江苏省南京市浦口区明发一中2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市浦口区明发一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y＝5 B．x+＝0 C．5x2＝1 D．y2﹣x+3＝02．一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定3．已知1是关于x的一元二次方程x2+x+k2﹣3k﹣6＝0的一个实数根，则实数k的值是（）A．4或﹣1 B．﹣4或1 C．﹣1 D．44．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7 B．6 C．5 D．45．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB的长等于半径，∠BAC＝110°，则∠ABC的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°6．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．4.8 C．2 D．3二、填空题7．方程x2﹣2x＝0的解是．8．已知x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的实数根，则x1+x2﹣x1x2＝．9．①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行四边形是矩形；⑥相等的弦所对的弧相等．说法正确的有（填序号）．10．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．11．某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程．12．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝108°，点E在上，则∠E＝°．13．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为寸．14．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，＝2．若∠DEB＝69°，则的度数为°．15．如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则的度数为．16．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），若直线y＝x+b上存在点P满足45°≤∠APB≤90°且PA＝PB，则常数b的取值范围是．三、解答题17．解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x2﹣3x﹣3＝0；（3）（2x﹣1）2＝2x﹣1．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，OE＝OF．求证：AC＝BD．19．关于x的方程x2﹣（m+4）x+3m+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于2，则m的取值范围是．20．如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点．（1）点M的坐标是；（2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由．21．某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12000元的利润，且尽量减少库存，应涨价为多少元？22．如图，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，则的度数为°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．23．请用两种不同的方法证明“圆内接四边形的对角互补”．已知：；求证：．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且，AE，CB的延长线交于点G，CF⊥AB交于AG于点F，垂足为D．（1）求证：∠CAB＝∠BCD；（2）求证：AF＝FG．25．已知⊙O．设过点P所画的⊙O的两条切线分别为PA，PB，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使∠APB＝45°．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）26．如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝m．过A，B，C三点的⊙O的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：【特殊情形】（1）如图②，当m＝0时，圆心O在AD上，求⊙O的半径．【一般情形】（2）（Ⅰ）当m＝2时，求⊙O的半径；（Ⅱ）当m＞0时，随着m的增大，点O的运动路径是．（填写序号）①射线②弧③双曲线的一部分④不规则的曲线【深入研究】（3）如图③，连接AC，以O为圆心，作出与CD边相切的圆，记为小⊙O．当小⊙O与AC相交且与BC相离时，直接写出m的取值范围．

2024-2025学年江苏省南京市浦口区明发一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：A、含有2个未知数，不符合题意；B、为分式方程，不符合题意；C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；D、含有2个未知数，不符合题意；故选：C．2．【解答】解：∵x2﹣4x＝﹣4，∴x2﹣4x+4＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，∴一元二次方程x2﹣4x＝﹣4有两个相等的实数根．故选：A．3．【解答】解：根据题意，直接把x＝1代入x2+x+k2﹣3k﹣6＝0，则12+1+k2﹣3k﹣6＝0，∴k＝4或k＝﹣1；故选：A．4．【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，∴OP＜5．故选：D．5．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，∵AB＝OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB＝60°，∵∠BAC＝110°，∴∠OAC＝110°﹣60°＝50°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠ABC＝∠AOC＝40°．故选：B．6．【解答】解：以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交⊙O于点E，连接BE，BD，如图所示：在△BCD中，∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，由勾股定理得：BD＝＝5，∵∠BCD＝90°，∴BE为⊙O的直径，∴点B，O，E在同一条直线上，∴OB＝OE，∵∠AOB＝90°，∴DE＝BD＝5，在Rt△BCE中，CE＝CD+DE＝8，BC＝4，由勾股定理得：BE＝＝＝．∴OB＝OE＝BE＝．故选：C．二、填空题7．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，则x＝0，x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．8．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣2）＝5．故答案为：5．9．【解答】解：①弦不一定是直径，原说法错误；②半圆是弧，原说法正确；③半径相等的两个半圆是等弧，原说法错误；④经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，原说法错误；⑤圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是90°，所以圆的内接平行四边形是矩形，原说法正确；⑥同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原说法错误．所以说法正确的有②⑤．故答案为：②⑤．10．【解答】解：如图，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．11．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意：3000（1+x）2＝3662，故答案为：3000（1+x）2＝3662．