。的直径，4。与。。交于点A,点E是半径上一点（点E

不与点O,4重合）.连接OE交。。于点C,连接CA,CB.若C4=CO,ZABC=ZD.

(1)求证：是OO的切线；

(2)若AB=13,CA=CD=5,则AO的长是

六、解答题(本题10分)

23.(10分)如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，直线y="+15(ZW0)经过点C(3,

6),与x轴交于点4,与)，轴交于点艮线段CD平行于x轴，交直线y=方于点。，连

接OC,AD.

(1)填空：k=，点A的坐标是(,)；

(2)求证：四边形OAOC是平行四边形；

(3)动点P从点O出发，沿对角线OO以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到

点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O

运动，直到点。为止.设两个点的运动时间均为f秒.

①当1=1时，XCPQ的面积是.

②当点P,Q运动至四边形CMQ为矩形时，请直接写出此时/的值.

七、解答题(本题12分)

24.(12分)在AABC中，AB=AC,/XCQE中，CE=CD(CE^CA),BC=CD,ZD=a,

NACB+NECC=180°,点B,C,E不共线，点P为直线OE上一点，且

(1)如图1,点D在线段BC延长线上，则NEC£>=,NABP=

（用含a的代数式表示）；

（2）如图2,点A,E在直线BC同侧，求证：BP平分NABC；

（3）若/ABC=60°,BC=V3+1,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当

BPLDE时，直线PC交BD于点G,点M是PD中点，请直接写出GM的长.

25.（12分）如图，平面直角坐标系中，0是坐标原点，抛物线y=-f+6x+c与x轴交于4、

B两点（点A在点B的左侧），点8坐标是（3,0）.抛物线与y轴交于点C（0,3）,点

P是抛物线的顶点，连接PC.

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.

（2）直线BC与抛物线对称轴交于点。，点。为直线BC上一动点.

①当的面积等于△PC。面积的2倍时，求点Q的坐标：

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点。作直线/垂直于AQ,直线交

17

直线/于点F,点G在直线且AG=4。时，请直接写出GF的长.

备用图

2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1.（2分）9的相反数是（）

11

A.-B.一2C.9D.-9

99

【解答】解：9的相反数是-9,

故选：D.

2.（2分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

__k

A.LIB.I_1__1_1c.1—I——10.LZ0

【解答】解：从几何体的正面看、底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形.

故选:B.

3.（2分）据报道，截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000次,

将数据3270000用科学记数法表示为（）

A.32.7X105B.0.327X107C.3.27XIO5D.3.27X106

【解答】解：3270000=3.27X106.

故选：D.

4.（2分）下列计算结果正确的是（）

A.a4,a2=asB.6a-2a=4a

C.a6-i-a2=a3D.(-2b)2=-

【解答】解:A.a4-a2=a6,故本选项错误;

B.6a-2a=4a,故本选项正确；

C.a6^a2=a4,故本选项错误；

D.（-办）2=。％2,故本选项错误;

故选：B.

5.（2分）如图，直线a,b被直线c所截，若“〃江/1=70°,则N2的度数是（)

A.70°B.100°C.110°D.120°

【解答】解：如图，

'：a//b,

/.Zl=Z3=70°,

VZ2+Z3=180°,

.,.Z2=180°-/3=180°-70°=110°.

6.（2分）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/〃皿），数据整理如

下：15,17,23,15,17,17,19,21,21,18,对于这组数据，下列说法正确的是（）

A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18

【解答】解：以上数据重新排列为：15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,

17+18

.•.众数为17、中位数为=17.5,

故选：A.

7.（2分）如图，△ABC与△AiBiCi位似，位似中心是点。，若OA：OA\=\-.2,则△ABC

与△AiBiCi的周长比是（)

G

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：V2

【解答】解：•••△ABC与△A181C］位似,

AAABC^AAiBiCi，AC//A1C1，

AAOC^AAiOCi，

.*__££_1

41cl0412

.,.△ABC与△A181C1的周长比为1：2,

故选：A.

8.（2分）一次函数），=-3x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：•.•一次函数y=-3x+l,k=-3,6=1,

.•.该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，

故选：C.

9.（2分）下列说法正确的是（）

A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s单2=0.3,s乙2=0.02,则甲组数据更稳定

【解答】解：A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，

不合题意；

8.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；

C.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=。3,S乙2=0.02,则乙组数据更稳定，故原

说法错误，不合题意；

故选：c.

10.（2分）如图，ZXABC是。。的内接三角形，AB=2®ZACB=60°,连接OA,OB,

则循的长是（）

【解答】解：过点。作OO1_A8于。，

则AD=DB=^AB=V3,

由圆周角定理得：ZAOB=2ZACB=nO0,

：.ZAOD=60°,

.CAADi/30

•3=5300=^=2,

T

.♦•丽的长=^^=晶

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）

11.（3分）分解因式：〃/+24+。=〃（x+1）2.

【解答】解：。/+2分+。，

=a（?+2x+l）--（提取公因式）

=。（元+1）2.--（完全平方公式）

12.（3分）不等式组卜一5<1的解集是?wxV6.

