第三章 函数 综合（同步）-高中数学人教B版（2019）必修第一册

第三章函数

一、单选题

,、f1,,、

1.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数：若"X=八xeQ:,则称y=/x)为狄

0,xwQQ，

利克雷函数.给出以下四个命题：

①对任意xcR,都有〃〃力)=1;

②对任意内、再wR,都有-/(电)归1；

③对任意内、x,eR,都有/(玉+9)=/(%)；

④对任意xwR,都有/(力+/(-力=0.

其中，真命题的序号是()

A.①③B.①②C.®®D.③®

2.已知函数/(x)=x-心石+5,当1WXW9时，/(%)>1恒成立，则实数m的取值范围为

()

A.[8，§)B.(—oo,5)C.(-^，勺D.(-oo,5]

3.若“玉4，2],使2丁_祈_1<0成立”是假命题，则实数2的取值范围是()

A.Y,/B.g，mc.y,i]D.[1,e)

2

4.已知不等式」r-k上+^任k>0对任意的正整数人成立，则实数x的取值范围为()

x-k+l

A.(9,-2)52,3)B.18,一31](2,3)

C.(f—2)U(3,4)D.(F；T)U(3,4)

5.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且/(1-幻=-/(1+幻，/0)=1,则

/(0)+/(1)+•..+/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2020

6.在直角坐标系中，函数》=，方(〃为大于0的常数)所表示的曲线叫箕舌线.则箕舌

x+优

线可能是下列图形中的()

7.若/a）,g。）都是奇函数，且尸（x）=a/a）+〃ga）+2在（o,+g）上有最大值8,则尸（外

在（-8,0）上有（）

A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-4

8.已知“X）是偶函数，它在［O,M）上是增函数.若/（lgx）＜〃-l）,则冗的取值范围是

B・B?（电？）C①。）D.（0,1）510,同

二、多选题

9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的

函数小）弋:二黑露,称为狄利克雷函数，则关于〃"，下列说法正确的是（）

A.〃力的值域为［0,1］

B./（力的定义域为R

C.PxwR,/（/（x））=l

D.任意一个非零有理数T,〃x+T）=f（x）对任意xcR恒成立

10.关于函数〃力斗In|2-刈，下列描述正确的有（）

A.函数/（力在区间（1,2）上单调递增

B.函数丁=/（另的图象关于直线x=2对称

C.若用工9，但/（芭）=/（毛），则$+%2=4

D.函数f(x)有且仅有两个零点

-x+2,x<1

11.己知/*)=!左,.「［常数七0),则()

-+A:+2,x>l

x

A.当k>0时，/a)在R上单调递减

B.当Q-g时，f(x)没有最小值

C.当&=-1时，/(©的值域为(0.+oo)

D.当北二一3时，Vx,>l,叫<1,有/(3)+/(占)=0

12.下列说法正确的是()

A.若方程/+(〃-3)X+。=0有一个正实根，一个负实根，则。<0

B.函数贝x)=J?=T+成二/是偶函数，但不是奇函数

C.若函数九1)的值域是［-2,2］,则函数人r+1)的值域为［-3,1］

D.曲线y=|3一f|和直线y=a(a£R)的公共点个数是小，则根的值不可能是1

三、填空题

13.定义在(TD上的函数函外满足/3=g(力-g(T)+l,对任意的%,%6(-1/)3=七，

恒有［/(与)一/(毛)］&一/)>0,则关于“的不等式/(2x+l)+/(x)>2的解集为

14.已知函数/(x)=|x+l|-卜-4若对X/xwR,不等式恒成立，则实数机的取值

范围是.

15.已知定义在R上的函数/*)满足〃x+l)=工，当%£(0,1］时，/(x)=2\则

fM

3

/dog—)+/(2018)=___________.

216

x,x<\,

16.设函数〃力=12,,则不等式/(1一凶)+〃2)>0的解集为______.

(x-i)+l,x>l,

四、解答题

已知函数/(力=署^

17.是定义在(-1，1)上的奇函数，且/0=1-

(1)确定函数/(X)的解析式;

(2)用定义法证明/(同在(-L1)上是增函数;

(3)解关于x的不等式f(xT)+f(x)<0.

18.已知函数丁=马把(久〃为正实数)的图像是中心对称图形，求它的对称中心的坐标.

2-a

19.已知函数/(力=当9是定义在区间(-2,2)上的奇函数，且/(1)=5・

(1)用定义证明函数，(另在区间(-2,2)上单调递增；

(2)解不等式/(1+I)+/(2〃L2)>0.

20.已知/(可是定义在［-2,2］上的奇函数，且当2,0)时，f(x)=x2-x.

