数学同步练习：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式（组）所表示的平面区域

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域1．不在3x＋2y<6表示的平面区域内的点是（）A．(0，0）B．(1,1）C．(0,2）D．（2,0)2．不等式2x－y－6〉0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的（）A．左上方B．右上方C．左下方D．右下方3．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0,2x＋y＋1＝0围成的三角形区域（包括边界)用不等式组可表示为__________．4．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）4x－3y≤12；(2)x≥1;（3）x－2y〈0；（4)－2x＋y－3〉0。答案:1．D∵点（2,0)在直线3x＋2y＝6上，∴不符合．2．D作出直线2x－y－6＝0，取原点（0，0)代入得－6<0，所以原点不在其平面区域内．3.eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2≥0，x＋2y＋1≤0，2x＋y＋1≤0））先画出直线,然后通过代点法判断三条直线围成的三角形所在的区域．4．解：如图所示．课堂巩固1．已知点（3,1)和点(－4,6）在直线3x－2y＋m＝0的两侧，则（)A．m〈－7或m〉24B．－7〈m〈24C．m＝－7或m＝24D．－7≤m≤242．如右图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是(）A.eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－1≥0,x－2y＋2≥0)）B。eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y－1≤0，x－2y＋2≤0）)C.eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，x－2y＋2≤0)）D。eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，x－2y＋2≥0)）3．已知点P(x,y)的坐标满足条件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，)）点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于__________，最大值等于__________．4．已知集合A＝{(x，y)｜|x｜＋｜y｜≤1｝，B＝｛(x，y）｜（y－x)（x＋y）≤0｝，M＝A∩B,则M的面积为__________．5．画出下列不等式组表示的平面区域：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x〈3，，2y≥x，,3x＋2y≥6,,3y<x＋9.))6．画出下列不等式组所表示的平面区域：(1)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋2y＋4<0，，x－y＋1≤0；）)（2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－y＋6>0，，2x＋3y－1≥0，,2x－4<0。)）答案：1．B把点(3,1）与(－4,6)代入直线方程,则(3×3－2×1＋m）(－12－2×6＋m）〈0,解得－7<m〈24.2．A题图中两直线方程分别为x＋y－1＝0和x－2y＋2＝0。阴影部分在x＋y－1＝0的右上方，x－2y＋2＝0的右下方，所以x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0。3.eq\r(2）eq\r(10)画出不等式组表示的平面区域，如图所示，易得A(2,2），OA＝2eq\r（2)，B（1,3)，OB＝eq\r(10)，C（1,1)，OC＝eq\r(2）。故｜OP|的最大值为eq\r(10），最小值为eq\r(2)。4．1由题意，如下图可知,图中阴影部分即为M的平面区域，可求其面积．S＝eq\f（1，2）×2×1＝1.5．解:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．6．解：（1）原不等式组表示平面区域的公共部分（阴影部分)如图(1）所示．(1)(2)原不等式组表示平面区域的公共部分(阴影部分）如图（2）所示．(2)1．下列二元一次不等式组，能表示图中阴影部分的是（）A。eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y≥－1，2x－y＋2≥0））B.eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y≥－1，2x－y＋2≤0))C。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1，x≤0，2x－y＋2≥0）)D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≤0，y≥－1,2x－y＋2≤0）)1．答案:C边界直线为2x－y＋2＝0与y＝－1，将（0,0)点代入2x－y＋2，得2〉0，所以原点在2x－y＋2≥0所表示的平面区域内．阴影部分在y＝－1的上方，所以满足条件的不等式为y≥－1.阴影部分还在y轴的左侧，所以满足条件的不等式为x≤0.2．不等式组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1((x－y＋5）（x＋y)≥0，，0≤x≤3）)表示的平面区域是一个()A．三角形B．直角三角形C．梯形D．矩形2．答案:C作出不等式组的平面区域,由图可知平面区域的形状为梯形．3。