吉林省吉林市三校联考2025届高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

吉林省吉林市三校联考2025届高二数学第一学期期末调研模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若，，则实数的取值范围是A. B.C. D.2．在空间直角坐标系下，点关于轴对称的点的坐标为（）A. B.C. D.3．在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（）A.30 B.91C.273 D.8204．平行直线：与：之间的距离等于（）A. B.C. D.5．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.6．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B.C. D.8．设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.9．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）A.2 B.4C.5 D.2510．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A B.C. D.11．双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.12．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若“”是“”必要不充分条件，则实数的最大值为_______14．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______15．若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命题：①F（x）＝f（x）﹣g（x）内单调递增；②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x﹣e其中真命题为_____（请填所有正确命题的序号）16．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）①若恒成立，求的最小值；②证明：，其中.18．（12分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点.（1）求证：平面PBC；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，说明理由.19．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面，点F在线段上运动.（1）若平面，请确定点F的位置并说明理由；（2）若点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.20．（12分）已知：，，：，，且为真命题，求实数的取值范围.21．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.22．（10分）小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】函数，若，，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.2、C【解析】由空间中关于坐标轴对称点坐标的特征可直接得到结果.【详解】关于轴对称的点的坐标不变，坐标变为相反数，关于轴对称的点为.故选：C.3、C【解析】先根据等比数列的通项公式得到，列出数列的前6项，将其中是数列的项的所有数去掉即可求解.【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，所以，则由，得，即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，且，所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.故选：C.4、B【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.【详解】，则：，即，距离为.故选：B.5、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D6、D【解析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点,由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，可知：落在以OA为直径的圆上，而以OA为直径的圆为，如图示：故可看作是圆上的点到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，但将原点坐标代入直线中，不成立，即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，故，故选：D7、A【解析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故选：A8、D【解析】建立空间直角坐标系，根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.【详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.因为正方体的边长为4，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量，所以，，即，设，所以，，即，设点到平面的距离为，所以，故选：D.9、B【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.【详解】解：设等比数列的公比为，则，所以，则.故选：B.10、B【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为令，得；令，得故所求三角形的面积为故选：B11、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.12、D【解析】由题意，即在区间上有两个异号零点，令，利用函数的单调性与导数的关系判断单调性，数形结合即可求解【详解】解：由题意，即在区间上有两个异号零点，构造函数，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，且，所以，即，所以的范围故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设的解集为集合，由题意可得是的真子集，即可求解.【详解】由得或，因为“”是“”的必要不充分条件，设或，，因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含14、2【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，所以，则，由抛物线的定义可得，又是的中点，所以到准线的距离为,故答案为：215、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，检验在x∈（，0）内的导数符号，即可判断；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）内单调递增，故①对；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错；④函数f（x）和h（x）的图象在x处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0当x∈R恒成立，则△≤0，只有k＝2，此时直线方程为：y＝2x﹣e，下面证明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），当x时，G′（x）＝0，当0＜x时，G′（x）＜0，当x时，G′（x）＞0，则当x时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2x﹣e，当x＞0时恒成立∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y＝2x﹣e，故④正确故答案为：①②④【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题.16、【解析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得，当时，，，则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）①1；②证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可；②由①知：，时取“=”，令，即，最后累加即可.【小问1详解】由已知条件得，其中的定义域为，则，当时，，当时，，综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】①由恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，，∴在上单调递增，上单调递减，∴，∴的最小值为1.②由①知：，时取“=”，令，得，∴，当时，.18、（1）证明见解析（2）存在，且【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）设，利用直线与平面所成角的正弦值列方程，化简求得.【小问1详解】设是的中点，连接，由于，所以四边形是矩形，所以，由于平面，所以，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，，设平面的法向量为，则，故可设.，且平面，所以平面.【小问2详解】，设，则，，，设直线与平面所成角为，则，，两边平方并化简得，解得或（舍去）.所以存在，使直线与平面所成角的正弦值是，且.19、（1）F为BD的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）由为的中点，取的中点，连接易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由求解.【小问1详解】为的中点.如图：取的中点，连接∵，分别为，的中点，∴且∵且∴平行且等于∴四边形为平行四边形，则∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小问2详解】由题意知，平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰三角形，易求，则，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，解得设平面的一个法向量为，则，即，解得设二面角为，则，因为二面角为锐角，所以余弦值为.20、【解析】由，为真，可得对任意的恒成立，从而分和求出实数的取值范围，再由，，可得关于的方程有实根，则有，从而可求出实数的取值范围，然后求交集可得结果【详解】解：可化为.若：，为真，则对任意的恒成立.当时，不等式可化为，显然不恒成立，当时，有且，所以.①若：，为真，则关于的方程有实根，所以，即，所以或.②又为真命题，故，均为真命题.所以由①②可得的取值范围为.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，