(1)求函数/(x)在［-22］上的解析式;

(2)若/(力2加一2卬〃一9对所有xe［—2,2］,恒成立，求实数，〃的取值范围.

21.定义在(-Li)上的函数/(x)满足：对任意的…都有"x)+/(y)=f(岩)

(1)求证：函数〃力是奇函数；

(2)若当x«T,O］时,有f(x)>0,求证：f(x)在(-1,1)上是减函数;

(3)在(2)的条件下，若也)=7，"")«产一2m—1对所有xe-生，恒

成立，求实数z的取值范围.

22.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知

该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)

之间的函数关系可近似地表示为-200X+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用

的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴

多少元才能使该单位不亏损？

参考答案

1.B

【分析】

根据狄利克雷函数的定义，然后讨论x是有理数和无理数两种情况，进而判定各个答案.

【解析】无论x是有理数或是无理数，f(x)的值必为有理数，因此/(/(力)=1恒成立，所

以①对；

对任意X|、|/(5)一/(X2)|的值只能为。或1，所以②对：

当再为无理数，％为有理数时，M为无理数，因此/(芭+9)=0,〃W)=1，所以③错:

当X为有理数时，一也为有理数，因此/(X)+/(T)=2,所以④错.

故选：B.

2.C

【分析】

通过换元令t=五，函数可变为g(。=『-〃"5将/(力>1恒成立可转化为g⑺>1在14Y3

上恒成立.即y=——血+4,止［1,3］大于。恒成立，通过对用与区间［1,3］之间的关系讨论得

出结果.

【解析】令34,则由1W9,得7£口,3］.由题意，得

g")=/一皿+5=，—孩［+5-'>1在［1,3］上恒成立，故有屋，僵>1.①当空1,即

用42时，函数g(f)在［1,3］上单调递增，g(Oniin=^(l)=6-w,由6-5>1,得小<5,因

此加42.

②当1告3,即2<帆<6时，g0min=g(^)=5号，由5—］>1,得-4<〃?<4,因此

2<m<4.

③当晟23,即时，函数g(/)在［L3］上单调递减，^Wniin=^(3)=14-3^,由

14-3/77>1,得〃与m>6矛盾.

3

综上，m<4.

故选：C.

3.C

【分析】

等价于WXG[1,2],恒成立，令〃x)=2x」，xe[l,2],求出最小值即得

XX

解.

【解析】解：若“3xw[l,2],使得2f-〃-1<0成立”是假命题，

即“入71,2],使得2>2%」成立”是假命题，

X

故DXG[1,21,4,2x-1恒成立，

X

令/3)=2x-‘，XGU,2],所以f(x)是增函数(增函数+增函数=增函数)，

X

所以，(工焉=")=1，

「•4，1,

故选：C.

4.A

【分析】

{x>_3k\x<1c,一3k

由题意转化条件得，，或,对任意的正整数2成立，在同一直角坐标系内

[X>k-\[x<kf-\

作出函数y=f-3X(XN1)与y=/-l(xNl)的图象，并标出X取正整数的点，数形结合即可

得解.

【解析】•.•不等式上对任意的正整数k成立，

x-k+l

x-k2+3k>0[x-k2+3A:<0一一一…,

,，八或4,I八对任意的正整数2成立，

/一%+1>0[x-A:+l<0

丫一女(r<k2-^k

即，।或{f,对任意的正整数人成立，

x>k-1[x<k-]

在同一直角坐标系内作出函数-3MxN1)与y=xT(xNi)的图象，并标出上取正整数

的点，如图:

y>丘2_3ky<l/^—3〃

数形结合可知，若要使，，或，，对任意的正整数上成立，

x>k-\

则X«F-2)U(2,3).

故选：A.

【点睛】

本题考查了分式不等式的求解及二次函数图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思

想，属于中档题.

5.C

【分析】

由函数的奇偶性和/(1-幻=-/(1+外可得/⑺是周期为4的函数，分别求得

/(1)J(2)J(3),进而根据函数的周期性求解即可.

【解析】由题，因为“X)是定义在R上的偶函数，所以f(T)=f(x),

因为/(1一月=一/(1+工),所以J(xT)=-J(l+x)测〃x-2)=-/G),

所以“元一4)=一/(1一2)=/(耳,所以/(力是周期为4的函数，

因为/(1)=一/(1),所以/(1)=0；

因为〃2)=-〃0)=-1,〃3)=〃—1)=八1)=0,

所以f(O)+〃l)+〃2)+f(3)=O,

所以/(0)+/⑴+・・+/(2O2O)=5O5[/(O)+/(1)+/(2)+/(3)]+〃O)=5O5XO+1=1,

故选:C

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和对称性判断函数周期性,考查利用函数底期性求值.

