易错突围：第十六章 二次根式（原卷版）-人教八下期中综合复习

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）第十六章二次根式易错导航二二次根式二次根式有意义易错点1二次根式有意义二次根式的性质理解不透易错点2二次根式的性质理解不透二次根式的运算易错点3二次根式的运算二次根式的规律探究二次根式的分母有理化易错点4二次根式的规律探究二次根式的分母有理化易错点5易错训练【易错点1二次根式有意义】（2021·湖南益阳市·八年级期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是()A． B． C．且 D．且【变式训练】1．（2021·浙江八年级月考）使式子有意义的x的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2020·浙江八年级单元测试）在函数中，自变量x的取值范围是（）A． B． C．且 D．且3．（2021·北京昌平区·八年级期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．4．（2021·安徽九年级其他模拟）分式有意义的x的取值范围是__________．5．（2020·浙江八年级期中）若成立，则a的取值范围是______________．6．（2021·浙江）已知是实数，且满足，则的平方根是____________．7．（2020·浙江八年级期中）已知x，y都是实数，且，求的平方根．【易错点2二次根式的性质】（2020·云南玉溪市·八年级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示．（1）化简：______；______．（2）化简：．【变式训练】选择题1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）化简的结果是（）A． B． C． D．2．（2021·台州市书生中学七年级月考）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．-7 C． D．无法确定3．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简＋|a＋b|的结果为（）A．2a＋b B．﹣2a﹣b C．b D．2a﹣b二、填空题4．（2021·湖北武汉市·九年级二模）计算__________．5．（2019·海口市金盘实验学校九年级期中）当2＜a＜3时，化简：＝______．6．（2021·武冈市第二中学八年级月考）对于任意不相等的两个实数x，y，定义一种运算“☆”：x☆y＝，根据这一规则，那么8☆（3☆10）＝_______．三、解答题7．（2021·四川成都市·石室初中八年级月考）实数a、b、c如图所示，化简（）2+﹣．8．（2021·江苏南通市·八年级期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；；；．（2）用字母表示（1）中式子的规律，并给出证明．9．（2019·上海市北海中学七年级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里，，由于，即，∴（1）填空：=，=；（2）化简：．10．（2021·浙江九年级专题练习）阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a＝”有不同的解答．甲的解答是：；乙的解答是（1）填空：的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简11．（2021·重庆市永川萱花中学校七年级月考）（1）通过计算下列各式的值探究问题：①______；______；_____．探究：对于任意非负有理数，______．②______；______；______．探究：对于任意负有理数，______．综上，对于任意有理数，______．（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：．【易错点3二次根式的运算】（2020·辽宁锦州市·八年级期中）计算：（1）（2）（3）（4）【变式训练】一、选择题1．（2021·阜南县文勤学校八年级月考）计算的结果是（）A．0 B． C． D．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）下列计算不正确的是（）A．3﹣＝2 B．＋＝3C．（1﹣）2＝3﹣2 D．×＝3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，则以点A为圆心，AB为半径的圆交数轴于点C，则点C表示的数是（）A． B． C． D．4．（2021·广东广州市·九年级一模）已知a=，b=，则a2+b2的值为（）A．8 B．1 C．6 D．5．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）下列各组根式中，不是同类二次根式的是（）A．和B．和C．和D．和二、填空题6．（2021·全国八年级期中）计算的结果是__________．7．（2021·山东青岛市·九年级一模）计算的结果等于______．8．（2021·全国八年级单元测试）已知，，则的值是______．9．（2020·浙江七年级期末）如果的整数部分为a．小数部分为b，求_________．10．（2021·四川成都市·西川中学南区八年级期中）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__．三、解答题11．（2020·浙江八年级月考）计算：（1）（2）．12．（2021·浙江八年级月考）计算：（1）；（2）．13．（2021·福建厦门市·厦门双十中学八年级月考）（1）（2）14．（2021·浙江）计算：（1）（2）15．（2021·重庆市綦江中学八年级月考）计算：（1）；（2）．16.（2021·山西晋中市·八年级期末）计算：（1）（2）17．（2021·山西晋中市·八年级期末）计算：（1）（）（）+（）2．（2）﹣（+）×．18．（2020·浙江八年级期中）计算：（1）（2）19．（2021·重庆市永川萱花中学校八年级月考）计算（1）(＋)－(－)（2）（3）（4）20．（2018·辽宁本溪市·八年级期末）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：例1：例2：，，…（1）=；（2）请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的规律，求下面式子的值：【易错点4二次根式的分母有理化】（2020·广东佛山市·平洲一中八年级月考）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；模仿上例完成下列各小题：（1）______；（2）_______（3）请根据你得到的规律计算下题：（为正整数）．【变式训练】1．（2021·全国八年级）已知a＝，b＝．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．2．（2020·忠县乌杨初级中学校八年级月考）阅读下面的问题：；；试求：(1)；(2)3．（2020·重庆涪陵区·八年级期末）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（+3）（﹣3）＝﹣4，像（+3）和（﹣3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如（）与（）也互为有理化因式．于是，下面二次根式除法可以这样运算：＝＝7+4．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化．解决问题：（1）2+3的一个有理化因式是，分母有理化结果是；（2）计算：+．4．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：；；；……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2）计算；（3）设，，，比较a，b，c的大小关系．5．（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简．解：＝＝﹣．[理解应用]（1）化简：；（2）若a是的小数部分，化简；（3）化简：++…+．6．（2020·河南洛阳市·九年级月考）阅读下面的材料，并解决问题．﹣1；；…（1）观察上式并填空：＝．（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，．（用含n的式子表示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：①＝；②．7．（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：＝＝；＝＝；＝＝＝2﹣；…则：（1）＝；＝；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝；（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．8．（2021·全国八年级）把二次根式的分母中的根号去掉，叫做二次根式的分母有理化．例如：．（1）请仿照例题将分母有理化；（2）直接写出________．（3）化简……________（写出解答过程）．9．（2021·全国八年级）观察下列运算过程：，．（1）请运用上面的运算方法计算：；（2）利用上面的规律，比较与的大小．10．（2021·全国八年级）先阅读，后解答：，像上述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）的有理化因式是________；的有理化因式是________．（2）将下列式子进行分母有理化：①________；②________．（3）计算：．11．（2020·重庆市第一一〇中学校八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：化简：，则，，（1）请直接写出下列式子的值：；．（2）请利用材料给出的结论，计算：的值；（3）请利用材料提供的方法，计算的值．12．（2021·湖北十堰市·八年级期末）（1）观察探究：①；②；③．（2）尝试练习：（仿照上面化简过程，写出①的化简过程，直接写出②化简结果）①，②；（3）拓展应用：①化简：；②计算的值．【易错点5二次根式的规律探究】观察下列各式：①＝2；②＝3；③＝4．（1）根据你发现的规律填空：④＝；⑤＝（2）请你将发现的规律用含自然数n（n≥2，n为自然数）的等式表示出来并证明你的猜想．【变式训练】1．在学习二次根式时，思思同学发现一个这样的规律；；（1）假设说思发现的规律是正确的，请你写出后面连续的两个等式；（2）用字母表示思思发现的规律；（3）请你给出这个结论的一般性的证明．2．观察下列各式，发现规律：=2；=3；=4…（1）填空：=____，=___；（2