江西省重点中学九校2025届高三数学6月第二次联考试题文含解析

PAGE22-江西省重点中学九校2025届高三数学6月其次次联考试题文（含解析）满分：150分时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数,再依据实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】为纯虚数，，即，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.复数是高考中的必考学问，主要考查复数的概念及复数的运算．要留意对实部、虚部的理解，驾驭纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特殊要留意多项式相乘后的化简，防止简洁问题出错，造成不必要的失分.2.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，．599，600从中抽取60个样本，现供应随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列起先向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号（）A.522 B.324 C.535 D.578【答案】B【解析】【分析】依据随机数表的定义进行推断即可．【详解】解：第6行第6列的数起先的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适，324合适，则满意条件的7个编号为436，535，577，348，522，578，324，则第7个编号324，故选：B．【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，依据定义选择满意条件的数据是解决本题的关键，属于基础题．3.欧拉公式为虚数单位是瑞士数学家欧拉独创的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式可知，表示的复数的模为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆由题意可得，再由复数模的计算公式得答案．【详解】由题意，=cos+isin，∴∴表示的复数的模为．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4.将一边长为1正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱椎C—ABD．其正视图与俯视图如下图所示，则左视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意确定几何体的相关边的长度，作出左视图，依据数据，求出左视图的面积．【详解】由题中正视图和俯视图，结合折叠前的图，则三棱椎C—ABD，若为的中点，则面，，则左视图为三角形，其面积.故选：A【点睛】本题考查了三视图求面积，考查计算实力，逻辑思维实力，属于简洁题．5.设不等式表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】试题分析：阴影部分的面积为：，正方形的面积为:,故选.考点：1、几何概型的计算，面积比【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域为如图所示的正方形区域，而区域内的随意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案.【详解】6.设x∈R，a＜b，若“a≤x≤b”是“x2+x-2≤0”的充分不必要条件，则b-a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求得x的取值范围，依据充分不必要条件可求出a、b的范围即可．【详解】解不等式得因为“”是“”的充分不必要条件，且所以所以选C【点睛】本题考查了充分必要条件的推断，留意边界问题，属于基础题．7.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代著名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于()A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不满意模3余2.i=4,n=17,满意模3余2,不满意模5余1.i=8,n=25,不满意模3余2,i=16,n=41,满意模3余2,满意模5余1.输出i=16.选C．8.在中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则（）A. B. C.或 D.或3【答案】D【解析】【分析】由，可求得，再结合面积和，即可求得边，再由余弦定理求得.【详解】由，由正弦定理得，又，得，得，得，又，得，则，则，由余弦定理，得，得或.故选：D【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，依据边角关系正确选用正弦定理和余弦定理是解题的关键.9.体育品牌Kappa的LOGO为可抽象为：如图背靠背而坐的两条美丽的曲线，下列函数中大致可“完备”局部表达这对曲线的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】从图像可以看出，函数是偶函数，并且当趋近于0时，函数值趋近于正无穷，据此推断.【详解】因为、两个函数均是奇函数，故不符合题意；对A：当趋近于0，且足够小时，，不符合题意；对D：因为，满意趋近于0，且足够小时函数值.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，一般地，此类题目要从函数奇偶性，单调性，特殊值进行推断和选择.10.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2024积数列”，且，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（）A.1009 B.1010 C.1011 D.2024【答案】B【解析】【分析】由题意可得．再依据等比数列的性质，，由此可得当其前项的乘积取最大值时，的最大值．【详解】解：若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”，若各项均为正数的等比数列是一个“2024积数列”，且，．，．，则当其前项的乘积取最大值时，的最大值为1010，故选：B．【点睛】本题考查等比数列前项的乘积取最大值时的值的求法，考查等比数列的性质等基础学问，考查推理论证实力、运算求解实力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．11.已知定义在R上函数满意=1，且对于随意的x，恒成立，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，然后探讨的单调性，由单调性求得不等式的解集.【详解】设，由，得，为减函数．又，可得，由题，得，得，得或解得或.故选：B【点睛】本题考查了构造新函数，并用导数探讨函数的单调性，利用单调性解不等式.12.设函数由方程确定，对于函数给出下列命题：①存在，，使得成立；②，，使得且同时成立；③对于随意，恒成立；④对随意，，；都有恒成立．其中正确的命题共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】将方程的肯定值符号去掉，画出函数的图象，对命题逐一推断，得:对①，函数在上递减，故①错误；对②，即，均在图象上，探讨点分别在第一、二、四象限代入方程，看是否有实数解；对③，恒成立，即恒成立，由图的图象总在图象的上方，故③正确；对④，可通过举出反例确定④错误.【详解】由方程知，当且时，方程为；当且时，方程为，不成立；当且时，方程为；当且时，方程为，不成立；作出函数的图象如图所示，对于①，是定义域R上的单调减函数，则对随意，都有恒成立，①错误；对于②，假设点在第一象限，则点也在第一象限，所以，该方程组没有实数解，所以该状况不行能；假设点在第四象限，则点在其次象限，所以，该方程组没有实数解，所以该种状况不行能；同理点在其次象限，则点在第四象限，也不行能．故该命题是假命题．