6.A

【分析】

首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后根据特殊值即可判断；

1a3a3

【解析】解：因为y=/(x)=rj定义域为R,f(-x)=—.-7=-7—r=/W，故

r+4-(-A)+a-x+a

函数丁=为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D；

,k

又函数y=F在(0,出)上单调递增，函数)，=,仕>0)在(0,+B)上单调递减，

根据复合函数的单调性可得函数/(%)=£产在(0,+8)上单调递减，故排除B；

当戈=0时，f(0)=^—=a>0t故排除C；

故选：A

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.

7.D

【分析】

由题意，得到尸(9-2=4(力+次(力是奇函数，再结合题设条件和函数的奇偶性，即可求

解.

【解析】由题意，尸(文)=4(力+%(力+2,可得户(同一2=4(力+公(x)

函数/(力送(力都是奇函数，

所以F(-x)-2=af(一x)+bg(-x)=-[af[x)+bg(x)]=4F(x)-2],

所以尸(x)—2=4(x)+班(x)是奇函数，

又由尸㈤在(0,+oo)上有最大值8,即尸(x)«8,所以尸(x)—246,

当xw（YO,0）时，贝lj-xt（0,+oo）,

则F（f）-206,ep-[F（x）-2]<6,所以尸（人）-2之-6,即尸（人）之Y,

所以当XW（YO,0）时，/（力有最个值T.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值及其意义，其中解答中根据函数的奇偶性的

性质，构造新函数尸（力-2=4（"+公（力为奇函数是解答的关键，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

8.C

【分析】

利用偶函数的性质将不等式1）变形为f（|igx|）v〃i）,再由函数y=在

[0,”）上的单调性得出但4<1,利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结

果.

【解析】由于函数y=/（x）是偶函数，由得〃加可<八1）,

又•.•函数尸"X）在[0,E）上是增函数，则即T<lgx<l,解得上<x<10.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查

分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

9.BCD

【分析】

根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.

1,1=为有理数

【解析】因为函数〃x）=八班工由知，所以/（X）的值城为｛0浦，故A不正确；

0,x=为无理数

因为函数/（“北：]黑翳所以/（力的定义城为R,故B正确；

因为WxeR,〃x)e{0,l},所以/(/(力)=1,故C正确;

对于任意一个非零有理数7,若x是有理数，则是有理数；若x是无理数，则x+T是无

理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T,都有/（八十7）-/（人）对任意xwR恒

成立，故D正确，

故选：BCD.

10.ABD

【分析】

画出函数的图像，根据图像分析判断即可

【解析】函数/（x）=|ln12Tli的图像如图所示：

由图可得：函数“X）在区间。,2）上单调递增，故A正确；

函数），=/（力的图像关于直线x=2对称，故B正确；

若不/工2，但/（X）=/（W），则当司>2,%2>2时，X,+X2>4,故C错误；

函数/（力的图像与x轴有且仅有两个交点，故D正确.

故选ABD.

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的性质的应用，解题的关键是画出

函数图像，根据图像求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题

11.BD

【分析】

根据不同的女值，研究函数的单调性、最值与值域等，从而可判断各选项.

【解析】％>0时，-1+2=1,中+%+2=2上+2,2k+2>i,/⑶在R上不是减函数，A错;

由上面讨论知k>0时，/（x）在U,+oo）上是减函数，无最小值.而xvl时f（x）=-x+2递减,

也无最小值，因此/")无最小值，

当一」5<0时，X>1,/(人)二幺十&+2是增函数，/。)=24+2,但2比十2>1,不是/⑸的

2x

最小值，

综上，“X)无最小值，B正确；

人=一1时，x<l,/(X)=-X+2G(1,-H»),

xNl时，/(x)=_L_]+2=_L+]是增函数，/(1)=0,/(X)=--+IG[OJ),

XXX

・•・/(力的值域是[O,l)uQ+«O,C错;

攵=—3时，%之1时，/(x)=———1G[―4,—1),而xv1时，/(x)=—x+2e(1,-HX>),

X

(l,4k(l,*o),因此叫<1,使得/(%)+/(占)=0.D正确.

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查分段函数的单调性与值域，解题关键中根据女的不同取值，确定函数

的单调性，由单调性确定函数的值域.从而判断各选项.