12．【解答】解：在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C＝108°，∴∠C+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣108°＝72°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝（180°﹣72°）＝54°，∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD＝180°，∴∠E＝180°﹣54°＝126°．故答案为：126．13．【解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，则AD＝BD＝AB＝5，设圆形木材半径为r寸，则OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣1）2+52，解得：r＝13，∴⊙O的半径为13寸，故答案为：13．14．【解答】解：连接OB、OD、BC，∵∠DEB＝69°，∠CEB+∠DEB＝180°，∴∠CEB＝111°，∵＝2，∴∠ABC＝2∠BCD，∵∠ABC+∠BCD+∠CEB＝180°，∴3∠BCD＝69°，∴∠BCD＝23°，∴∠BOD＝2∠BCD＝46°，∴的度数为46°，故答案为：46．15．【解答】解：如图，连接OA、OE，∵⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，∴∠OAH＝∠OEF＝90°，∵六边形AHGFEO的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∠H＝∠G＝∠F＝（8﹣2）×180÷8＝135°，∴∠AOE＝720°﹣90°×2﹣135°×3＝135°，∴的度数为135°，故答案为：135°．16．【解答】解：∵A（﹣2，0），B（4，0），∴AB＝6．∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，则点C（1，0），∴OC＝1．①当b＞0时，设直线y＝x+b交x轴于点D，交y轴于点E，则D（﹣b，0），E（0，b）．∴OD＝b，OE＝b．∴∠ODE＝∠OED＝45°，DC＝OD+OC＝b+1．当∠APB＝90°时，如图，∵PC∥OE，∴∠CPE＝∠OED＝45°．∴PC＝DC＝b+1，∵C为斜边AB的中点，∴PC＝AB＝3．∴b+1＝3．∴b＝2．当∠APB＝45°时，如图，过点A作AF⊥BP于点F，∵∠APB＝45°，∴AF＝PF．设AF＝PF＝x，则PA＝x，∵PA＝PB，∴PB＝x，∴BF＝PB﹣PF＝x．∵AF2+BF2＝AB2，∴，∴x2＝18+9．∵，∴6（b+1）＝x•x．∴b＝3+2．∵45°≤∠APB≤90°，∴2≤b≤3+2．②当b＜0时，设直线y＝x+b交x轴于点D，交y轴于点E，则D（﹣b，0），E（0，b）．∴OD＝﹣b，OE＝﹣b．∴∠ODE＝∠OED＝45°，DC＝OD+OC＝﹣b﹣1．当∠APB＝90°时，如图，PC∥OE，∴∠CPE＝∠OED＝45°．∴PC＝DC＝﹣b﹣1，∵C为斜边AB的中点，∴PC＝AB＝3．∴﹣b﹣1＝3．∴b＝﹣4．当∠APB＝45°时，如图，过点A作AF⊥BP于点F，∵∠APB＝45°，∴AF＝PF．设AF＝PF＝x，则PA＝x，∵PA＝PB，∴PB＝x，∴BF＝PB﹣PF＝x．∵AF2+BF2＝AB2，∴，∴x2＝18+9．∵，∴6（﹣b﹣1）＝x•x．∴b＝﹣3﹣4．∵45°≤∠APB≤90°，∴﹣3﹣4≤b≤﹣4．综上，常数b的取值范围是：2≤b≤3+2或﹣3﹣4≤b≤﹣4．三、解答题17．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，所以x1＝﹣1，x2＝5．（2）2x2﹣3x﹣3＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，则x＝，所以，．（3）（2x﹣1）2＝2x﹣1，（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（2x﹣1﹣1）＝0，（2x﹣1）（2x﹣2）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣2＝0，所以．18．【解答】证明：连接OC，OD，∵CE⊥AB、DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°．在Rt△OEC和Rt△OFD中，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD．19．【解答】（1）证明：b2﹣4ac＝（m+4）2﹣4（3m+3）＝（m﹣2）2，∵无论m取何值时，（m﹣2）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：x2﹣（m+4）x+3m+3＝0，（x﹣3）（x﹣m﹣1）＝0，x＝3或x＝m+1，若方程有一个根小于2，则m+1＜2，解得m＜1．综上可知，若方程有一个根小于2，m的取值范围为m＜1．故答案为：m＜1．20．【解答】解：（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，则以点M为圆心，以AM为半径的圆为所求，如图所示：根据网格的特征可得：点M的坐标为（3，2），故答案为：（3，2）．（2）⊙M于y轴相交，理由如下：由勾股定理得：MA＝＝，即⊙M的半径为r＝，∵⊙M的圆心M的坐标为（3，2），∴点M到y轴的距离d＝3，∵d＜r，∴⊙M于y轴相交．21．【解答】解：设应涨价为x元，则销售量为（500﹣10x）件，根据题意得：（50+x﹣30）（500﹣10x）＝12000，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20（不符合题意，舍去），答：应涨价为10元．22．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵＝，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴＝130°，故答案为：130；（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12；在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半径是．23．【解答】解：已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，求证：∠BAD+∠BCD＝180°，证明：方法①，如图，连接OD，OB，∵∠A＝∠2，∠C＝∠1，∴∠BAD+∠BCD＝（∠2+∠1）＝×360°＝180°；方法②，如图，作直径AE，连接BE，DE，∴∠ABE＝∠ADE＝90°，∴∠BAD+∠BED＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠C＝∠BED，∴∠BAD+∠BCD＝180°．24．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴CF⊥AB于D，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠BCD；（2）如图，连接CE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∵＝，∴∠AEC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠G＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∵∠CAG＝∠ACF，∴∠G＝∠BCF，∴CF＝FG，∴AF＝FG．25．【解答】解：如图，点P即为所求．方法①：作直径EB，CD，且CD⊥EB；作半径OA平分∠EOD；过A，B分别作OA，OB的垂线，两条垂线的交点即为点P．方法②：作半径OA，过A作直线l⊥OA，以点A为圆心，OA为半径画弧交圆O于点C，再以点C为圆心，OC为半径画弧交直线l于点P，再以点P为圆心，AP为半径画弧交⊙O于点B，连接OB，BP，即∠APB＝45°，点P即为所求．26．【解答】（1）解：连接OC，在⊙O中，设OA＝OC＝r，则OD＝8﹣r．在Rt△OCD中，∠D＝90°∴OD2+CD2＝OC2，即（8﹣r）2+62＝r2．解得r＝．（2）（Ⅰ）解：过点O分别作OF⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OB，∵OF过圆心，OF⊥AB，∴AF＝BF＝1．∵∠A＝∠D＝∠OFA＝90°，∴四边形AFED是矩