2022年江苏省无锡市玉祁初级中考数学最后一模试卷含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

2.如图，取一张长为。、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形

相似，则原长方形纸片的边。力应满足的条件是（）

第一次对折第二次对折

B.a-2bC.a-\[lbD.a-2b

3.下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.下列运算正确的是（

A.(a2)3=a!C.(3ab)2=6a2b2D.a64-a3=a2

5.如图，已知G）O的半径为5,AB是。O的弦，AB=8,Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接

PQ,则PQ的最小值为（）

2

6.下列实数0,百，〃，其中，无理数共有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.关于x的方程,=_无解，则k的值为（）

A.()或,B.-1C.-2D.-3

8.如图，AB/7CD,FE±DB,垂足为E,Zl=60°,则N2的度数是（)

A.60°B.50°C.40°D.30°

9.如图，四边形ABCD内接于。O,AD/7BC,BD平分NABC,ZA=130°,则NBDC的度数为()

C.110°D.115°

10.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，

任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子

中小球的个数n为（）

A.20B.24C.28D.30

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知：正方形ABCD.

求作：正方形ABCD的外接圆.

作法：如图，

（1）分别连接AC,BD,交于点O；

（2）以点O为圆心，OA长为半径作OO,OO即为所求作的圆.

请回答：该作图的依据是___________________________________

12.如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABC，DC//AB,测得迎水坡的坡角a=30。，已知背水坡的坡比为

1.2：1,坝顶部DC宽为2m，坝高为6”?,则坝底A5的长为m.

x+5>l+2x

14.不等式组.c.的解集是_.

3x+2,,4x

15.如图，在△ABC中，AB=AC,BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2,AC=6,那么CE=

16.关于x的一元二次方程办2一2犬+1=0有实数根，则a的取值范围是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在AABC中，ZC=90°,以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别

交AC,AB于点E,F.

（1）若NB=30。，求证：以A,O,D,E为顶点的四边形是菱形；

（2）填空：若AC=6,AB=10,连接AD,则。O的半径为,AD的长为.

18.（8分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1）,完全开启后，把手AM的仰角a=37。，此时把手端点

34

A、出水口B和点落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2.（参考数据：sin370=-,cos370=y,

3、

tan37°=-）

4

⑴求把手端点A到BD的距离;

⑵求CH的长.

图2

19.(8分)已知：如图，梯形A5C£>,DC//AB,对角线4C平分NBCD,点E在边C8的延长线上，EAJ.AC,垂足

为点A.

(1)求证：8是EC的中点；

(2)分别延长C。、EA相交于点尸，若Aa=OC・EC,求证：ADtAF=ACzFC.

如图1,抛物线y=-gx2+g6x+e与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点.经过

点A的直线1与y轴交于点D(0,-也).

(1)求A、B两点的坐标及直线1的表达式；

(2)如图2,直线1从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线1与x轴交于点E,

与y轴交于点F,点A关于直线1的对称点为A，，连接FA，、BAS设直线1的运动时间为t(t>0)秒.探究下列问

题：

①请直接写出A，的坐标(用含字母t的式子表示)；

②当点A，落在抛物线上时，求直线I的运动时间t的值，判断此时四边形A，BEF的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，探究：在直线1的运动过程中，坐标平面内是否存在点P,使得以P,ASB,E为顶点的四

边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

X

21.（8分）如图，已知△ABC内接于。O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂

足为F.连接OC.

（1）若NG=48。，求NACB的度数；

⑴若AB=AE,求证：ZBAD=ZCOF；

1S.

（3）在（1）的条件下，连接OB,设AAOB的面积为Si,AACF的面积为Si.若tanNCAF=一，求丁的值.

2S2

22.(10分)如图，在RtAABC中，NACB=90°,CO于点O,于点8,BE=CD,连接CE,DE.

(1)求证：四边形C05E为矩形；

(2)若4C=2,tanZACD=-,求。E的长.

2

23.（12分）为评估九年级学生的体育成绩情况，某校九年级500名学生全部参加了“中考体育模拟考试”，随机抽取

了部分学生的测试成绩作为样本，并绘制出如下两幅不完整的统计表和频数分布直方图：

成绩X分人数频率

25<x<3040.08

30<x<3580.16

35<x<40a0.32

40<x<45bc

45<x<50100.2

(1)求此次抽查了多少名学生的成绩；

(2)通过计算将频数分布直方图补充完整;

(3)若测试成绩不低于40分为优秀，请估计本次测试九年级学生中成绩优秀的人数.

24.计算：(-1)2_2sin45°+(n-2018)°+|-<7|

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

对于一元二次方程a/+bx+c=0,当A=/72-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

即16-4k=0,解得：k=4.

考点：一元二次方程根的判别式

2、B

【解析】

由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为匕，宽为La,然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可

求出结论.