12.AD

【分析】

对A,结合韦达定理判断；对B,先判断定义域，再结合奇偶函数定义判断；对C,结合函

数平移特点可判断错误；对D,画出/(力=|3-期的图像，采用数形结合方法判断即可

【解析】设方程/+5-3)X+。=0的两根分别为为，X2,则加依=。＜0,故A正确;

函数危尸g+口的定义域为:二之

则人=±1,••.兀t)=0,所以函数凡0既是奇

函数又是偶函数，故B不正确:

函数7U+1)代表函数/(力向左平移一个单位，故«r+l)的值域与函数«r)的值域相同，故

C不正确；

曲线)，=|3一/|的图像如图，由图知曲线)，=|3一/|和直线的公共点个数可能是2,3或

4,故D正确.

y

故选：AD

【点睛】

关键点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，奇偶函数的判断，函数图像的平移与值

域的判断，数形结合法判断交点问题，综合性强，解题关键在于：

(1)学会应用韦达定理处理两根之和与两根之积对应的系数问题；

(2)奇偶函数的判断，一定要先判断定义域，再根据与f")关系判断即可；

(3)当函数图像发生左右平移时，函数值域不变；

(4)数形结合法常用于处理两函数图像交点个数判断问题.

13.6,。)

【分析】

设力a)=/(x)T=g(x)-g(-x),由已知不等式得函数“X)是增函数，即得A(x)是增函数，

又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为人3)的函数不等式，利用奇偶性变形，再

由单调性可解.

【解析】设h(x)=f(x)-\=g(x)-g(—x),

因为对任意的冷工2e(TD，x产W,恒有[/(%)-/优)](%-当)>0,

所以函数fx()在(-1』)上为增函数，则h(x)在(-1,1)上为增函数，

又h(-x)=g(-x)-g(x),而h(x)=g(x)-g(-x),所以h(x)+h(-x)=0,

所以〃(x)为奇函数，综上，人(划为奇函数，且在(-覃)上为增函数,

所以不等式/(2x+l)+f(幻>2等价于f(2x+1)-1+/(x)-l>0,

即/i(2x+l)+h(x)>0,亦即/i(2x+1)>-h(x)=h(-x),

-1<2X+1<1,

可得-1<工<1,,解得」</<0.

3

2x+\>-x,

故答案为：鸟,0).

14.[4,-KO)

【分析】

去绝对值将/(6转化为分段函数，求出其最大值，〃亚/(初皿即可.

【解析】因为DxeR，不等式恒成立，则〃此f(x)a，

-x-l-(3-x),x<-1-4,x<-1

/(JI)=|x+l|-|x-3|=*.r+l-(3-x),-l<x<3=-2A-2,-1<x<3,

x+l-(x-3),xN34,x23

作出函数〃")的图象如图：

所以打24,

所以实数机的取值范围是[4,y),

故答案为：[4,T8)

【分析】

依题意首先求出函数的周期，再结合周期及相关条件分别求得/[ogz^)和/(2018),进而

可得到结果.

1

【解析】函数f(x)满足：〃x+l)=而

可得：对X/xtR,都有小+2)==/(同，・♦・函数/(x)的周期丁=2.

/(晦£|=〃吟-5=川。&3)=可。；3-1)=六H，

由/(0)=右=3得〃2018)=f(0)=g,

.•./jlog^)+/(2018)217

2—+—=—.

326

故答案为：7-

6

【点睛】

结论点睛：定义在R上的函数人幻，若存在非零常数°,使得对^R,都有了("+。)=看'

则函数的周期7=2〃.

16.(—3,3)

【分析】

根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.

【解析】由函数解析式知，。)在/?上单调递增，且-F(2)=-2=/(-2),

则“1-附+/(2)>0=/(1-附>-/(2)=/(—2),

由单调性知1-卜|>-2,解得x«-3,3)

故答案为：(-3,3)

【点睛】

关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.

17.

(1)小)*

(2)证明见解析

(3)(。，5)

【分析】

(1)由f(O)=O,求得人=0,再根据/(5=],求得〃的值，即可求得函数的解析式.

(2)根据函数单调性的定义和判定方法，即可证得函数/(x)在区间(-1,1)上是增函数.

(3)把不等式/(x-l)+/(x)<0转化为=列出不等式组，即可求解.

(1)

(1)由题意，函数7(力=警^是定义在(一草)上的奇函数，

可得/(0)=0,即/(力=6=0,可得b=0,即/(司=券，

\_a

又由dm可得」解得。=1,所以/(力=占，

2

⑵51+(1)25\+x

经验证，此时满足了(-力=-/(力，所以函数/(力为奇函数.

所以函数“X)的解析式为/(X)二言，

解：设e(T，l)且X<*2，

则/($)-/⑸J=57?(1―呼)

人」八"八，i+x2i+x2(1+申(1+4)

因为$,工2e(T，D且X<Xj»可得七一.<°，1-式/2>°4+x；>0,1+石>0.

