概率论与数理统计教学课件4.2方差

§4.2方差

上一讲我们介绍了随机变量的数学是随机变量的一个重要的数字特征.期望，它体现了随机变量取值的平均水平，但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.概率论与数理统计§4.2方差例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.炮弹，其落点距目标X,Y的位置如图：中心中心概率论与数理统计§4.2方差1.基本概念定义1

设随机变量X的数学期望存在，称X-EX为随机变量X的离差。[注]由于E(X-EX)=

EX-EX=0，因此随机学期望的偏离程度。离差平方的数学期望来描述随机变量X与数变量的偏差有正有负相互抵消，为此我们用为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值的离散程度(稳定性).这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差概率论与数理统计§4.2方差定义2

设随机变量X的数学期望存在，称为随机变量X的方差，记作DX。即采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用X为离散型，P(X=xk)=pk[注]1）方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2X为连续型，X~f(x)的数学期望.概率论与数理统计§4.2方差5）方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.方差越小，说明随机变量X的取值越密集在4）方差是一个常量；3）称方差的算术平方根称为标准差；2）数学期望EX附近；而方差较大，则X的取值比较分散.概率论与数理统计§4.2方差2.计算方差的一个简化公式

D(X)=EX2-[E(X)]2

2）EX；3）DX. 到3张卡片上的最随机抽取3张，用X表示取1张，标有数字2及3的卡片各有2张，从袋中例1袋中有5张卡片，其中标有数字1的卡片有大数字，求1）随机变量X的概率分布；概率论与数理统计§4.2方差例2

设X～,

求EX；DX.

3.

方差的性质设为常数，则：概率论与数理统计§4.2方差若X,Y相互独立，则4）4.常见随机变量的方差的计算(1)二项分布设X~b

(n,p),特别地X服从0-1分布,则(2)泊松分布概率论与数理统计§4.2方差(3)均匀分布(4)指数分布(5)正态分布概率论与数理统计§4.2方差概率论与数理统计§4.2方差若且它们相互独立，则例3

设X～，判定随机变量X的方差不存在。X的方差一定不存在；由该例可知，即使X的方差注：由定义知若R.V.X的期望不存在，则不存在，X的数学期望可能存在。三、切比雪夫(Chebyshev)不等式定理1

设随机变量X的数学期望及方差均存在，则对于任意，有或概率论与数理统计§4.2方差例4设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差，令求。[注]1）在切比雪夫不等式中，固定的值，当方差越小，随机变量X在与区间上取值的概率越小。这说明随机变量X都密集在EX附近，因而又一次说明方差是描述随机变量X的离散程度。2）切比雪夫不等式可对一些事件的概率进行估计。概率论与数理统计§4.2方差例5设电站电网有10000盏电灯，每晚各个电灯在6800～7200之间的概率。此相互独立，估计每晚同时开着的电灯个数开着的概率为0.7，假定各个灯开、关时间彼说明同时开着的电灯在6800~7200的概率很大.