【详解】

解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为〃，宽为La,

4

•••小长方形与原长方形相似，

a_b

‘F'

4

a=2b

故选B.

【点睛】

此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键.

3、B

【解析】

简单几何体的三视图.

【分析】左视图是从左边看到的图形，因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，

正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个.故选B.

4,B

【解析】

分析：本题考察幕的乘方，同底数幕的乘法，积的乘方和同底数零的除法.

解析：(/)'=/，故A选项错误；标.“二小故B选项正确；(3必)2=9标从故©选项错误;小23=。3故口选项错误.

故选B.

5,B

【解析】

连接OP、OA,根据垂径定理求出AQ,根据勾股定理求出OQ,计算即可.

【详解】

由题意得，当点P为劣弧AB的中点时，PQ最小,

连接OP、OA,

由垂径定理得，点Q在OP上，AQ=-AB=4,

2

在RtAAOB中，OQ=JOA2_AQ2=3,

.,.PQ=OP-OQ=2,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键.

6、B

【解析】

根据无理数的概念可判断出无理数的个数.

【详解】

解：无理数有：无.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.

7、A

【解析】

方程两边同乘2x(x+3),得

x+3=2kx,

(2k-l)x=3,

丁方程无解，

•••当整式方程无解时,2k-1=0,k=t,

当分式方程无解时，①x=0时，k无解，

②x=-3时，k=0,

，k=0或，时，方程无解，

故选A.

8、D

【解析】

由EFJ_BD,Zl=60°,结合三角形内角和为180。即可求出ND的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论.

【详解】

解：在ADEF中，Zl=60°,ZDEF=90°,

:.ZD=180°-ZDEF-Zl=30°.

VAB#CD,

.*.Z2=ZD=30°.

故选D.

【点睛】

本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180。,解题关键是根据平行线的性质，找出相等、互余或互补的角.

9、B

【解析】

根据圆内接四边形的性质得出NC的度数，进而利用平行线的性质得出NABC的度数，利用角平分线的定义和三角形

内角和解答即可.

【详解】

■:四边形ABCD内接于。O,ZA=130°,

.,.ZC=180o-130°=50°,

VAD//BC,

.".ZABC=180°-ZA=50°,

VBD平分NABC,

ZDBC=25°,

:.ZBDC=180o-25°-50o=105°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出NC的度数.

10、D

【解析】

,9

试题解析：根据题意得一=30%,解得n=30,

n

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.

故选D.

考点：利用频率估计概率.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一

个圆上，这个圆叫四边形的外接圆.

【解析】

利用正方形的性质得到OA=OB=OC=OD,则以点O为圆心，OA长为半径作。O,点B、C、D都在。O上，从而

得到。O为正方形的外接圆.

【详解】

,•,四边形ABCD为正方形，

.*.OA=OB=OC=OD,

.,-oo为正方形的外接圆.

故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在

同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作

图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐

步操作.

12、(7+673)

【解析】

过点C作CELAB,DF±AB,垂足分别为：E,F,得到两个直角三角形和一个矩形，在R3AEF中利用DF的长,

求得线段AF的长；在RtABCE中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的长.

【详解】

解：如图所示：过点C作CE_LAB,DF_LAB,垂足分别为：E,F,

•••坝顶部宽为2m,坝高为6m,

；.DC=EF=2m,EC=DF=6m,

Va=30°,

ECr

BE=----------=6。3(m)

tan30°

•••背水坡的坡比为1.2：1,

.DF1.21.2

•・---=----=---，

AFAF1

解得：AF=5(m),

贝(JAB=AF+EF+BE=5+2+6g=(7+673)m,

故答案为(7+66)m.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解.

13、(x-3)(x+l)；

【解析】

根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x2-3x+x-3

=x2-2x-3=(x-3)(x+1)；或先把前两项提公因式，然后再把X-3看做整体提公因式：原式=x(x-3)+(x-3)=

(x-3)(x+1).

故答案为(x-3)(x+1).

点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般

步骤：一提(公因式)、二套(平方差公式"―。2=(4+与(4一切，完全平方公式片±2"+〃=(“±4)、三检

查(彻底分解)，进行分解因式即可.

14、2<x<l

【解析】

分别解两个不等式得到x<l和x>2,然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集.

【详解】

fx+5>1+2x(1)

'[3x+2,4x⑵

解①得xVI,

解②得x>2,

所以不等式组的解集为2<x<l.

故答案为2秘<1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共

部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到.

【解析】

VAB=AC,AD±BC,

.,.BD=CD=2,

TBE、AD分别是边AC、BC上的高,

.•.ZADC=ZBEC=90°,

Vzc=zc,

.,.△ACD^ABCE,

.ACCD

••—,

BCCE

.62

••=f

4CE

4

，CE=一，

3

4

故答案为

16、a<l且a邦

【解析】

••・关于x的一元二次方程ax2-2x+l=0有实数根，

9

</、2解得：aW1,

♦=(-2)-4心0

的取值范围为：@<1且〃。0.