所以/(%)一/(巧)<0,即/(%)</(%)，

所以函数/(力在区间(7,1)上是增函数.

(3)

(3)因为函数/(X)是定义在(-U)上的奇函数，

则不等式/(x—l)+/(x)vO可化为/(x—l)=—/(x)=/(—x),

又因为函数/(x)在区间(一口)上是增函数，

x-\<-x

可得解得0<x<2，即不等式的解集为(0,3

22

-1<x<1

18.对称中心的坐标为(log?.

【分析】

设函数)，=马把(。、〃为正实数)的图像的对称中心为。(九〃)，进而根据定义域得

2-67

w=iog2«,再根据点的对称性求解得〃=F，进而得答案.

2a

【解析】解:记〃月=马业.设函数尸马吆(。、6为正实数)的图像的对称中心为。(相，)

2-a2-a

因为函数)，=女的定义域为(一〜陛?a)U0og24K0)，所以勿=嚏2a.

2—a

由题意，对于函数图像上任意一点夕一，其关于点C的对称点

2"'—a)

P2〃?-玉三也在函数y=|三的图像上.

所以“2〃L.%)=2〃-守，即2"胃=u笠对任意工«7),噫0)51唱〃收)

za乙a2a

恒成立.

将吁晦〃代入上式，得2〃一六二募三•

..---卜b

记1=2%,整理得2〃一^~~^=^---,即(2〃〃+6—4)，=2W2—/+"对一切，£(0,+00)恒成

-----a

2na+b-a=0

立.所以《解得〃=?

2na2-a2+ab=O'2a

综上所述，函数y=学且(a、b为正实数)的对称中心的坐标为卜。g?4

2-ci\

19.

(1)证明见解析

(2)(V2-1J)

【分析】

(1)先求出的解析式，再利用定义法证明函数f(x)在区间(-22)上单调递增;

(2)利用单调性法解不等式，求出实数机的取值范围.

(1)

•••/(”为定义在区间(-2,2)上的奇函数,

.\/(0)=^=0,：.b=0.

又则=言f-

?丫一？丫

检验：当4=1,6=0时，f(x)=—~-,f(-X)=—'=-f(X),

、,9+4v7x2+47

・・・/(x)为奇函数，符合题意，

对任意的一2＜芭＜x2＜2,

f(\f(\-3%版2一3口i一工2)(43工2)

/⑷r-/r⑸-齐-而--符付)•

*/-2<x]<x2<2t

-x2<0,xxx2<4,/.4-XjX2>0.

又x：+4>0,x；+4>0,/./(^)-/(x,)<0.

・•・函数/(x)在区间(-2,2)上单调递增.

(2)

•・・〃”为定义在区间(-2,2)上的函数,

-2</w2+1<2

0<zn<1.

-2<2m-2<2

•・•/(>+I)+"2〃L2)>0,且〃力为定义在区间(-2,2)上的奇函数,

・・・/(加2+1)>/(2—26).

又在区间(-2,2)上单调递增，

/w2+1>2-2m，，机>夜一1或/〃<一&-1.

综上，实数m的取值范围是

20.

x2-x,-2<x<0

(1)/(x)=«(U=0

-X2-A:,0<X<2

(2)[-U]

【分析】

(1)利用奇函数的定义可得函数的解析式;

(2)由二次函数的性质可得函数/'(”的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列

不等式组，可得实数加的取值范围.

(1)

因为函数/(力为定义域上的奇函数，所以"0)=0,

当工«0,2］时，-xe［-2,0),Wf(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,

因为/(%)是奇函数，所以〃一力二一/(X)=f+X,

所以/(力=_%2_工，

x2-x,-2^x<0

所以/(x)=.0,x=0

-x2-x,0<x<2

作出在区间［-2,2］上的图象，如图:

可得函数/(力在［-2,2］上为减函数，所以的最小值为〃2)=-6,

要使/(%)之病-2利-9对所有xe［-2,2］,a£恒成立，

即-62用2_2s〃_9对所有。«-1川恒成立,

令8(。)=-2，3+62-3,ae[-l,l],

2

则|Igp((l-)l)二=6m2—+22机/一n3-430<0，即f-3</n<1

可得：一1工机41,

所以实数机的取值范围是[T5.

21.

(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)(e,—2]U{0}U[2,”)

【分析】

(1)令x=y=O,求出f(O),再令y=T,即可证明;

(2)利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤证

明即可；

⑶由(2)可得函数在上的最大值，设g(a)=-2s+/,则g⑷20对所有

g⑴之。

恒成立,即可得到