专题15平行四边形的判定(原卷版+解析)

专题15平行四边形的判定目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一数图形中平行四边形的个数 1考点二求与已知三点组成平形四边形的点的个数 3考点三证明四边形是平行四边形 4考点四全等三角形拼平行四边形问题5知识导航知识导航必备知识点两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；对角线互相平分的四边形是平行四边形。补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。考点一数图形中平行四边形的个数1．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．11个2．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（

）个A．4 B．5 C．3 D．63．如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．94．如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(

)A．15个 B．16个 C．17个 D．18个5．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（

）A．6个 B．7个 C．9个 D．11个考点二求与已知三点组成平形四边形的点的个数6．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．无数7．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（

）A． B． C． D．8．若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（

）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，，，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有____个．考点三证明四边形是平行四边形11．下列命题中，正确命题是（

）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形12．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（

）种．A．3 B．4 C．5 D．613．在下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=BC，AD=DC B．AB∥CD，AD=BCC．AB∥CD，∠B=∠D D．∠A=∠B，∠C=∠D14．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，点E、F分别是AB、CD的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形．16．如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA．(1)求证：四边形OFGE是平行四边形．(2)猜想：当______°时四边形OFGE是菱形，并证明．考点四全等三角形拼平行四边形问题17．在下列图形中，沿着虚线将矩形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是()A． B． C． D．18．用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（

）A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤19．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以A、B、C、P四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为_____．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABE沿着AE折叠至△AB'E，若BE＝CE，连接B'C，则B′C的长为_____．专题15平行四边形的判定目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一数图形中平行四边形的个数 1考点二求与已知三点组成平形四边形的点的个数 5考点三证明四边形是平行四边形 9考点四全等三角形拼平行四边形问题15知识导航知识导航必备知识点两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；对角线互相平分的四边形是平行四边形。补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。考点一数图形中平行四边形的个数1．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．11个【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的定义即可求解．【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，共9个，故选：C．【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．2．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（

）个A．4 B．5 C．3 D．6【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得．【详解】解：如图，图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF，故选B．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】【分析】根据已知，高为1，再去图上寻找符合的平行四边形．【详解】解：根据AB=2，平行四边形面积为2所以，高=1以AB为边，满足条件的有6个，以AB为对角线满足条件的3个合计9个．故选D．【点睛】本题需要理解题意，正确找到平行四边形的高，再图中找到满足定义平行四边形是关键．4．如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(

)A．15个 B．16个 C．17个 D．18个【答案】D【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解．【详解】解：平行四边形有：▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱GOFD，▱GHCD，▱EBHO，▱EBCF，▱OHCF，▱ABCD，▱EHFG，▱AEHO，▱AOFG，▱EODG，▱BHFO，▱HCOE，▱OHFD，▱OCFG，▱BOGE．共18个．故选D．【点睛】本题考查平行四边形的判定，准确识别复杂图形是解题的关键，写出平行四边形时要按照一定的顺序，这样方能做到不重不漏．5．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（

）A．6个 B．7个 C．9个 D．11个【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案．【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形．故选：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键．考点二求与已知三点组成平形四边形的点的个数6．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．无数【答案】C【解析】【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解.【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形.故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线.7．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意结合平行四边形的性质画出图形进行分析即可解决问题，得出满足条件的点D有三个．【详解】解：如图所示：观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（-4，2）或（0，-4），∴点D的坐标不可能是（-3，2）.故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的判定以及平面直角坐标系与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，利用图象法解决问题．8．若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】令点A为（-0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，则第四个顶点不可能落在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．9．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，，，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有____个．【答案】3【解析】【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解．【详解】解：如图所示，①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）．故答案为：3．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．考点三证明四边形是平行四边形11．下列命题中，正确命题是（

）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】利用矩形、菱形、正方形以及平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故正确；D、两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故错误；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、正方形以及平行四边形的判定定理，难度不大．12．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（

）种．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】平行四边形与边相关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上判定方法对条件逐一判断即可得到答案.【详解】解：如图，选取（1），（2），由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，选取（1），（3），由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，选取（2），（4），由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，选取（3），（4），由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故选：【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定方法是解题的关键.13．在下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=BC，AD=DC B．AB∥CD，AD=BCC．AB∥CD，∠B=∠D D．∠A=∠B，∠C=∠D【答案】C【解析】【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．【详解】解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是AB∥CD，∠B=∠D，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180º，∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180º，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．14．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形【详解】解：如图，连接．∵点E，H分别是线段的中点，∴是的中位线，∴EH∥BD，．同理，．∴，∴四边形是平行四边形．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，点E、F分别是AB、CD的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形．【答案】详见解析【解析】【分析】首先证明四边形ABCD平行四边形，然后得出AB∥CD，且AB=CD，在根据E、F是AB、CD的中点证得BE=DF，最后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明．【详解】证明：∵AD∥BC，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，且AB=CD∴BE∥DF又∵点E、F分别是AB、CD的中点∴BE=DF∴四边形BFDE是平行四边．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA．(1)求证：四边形OFGE是平行四边形．(2)猜想：当______°时四边形OFGE是菱形，并证明．【答案】(1)见解析(2)30，证明见解析【解析】【分析】（1）通过“点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA”得到、分别为、的中位线，再由中位线的性质可以证明且，即可证明四边形OFGE是平行四边形．（2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”得到时四边形OFGE是菱形，从而得到为等边三角形，推出．(1)证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O，∴，又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA，∴OE为的中位线，FG为的中位线，∴，，，，∴，，∴四边形OFGE是平行四边形．(2)解：由（1）知，四边形OFGE是平行四边形当四边形OFGE是菱形时，则∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴当时，四边形OFGE是菱形．故答案为：30【点睛】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质，掌握矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质与判定是解题关键．考点四全等三角形拼平行四边形问题17．在下列图形中，沿着虚线将矩形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】第一个图形只能拼成特殊的平行四边形矩形；第二个图形能拼成平行四边形，矩形，三角形；第三个图形能拼成平行四边形和梯形；第四个图形按不同的相等的边重合可得到平行四边形，又能拼成三角形和梯形．故选D．18．用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（

）A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤【答案】B【解析】【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形、等腰三角形的性质判断．【详解】解：由于菱形和正方形中都四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的含角的直角三角形不能拼成