点睛:解本题时，需注意两点：(1)这是一道关于“x”的一元二次方程，因此QW。;

(2)这道一元二次方程有实数根，因此-=(-2)2-4。20；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽

略.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)见解析；(2)—,3A/5

4

【解析】

(1)先通过证明△AOE为等边三角形，得出AE=OD,再根据，，同位角相等，两直线平行”证明AE//OD,从而证得四边

形AODE是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形为菱形”即可得证.

(2)利用在RtAOBD中，sin/B=M=|■可得出半径长度，在RtA0DB中BD=JQB2_T)D2,可求得BD的长，由

UD5Y

CD=CB-BD可得CD的长，在RTAACD中，AD=^^^2,即可求出AD长度.

【详解】

解：（1）证明:

□ipB

连接OE、ED、OD,

在RtAABC中，•.•NB=30。，

.,.ZA=60°,

VOA=OE,.♦.△AEO是等边三角形，

.*.AE=OE=AO

VOD=OA,

.\AE=OD

•；BC是圆O的切线，OD是半径，

.,.ZODB=90°,又,.•NC=90°

，AC〃OD,又TAE=OD

•••四边形AODE是平行四边形，

VOD=OA

•••四边形AODE是菱形.

在RtAABC中，VAC=6,AB=10,

/.sinZB=-^-=—,BC=8

AB5

TBC是圆。的切线，OD是半径，

.•.ZODB=90°,

在R3OBD中，sinZB=—,

OB5

.*.OB=^OD

3

VAO+OB=AB=10,

S

.,.OD+—OD=10

3

.*.OD=—

4

•'-BD=7OB2-OD2

=5

.*.CD=CB-BD=3

.,.AD=7AC2+CD2

=V62+32

=3或.

【点睛】

本题主要考查圆中的计算问题、菱形以及相似三角形的判定与性质

18、(1)12；(2)CH的长度是10cm.

【解析】

(1)、过点A作ANJ.于点N,过点M作MQ_LAN于点Q,根据RSAMQ中a的三角函数得出得出AN的长

度；

(2)、根据AANB和小AGC相似得出DN的长度，然后求出BN的长度，最后求出GC的长度，从而得出答案.

【详解】

解：(1)、过点A作ANL8O于点N,过点M作于点Q.

AO3

..---=一,

AB5

3

：.49=。8=6,

5

:.AN=12.

(2)、根据题意：NB//GC.

/.AA/VB-MGC.

.BN_AN

''~GC~~AG'

♦:MQ=DN=8,

：.BN=DB-DN=4.

•4_12

"GC"36,

GC=12.

/.Cf/=30-8-12=10.

答：CH的长度是10cm.

点睛：本题考查了相似三角形的应用以及三角函数的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测

量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模,

引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题.

19、(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出N5C4=N8AC,进而可得出8A=8C,根据等角的余角相等结合等

角对等边，即可得出A5=BE,进而可得出此题得证；

(2)根据AGSGEC结合NAC〃=NECA可得出△ACOSAECA,根据相似三角形的性质可得出NAOC=NEAC=90。,

进而可得出NFZM=NE4C=90。，结合NAfD=NCE4可得出AA尸。再利用相似三角形的性质可证出AO：

AF=AC：FC.

【详解】

(1)'JDC//AB,：.ZDCA=ZBAC.

VAC平分N5C。，:.NBCA=NBAC=NDCA,：.BA=BC.

VZBAC+ZBAE=90°,ZACB+ZE=90°,：.NBAE=NE,：.AB=BE,:.BE=BA=BC,是EC的中点；

(2),:AC^DGEC,：.—=—.

ECAC

'：ZACD=ZECA,:.AACDsMCA,NAOC=NEAC=90°,二4c=90°.

又,.•NAFO=NC/;>4,J.AAFD^^CFA,AAZ）：AF=ACtFC.

本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)利用等角对等边

找出A4=5C、BE=BA；(2)利用相似三角形的判定定理找出△

20、(1)A(-1,0),B(3,0),y=-百x-垂)；

(2)①A，(3t-i,&t)；②ABEF为菱形，见解析；

22

(3)存在，p点坐标为(之,史)或(L-逋).