13%-5>0~~3

【解答】解：解不等式得：x<6,

解不等式3x-520,得：x>|,

则不等式组的解集为勺<x<6,

3

5

故答案为：-<x<6.

18

13.（3分）化简：（---——----）・（x+4）=1

x-4xz-16

18

【解答】解：（---——----）・（x+4）

x-4xz-16

%+4—8/.x

=^+4）（7-4），（%+4）

=（X+标"（X+4）

=1,

故答案为：1.

14.（3分）如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函数）=5a¥o）图

象上的一点，过点A分别作AMJ_x轴于点M,AN_Ly轴于点N.若四边形AMON的面

积为12,则k的值是-12

【解答】解：：四边形AMON的面积为12,

：.\k\=\2,

•反比例函数图象在二四象限，

：.k=-12,

故答案为：-12.

15.（3分）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销

售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件,

那么将销售价定为11元时,才能使每天所获销售利润最大.

【解答】解：设销售单价定为X元(XN9),每天所获利润为y元，

则了=[20-4(%-9)p(x-8)

=-4/+88x-448

=-4(x-11)2+36,

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，

故答案为11.

16.(3分)如图，△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5.四边形ABEF是正方形，点。是直

线BC上一点，且CO=1.P是线段OE上一点，且尸。=|z)E.过点尸作直线/与

15

平行，分别交A8,AO于点G,H,则GH的长是二或二.

~3~9-

【解答】解：:△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,

：.AC2+BC2=25,AB2=25,

：.AC2+BC2^AB2,

••.△ABC为直角三角形，

①当点。位于C点左侧时，如图：

设直线/交BE于点

E

Yl〃BC,

BM

ZMGB=ZABC

BE~DiE'9

又・・•四边形ABE尸是正方形，且尸£>1=|5及

：.BE=AB=5fZEBA=90°,

解得：BM*,

♦：NMGB=/ABC,ZEBA=ZACB=90°,

•••△G3Ms△304,

.GBBC

BM~AC"

.GB4

••Io-=］，

—3

3

40

解得：GB=-g-,

：.AG=AB-GB=I，

：.AAGHsAABDi，

・GHAG

^BD1-AB"

VCDi=l,

；・BDi=BC-CDi=3,

5

・/_亘

••一，

35

解得：GH=Q；

②当点。位于C点右侧时，如图:

.GHg

“5-5’

解得：GH=l，

15

综上，G”的长为一或一,

39

故答案为：二或二.

39

三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）

17.（6分）计算：（TT-2021）0-3tan30°+|1-V3|+（1）-2.

【解答】解：（『2021）0-3tan30°+|1-V3|+（1）2

F5

=1-3x^+V3-l+4

=1—V3+A/3-1+4

=4.

18.（8分）如图,在菱形ABCD中，点M,N分别是边BC,OC上的点,BM=^BC,DN=^DC.连

接AM,AN,延长AN交线段3c延长线于点£

（1）求证：△ABM名△AOV；

7

（2）若AO=4,则ME的长是-.

-3~

4-------------7D

B

ME

【解答】解：(1)证明：・・,四边形A8CO为菱形,

:.AB=AD=BC=CD9NB=/D,

33

■:BM=+BC,DN=3DC,

:.BM=DN,

在aABM和中，

(AB=AD

jz.B=Z.D，

\BM=DN

：.△ABA/gAAD7V(SAS),

(2)•・•四边形48CD为菱形，

:.AD//CE9

:./DAN=/CEN,

,/NAND=/CNE,

：.XANDs[\ENC,

.ADDN

••CE-CN'

3

■:DN=沙C,

#ADDN3

"CE~CN~1

.43

CE-1

4

3

•；BM=斜C,

1

：.MC=^BC=\,

q

7

:・ME=MC+CE=*

一7

故答案为：

3

19.(8分)某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号(分别用A,8,

。依次表示这三种型号).小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型

号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.

(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是-.

（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.

1

【解答】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是I，

…1

故答案为：—;

（2）列表如下：

ABC

A(4,A)(8,A)(C,A)

B(A,B)(.B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结

果，

所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为1=

93

四、解答题（每小题8分，共16分）

20.（8分）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全

校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A,B,C,。四个等级，随机抽取了

部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图.

学生成绩等级条形统计图

（1）在这次调查中一共抽取了80名学生;

（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，。等级对应的圆心角度数是36度:

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等

级.

【解答】解：⑴324-40%=80（名）,

故答案为：80；

（2）8等级的学生为：80X20%=16（名）,

补全条形图如下，

学生成绩等级条形统计图

（3）。等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°x4=36°；

（4）2000x2^4=600（名），

答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级.

21.（8分）某校团体操表演队伍有6行8歹U，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加

的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？

【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为X,

根据题意，得：（6+x）（8+x）-6X8=51,

整理，得：/+14x-51=0,

解得xi=3,X2=-17（舍），

答：增加了3行3歹IJ.