在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{（x,y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{（x＋y,x－y）|（x，y）∈A｝的面积为()A．2B．1C.eq\f(1，2)D.eq\f(1,4）3．答案：B设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（u＝x＋y，,v＝x－y，））则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（u＋v，2），,y＝\f(u－v，2).））由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y≤1,,x≥0,，y≥0,))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(u≤1，,u＋v≥0，，u－v≥0。))作出（v,u）点对应的区域（如图阴影部分）．所以平面区域B的面积为eq\f（2×1，2)＝1.4．满足｜x|＋|y|≤4的整点(横、纵坐标为整数)（x，y）的个数是()A．16B．17C．40D．414．答案:D当x≥0，y≥0时，不等式｜x｜＋|y|≤4，即x＋y≤4,由对称性知,满足不等式|x|＋｜y｜≤4的平面区域是如图所示的正方形及其内部，其整点(横、纵坐标为整数)(x，y)的个数是41.5.如果点P在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，,2y－1≥0)）上，点Q在曲线x2＋（y＋2)2＝1上，那么｜Peq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(Q｜))的最小值为__________．5.答案：eq\f(3，2)作出满足条件的平面区域(如图)，利用圆的性质，由图形知｜PQ｜min＝2＋eq\f（1，2)－1＝eq\f（3，2).6．在平面直角坐标系上，设不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x>0，，y>0，，y≤－n(x－4)））所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点的个数为an（n∈N＊），则a2为__________．6．答案：12当n＝2时,不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,,y>0，,y≤－2x＋8，))作图．则整点为(1,1）,(1，2),（1，3),（1,4),(1，5），（1,6)，(2,1),(2，2),（2，3)，(2,4)，(3,1），（3,2)，共12个．∴a2＝12.7．不等式｜3x＋2y＋k｜≤8表示的平面区域必包含（0,0）及（1，1）两点，则实数k的取值范围是__________．7．答案：［－8，3］∵｜3x＋2y＋k｜≤8，∴－8≤3x＋2y＋k≤8.又∵(0，0)及(1，1)在不等式所含的区域内,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－8≤k≤8，,－8≤5＋k≤8.）)得－8≤k≤3。8．用不等式组表示以A(4,1)，B(－1,－6），C(－3,2）为顶点的三角形内部(不含边界）的平面区域．8．答案：解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A(4，1)，B（－1，－6），C(－3,2)，∴直线AB的方程为7x－5y－23＝0，直线BC的方程为4x＋y＋10＝0，直线AC的方程为x＋7y－11＝0.∵原点O（0,0)在区域内，把x＝0，y＝0代入7x－5y－23得－23<0；把x＝0，y＝0代入4x＋y＋10得10>0;把x＝0,y＝0代入x＋7y－11得－11〈0.∴以A(4，1)，B（－1，－6）,C（－3，2)为顶点的三角形内部的平面区域可以用不等式组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(7x－5y－23〈0，,4x＋y＋10>0，,x＋7y－11<0)）表示．9．求不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，，x＋y≥0,,x≤3))表示的平面区域的面积．9．答案：解：作出不等式组所表示的可行域如下图．因此，其区域面积就是△ABC的面积．显然，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC，B点的坐标为(3,－3）．由点到直线的距离公式：|AB｜＝eq\f（｜3×1＋3×1＋6|,\r(2)）＝eq\f(12,\r（2)），所以S△ABC＝eq\f(1，2)×eq\f（12,\r(2)）×eq\f（12,\r(2）)＝36.故不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0,,x≤3)）表示的平面区域的面积是36.10．画出不等式组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2≤0，，x－y≥0，，y≥\f（1,2）x－1))表示的平面区域，并求出不等式组的整数解．10．答案：解：不等式x－2≤0表示直线x－2＝0上及左侧点的集合；不等式x－y≥0表示直线x－y＝0上及右下方点的集合;不等式y≥eq\f(1,2）x－1表示直线y＝eq\f(1，2)x－1上及左上方点的集合．故不等式表示的平面区域如图所示．由图形可得,在阴影部分内的整点为(－2，－2）,（0，0），（0，－1）,（1，1）,(1,0）,（2，2),（2,1），(2，0），即不等式组的整数解为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝－2，)）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，）)eq\b