3333

【解析】

(1)通过解方程-^x2+g石x+&=0得A(-1,0),B(3,0),然后利用待定系数法确定直线1的解析式；

(2)①作A，H_Lx轴于H,如图2,利用OA=1,OD=g得到NOAD=60。，再利用平移和对称的性质得到EA=

EA，=t,NA，EF=NAEF=60。，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出A，H,EH即可得到A，的坐标；

②把A'(3-1,It)代入y=-@x2+宜lx+6得-电(-t-1)2+^1(-t-1)+73=—t,解方程

223332322

得到t=2,此时A，点的坐标为(2,6),E(l,0),然后通过计算得到AF=BE=2,ATABE,从而判断四边形A，BEF

为平行四边形，然后加上EF=BE可判定四边形ABEF为菱形；

3

(3)讨论：当A，BJ_BE时，四边形A，BEP为矩形，利用点A，和点B的横坐标相同得到彳t-1=3,解方程求出t得

2

到A，(3,递)，再利用矩形的性质可写出对应的P点坐标；当A，B_LEA，，如图4,四边形A，BPE为矩形，作A，Q_Lx

3

轴于Q,先确定此时A，点的坐标，然后利用点的平移确定对应P点坐标.

【详解】

(1)当y=0时，-x+G=0,解得xi=-1,X2=3,则A(T,0),B(3,0),

33

设直线1的解析式为y=kx+b,

l~k+b=Qk=—5/3

把A(-1,0),D((),-石)代入得｛r，解得｛广

b=-^3h=-y/3

直线1的解析式为y=-&x-百;

(2)①作A，H_Lx轴于H,如图,

VOA=1,OD=6

.,.ZOAD=60°,

•；EF〃AD,

:.ZAEF=60°,

•.•点A关于直线I的对称点为AS

.".EA=EA*=t,ZA,EF=ZAEF=60°,

在RtAAEH中，EH=-EAf=-t,A,H=J3EH=-t,

222

.13

.\OH=OE+EH=t-l+-t=-t-1,

22

.,•A*(—t-1>t)；

22

②把A，(L-l,Bt)代入V=-@x2+空X+百得一旦(-t-1)2+吏_(-t-1)+G=1t,

223332322

解得ti=0(舍去)，t2=2,

••・当点A，落在抛物线上时，直线1的运动时间t的值为2；

此时四边形A，BEF为菱形，理由如下：

当t=2时，A，点的坐标为(2,百)，E(1,0),

■:ZOEF=60°

.,.OF=V3OE=V3,EF=2OE=2,

...F(0,y/3),

...A下〃x轴，

VAT=BE=2,AT/7BE,

四边形ABEF为平行四边形,

而EF=BE=2,

，四边形A'BEF为菱形；

当ABLBE时，四边形A，BEP为矩形，则-1=3,解得t=号，则A，（3,生8）,

233

5

VOE=t-1=-,

3

•••此时P点坐标为（°,迪）；

33

当A，BJ_EA，，如图，四边形A，BPE为矩形，作A，Q_Lx轴于Q,

:.ZA,EB=60°,

...NEBA，=30。

n3

:.BQ=百AQ=V3.—t=-t,

22

33»4

—t-1+—1=3,解得t=一,

223

此时A'(1,^1),E(-,0),

33

点A，向左平移2个单位，向下平移2叵个单位得到点E,则点B（3,0）向左平移2个单位，向下平移幽个单位

3333

得到点P,则P（1，-2叵），

33

综上所述，满足条件的P点坐标为（』，生8）或（［，一正）.

3333

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性

质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质.

3

21、（1）48°（1）证明见解析（3）-

4

【解析】

（1）连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；

（1）先根据等腰三角形的性质得：ZABE=ZAEB,再证明NBCG=NDAC,可得CD=PB=PD，

则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；

（3）过O作OGLAB于G,证明△COF^AOAG,则OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则OA=OC=lx-a,

3

根据勾股定理列方程得：（lx-a）'=x'+a',则a=：x,代入面积公式可得结论.

4

【详解】

（1）连接CD,

VAD是OO的直径，

.,.ZACD=90°,

/.ZACB+ZBCD=90o,

VAD±CG,

:.ZAFG=ZG+ZBAD=90°,

VZBAD=ZBCD,

.,.ZACB=ZG=48°；

（1）VAB=AE>

...NABE=NAEB,

VZABC=ZG+ZBCG,NAEB=NACB+NDAC,

由（1）得：NG=NACB,

.,.ZBCG=ZDAC,

：•CD=PB>

TAD是。O的直径，ADJLPC,

：,CD=PD，

：,CD=PB=PD，

.,.ZBAD=1ZDAC,

VZCOF=1ZDAC,

.,.ZBAD=ZCOF；

(3)过O作OG_LAB于G,设CF=x,

..1CF

.tanZCAF=—=,

2AF

.♦.AF=lx,

VOC=OA,由(1)得：NCOF=NOAG,

VZOFC=ZAGO=90°,

.'.△COF^AOAG,

.*.OG=CF=x,AG=OF,

设OF=a,贝!]OA=OC=lx-a,

RtACOF中，CO^CF'+OF1,

:.(lx-a)Z+al

3

a=­x,

4

.