五、解答题（本题10分）

22.（10分）如图，AB是的直径，AO与0。交于点A,点E是半径。4上一点（点E

不与点O,4重合）.连接。E交。。于点C,连接CA,CB.若C4=CZ）,ZABC=ZD.

（I）求证：AO是的切线；

120

（2）若A8=13,CA=CD=5,则AD的长是一.

13

【解答】解：(1)..YB是的直径，

AZACB=90°,

：.ZBAC+ZABC=90a.

又：CA=C0，

：.ZD=ZCAD,

又•.•/ABC=N£>,

AZCAD+ZBAC^9Q°,

即OAA.AD,

是OO的切线；

(2)由(1)可得NABC+/BAC=90°=ND+NDEA,

'：ZABC^ZD,

：.ZBAC^ZDEA,

：.CE=CA=CD=5,

：.DE=\0,

在Rt^ABC中，由勾股定理得，

BC=yjAB2-AC2=V132-52=12,

VZACB=ZDAE=90°,ZABC=ZD,

：.△ABC—MEDA,

.ABBC

••=,

EDAD

「1312

即—=,

10AD

解得，等.

六、解答题(本题10分)

23.(10分)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线>=丘+15(AW0)经过点C(3,

6),与x轴交于点A,与y轴交于点艮线段CD平行于x轴，交直线尸会于点£>,连

接OC,AD.

(1)填空：k=-3,点4的坐标是(5,0)；

(2)求证：四边形。4CC是平行四边形；

(3)动点P从点O出发，沿对角线OO以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直到

点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点0

运动，直到点O为止.设两个点的运动时间均为『秒.

①当f=l时，△CP。的面积是12.

②当点P,0运动至四边形CR1。为矩形时，请直接写出此时f的值.

【解答】解：(1)•..直线y=fcv+15(%#0)经过点C(3,6),

二3%+15=6,

解得&=-3,

即直线的解析式为y=-3x+15,

当y=0时，x=5,

(5.0),

故答案为：-3,5,0：

(2)1•线段C。平行于x轴，

二。点的纵坐标与C点一样，

又点在直线产本上，

当y=6时，x=8,

即D(8,6),

ACD=8-3=5,

'：OA=5,

J.OA^CD,

又：OA〃C£>,

四边形04OC是平行四边形；

(3)①作CH_L。。于H,

3

・••设”点的坐标为（机，-m）,

4

33

ACH2=（"2-3）2+（一加-6）2,。”2=（m-8）2+（一相-6）2,

44

由勾股定理，得CH2+DH2=CD2,

33

即（/n-3）2+（一加-6）2+（〃？-8）2+（一机-6）2=52,

44

整理得〃?=^或8（舍去），

:.CH=3,

9：OD=V82+62=10,

・••当f=l时，PQ=。。-Lf=10-1-1=8,

S&CPQ=»Q・CH=1X8X3=12,

故答案为：12；

当时，PQ=l0-2t,

当5WtW10时，PQ=2t-10,

当点P,。运动至四边形C%Q为矩形时，PQ=AC,

\'AC=V（5-3）2+62=2V10,

当0W/W5时，10-2r=2V10,

解得r=5-V10,

当5Wf<10时，It-I0=2A/10,

解得Z=5+V10,

综上，当点P,Q运动至四边形C%Q为矩形时，的值为5-屈或5+VIU.

七、解答题（本题12分）

24.（12分）在△ABC中，AB=AC,△<:£）£中，CE=CD（CE，CA）,BC=CD,ZD=a,

NACB+/ECO=180°,点8,C,E不共线，点P为直线£>E上一点，且PB=PD.

（1）如图1,点。在线段8c延长线上，则/ECD=180"-2a,/48P=a（用

含a的代数式表示）；

（2）如图2,点A,E在直线BC同侧，求证：BP平分NABC；

（3）若NABC=60°,V3+1,将图3中的△CZJE绕点C按顺时针方向旋转，当

8P_LOE时，直线PC交30于点G,点用是中点，请直接写出GM的长.

图1图2图3

【解答】（1）解：如图1中,

图1

,:CE=CD,

/.ND=NE=a,

：.ZECD=180°-2a,

JNECB=NE+/D=2a,

*：AB=AC,

：.ZABC=NACB=2a,

•:PB=PD,

:./PBD=/D=a,

AZABP=ZABC-/PBD=a,

故答案为：180°-2a,a.

(2)证明：如图2中，连接BD.

图2

,:CB=CD,PB=PD,

:.NCBD=NCDB,NPBD=NPDB,

：.NPBC=/PDC=a,

丁ZABC=2a,

：.NABP=NPBC=a,

・・・P8平分乙48c.

(3)解：如图3-1中，设B尸交AC于J.

B

图3.1

VBP1PD,BP=PD,

•••△P3O是等腰直角三角形,

*：CB=CD,PB=PD,

JPG垂直平分线段BG,

:.BG=DG,

*：PM=MD,

1

VZABC=ZACB=60°,

AZECD=180°-60°=120°,ZVICB是等边三角形,

•：CE=CD,

AZCDE=30°,

：.ZPBC=ZPDC=30°,

AZBJC=90°