对于③，由图形知，对于随意，有即恒成立，③正确；对于④，不妨令，则为，又由题，则，即不恒成立，所以④错误．综上知，正确的命题序号是③．故选：A【点睛】本题考查了函数性质的综合应用，按定义去肯定值和画出函数的图象，数形结合是解决问题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于__________【答案】1【解析】【分析】利用向量的投影概念，计算出向量的模长，结合向量的数量积，可得结果.【详解】在方向上的投影为，所以有，且，所以故答案为：1【点睛】本题考查向量的投影的概念，以及向量数量积公式的应用，属基础题.14.函数（，）的部分图像如下图所示，该图像与y轴相交于点，与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且三角形MBC的面积为，则图像的一个对称中心是__________．（写出一个符合题意的即可）【答案】（写成一个即可）【解析】【分析】依据三角形的面积为求得的值，可得函数的周期，从而求得的值，再把点代入求得的值，从而得到函数的解析式，即可得到函数的对称中心．【详解】解：，周期，．由，得，又，，．令，，解得，故函数的对称中心为，故答案为：，【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的对称性的应用，属于基础题。15.设直线l为曲线在点处的切线，则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是__________．【答案】12【解析】【分析】首先求出导函数，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再依据点斜式求出切线方程，进而求出直线与坐标轴的交点，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解.【详解】由，则，所以，则在点处的切线方程为：，即，当时，，当时，，则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积：，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：12【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则、基本不等式求最值，属于中档题.16.已知一球O的半径为R，有一圆柱内接于球O，当该圆柱的侧面积最大时，此圆柱的体积为2π，则球O的表面积为__________．【答案】8π【解析】【分析】由题意得，作图，设圆柱底面半径为，圆柱高为，球的半径为，得，而圆柱的侧面积，可得，然后利用求导的方法来求得圆柱的侧面积最大时，的取值状况，进而可以求出，最终依据球的面积公式求出球的表面积.【详解】设圆柱底面半径为，圆柱高为，球的半径为，如图，，而圆柱的侧面积，可得，令则,令，得，即当时，圆柱侧面积最大，所以，，又圆柱侧面积最大时，它的体积，解得，，所以，球的表面积【点睛】本题考查球的表面积公式、圆柱的侧面积公式和体积公式，体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，属于难题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答．17.已知数列满意．（1）若数列是等差数列，求数列的前n项和；（2）证明：数列不行能是等比数列．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出，公差，再利用裂项求和法即可求解.（2）求出数列的前项，利用等比中项即可证出.【详解】（1）设数列首项为，公差为d．则，代入已知得：，又，即，所以，对应系数相等，易得，，∴．设，则.∴．（2）假设数列是等比数列，则，由已知，可得，，代入，易得，，，．于是数列的前4项为4，6，9，14；明显它不是等比数列，所以数列不行能是等比数列．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和、等比中项，属于基础题.18.某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：月份12345销量（百台）0.60.81.21.61.8（1）经分析发觉1月到5月的销售量可用线性回来模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回来方程，并预料6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体非常浩大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采纳分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回来方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百台）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算平均数与回来系数，写出线性回来方程，再利用回来方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本领件数，再计算所求的概率值．【详解】（1）因为，所以，则，于是关于的回来直线方程为.当时，（百台）.（2）现采纳分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为，，，，购买意愿为12月份的抽2人记为，，从这6人中随机抽取3人的全部状况为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、、、，共4种，故所求概率为.【点睛】本题考查了线性回来方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．19.如图几何体中，四边形为矩形，，，，，为的中点，为线段上的一点，且．（1）证明：面面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连结，依据所给的条件，可证明都是等边三角形，所以，即证明平面，再说明面面垂直；（2），依据（1）的结果可知，依据平面几何可求底面面积，代入求体积.试题解析：(1）证明：连接∵，为的中点∴.∵，∴，∵，为矩形∴，又∵，∴为平行四边形∴，∴为正三角形∴，∵，∴面.∵面，∴面面.(2），因为，，所以.所以.20.过抛物线上一点作直线交抛物线E于另一点N.（1）若直线MN的斜率为1，求线段的长.（2）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．假如有求定点坐标，假如没有请说明理由．【答案】（1）（2）有，定点．【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程求出，可得抛物线方程，求出直线的方程，将直线与抛物线联立求出交点，从而利用两点间的距离公式即可求解.（2）设出直线AB的方程：，将直线与抛物线联立消，利用，可得，设，利用韦达定理，结合，利用向量数量积的坐标运算整理可得，从而可得，代入直线方程即可求解.【详解】（1）把代入中，得直线的方程：，即：与联立得：，∴，；∴∴．（2）设直线AB方程为：与联立，得：，设，，即，∵，∴∴整理得：代入得：即∴（舍去），（符合）∴直线∴即动直线AB经过定点．【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题、定点问题，此题要求有较高的计算求解实力，属于中档题.21.已知函数在上单调递增，函数．（1）求的值；（2）若存在，使得成立，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据函数单调性可知导函数不小于0恒成立，转化为恒成马上可求解；（2）构造函数，求函数导数，分类探讨，得出函数的单调性，求即可求解.【详解】（1）∵∵在上恒成立．∴恒成立，即∵，，∴，∴．（2）令∵，∴当时，即；在上单调递增，∴∴当时，即，在上单调递减，∴∴当时，存在使得在上单调递减，在上单调递增∴∴，解得综合上述：m的取值范围是【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的单调性，最值，分类探讨思想，不等式有解问题，属于难题.（二）选考