专题2.12反比例函数与几何压轴大题专练（分层培优强化40题）-2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍

20222023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.12反比例函数与几何压轴大题专练（分层培优强化40题，八下苏科）【基础过关】（每题10分，满分100分，建议用时：90分钟）1．（2023•钟楼区校级模拟）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴a+b﹣2≥0，∴a+b≥2只有当a＝b时，等号成立．【数学认识】：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．【解决问图】：（1）若x＞0时，当x＝1时，有最小值为2．（2）如图，已知点A是反比例函数的图象在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一支于点B．以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限，记点C的运动轨迹为l．过点A作AD∥y轴交l于点D，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，求四边形ADNM周长的最小值．【分析】（1）直接运用公式可得答案；（2）过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质可得S△OCE＝3S△AOM＝，则点C在双曲线y＝﹣上运动，设A（m，），则C（m，﹣），表示出AM+AD的长，利用公式可得AM+AD的最小值，从而解决问题．【解答】解：（1）∵x+≥2＝2，当x＝时，x+有最小值为2，∴x＝1，故答案为：1，2；（2）∵OA＝OB，△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，OC＝OA，过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM+∠COE＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠COE，∵∠AMO＝∠CEO，∴△AMO∽△OEC，∴S△OCE＝3S△AOM＝，∴点C在双曲线y＝﹣上运动，设A（m，），则C（m，﹣），∴AM＝m，AD＝，∴m+≥2＝4，∴AM+AD的最小值为4，∴四边形ADNM周长的最小值为8．2．（2023•高新区模拟）平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝kx﹣2k图象交于A、B两点（点A在点B左侧）．（1）求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；（2）当k＝2时，过y轴正半轴上一动点C（0，n）作平行于x轴的直线，分别与一次函数y＝kx﹣2k、反比例函数的图象相交于D、E两点，若CD＝3DE，求n的值；（3）若一次函数y＝kx﹣2k图象与x轴交于点F，AF+BF≤5，直接写出k的取值范围．【分析】（1）将两个解析式联立求解，即可得到A、B的坐标；（2）因为过C（0，n）的直线平行与x轴，可得点D、E的纵坐标都为n．将y＝n代入y＝2x﹣4和，得和，分当0＜n＜2时和当n＞2时两种情况，分别表示出CD与DE，根据CD＝3DE列方程即可求解；（3）结合（1），根据AF+BF≤5，即AB≤5，得到关于k的不等式，即可求解．【解答】解：（1）联立解析式得：，解得或，∵点A在点B左侧，∴A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；（2）∵k＝2，∴反比例函数与一次函数的解析式为和y＝2x﹣4，点B（3，2），∵过C（0，n）的直线平行于x轴，∴点D、E的纵坐标都为n．将y＝n代入y＝2x﹣4和，得：xD＝+2，xE＝，当0＜n＜2时，如图：∴CD＝+2，DE＝﹣﹣2，∵CD＝3DE，∴+2＝3（﹣﹣2），整理，得n2+4n﹣9＝0，解得n＝﹣2+或n＝﹣2﹣（舍去）；∴n＝﹣2+；当n＞2时，如图：，，∴CD＝+2，DE＝2+﹣，∵CD＝3DE，∴+2＝3（2+﹣），整理，得n2+4n﹣18＝0，解得n＝﹣2+或n＝﹣2﹣（舍去），∴n＝﹣2+，综上所述：n的值为或；（3）由（1）知A（﹣1，﹣3k），B（3，k），∵AF+BF≤5，AF+BF＝AB，∴AB≤5，∴≤5，整理，得k2≤，∴﹣≤k≤，∴k的取值是﹣≤k≤，且k≠0．3．（2022春•海陵区校级期末）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．解决问题：（1）已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③；（填序号）（2）如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；（3）若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可得答案；（2）根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标的特征可得（2，4），C（，），从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式；（3）设A（m，），C（n，），则B（m，），D（n，），利用待定系数法求出直线BD的解析式可得答案．【解答】（1）解：①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4），∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24，∴A、C满足同一个反比例函数，②∵A（1，5），C（2，3），∴1×5＝5，2×3＝6，∴A、C不满足同一个反比例函数，③∵A（3，4），C（2，6），∴3×4＝12，2×6＝12，∴A、C满足同一个反比例函数，∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，故答案为：①③；（2）解：∵点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，∴A（2，4），C（，），∴D（，4），设直线BD的解析式为y＝ax+b，则，∴，∴y＝x；（3）证明：∵A、C在反比例函数（k≠0）上，设A（m，），C（n，），则B（m，），D（n，），设直线BD的解析式为＝cx+d，则，∴，即y＝x，∴直线BD过原点．4．（2023•海陵区一模）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可表示出点P、A、B的坐标；（2）由点P、A、B的坐标，可知PA、PB的长度，从而得出答案；（3）利用待定系数法表示出直线AB的解析式，根据点P始终点AB的上方，得出a的不等式，从而解决问题．【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，点P横坐标为a．∴P（a，），∵PA∥x轴，PB∥y轴，∴B（a，﹣），A（﹣）；（2）是定值，理由如下：∵PA＝a﹣（﹣）＝，PB＝﹣（﹣）＝，∴△APB的面积为×PA×PB＝＝，∵S四边形AOBP＝3+1＝4，∴△AOB的面积为定值4﹣＝；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点B（a，﹣），A（﹣）代入得，k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为：y＝﹣，当x＝时，y＝﹣，∵点Q始终在△PAB的内部，∴﹣＜1，且＞1，且a＞，解得a≠1，且＜a＜3，综上：＜a＜3且a≠1．5．（2022春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、EM、FM．（1）当t＝1时，求点F的坐标．（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？【分析】（1）由题意可得点E（1，2），可得双曲线解析式：y＝，即可求点F坐标；（2）由平行线的性质和角平分线的性质可得EF＝BF＝1，即可求t的值；（3）延长EM，BC交于点N，由“AAS”可证△DEM≌△CNM，可得EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，由“SAS”可证△EMF≌△NMF，可得EF＝NF，即可求t的值．【解答】解：（1）当t＝1时，EG＝1×1＝1＝AB∴点E（1，2）设双曲线解析式：y＝∴k＝1×2＝2∴双曲线解析式：y＝∵OB＝OA+AB＝2，∴当x＝2时，y＝1，∴点F（2，1）（2）∵EG＝AB＝t，∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）设双曲线解析式：y＝∴m＝1+t∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1∴点F（1+t，1）∵BE平分∠AEF∴∠AEB＝∠BEF，∵AD∥BC∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF∴EF＝BF＝1∴＝t＝1∴t＝（3）延长EM，交于BC的延长线于点N，∵EG＝AB＝t，∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t，设双曲线解析式：y＝∴n＝1+t∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1∴点F（1+t，1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM，∴△DEM≌△CNM（AAS）∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，∵CF＝BC﹣BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t，∵∠EMF为直角，∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF，∴△EMF≌△NMF（SAS），∴EF＝NF，∴t＝4﹣t∴t＝4﹣46．（2022春•盱眙县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形AOCB．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S△PAO＝，构建方程即可解决问题；（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，∴点B的坐标为（4，3），∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上∴k＝12，∴y＝，设点P的纵坐标为m（m＞0），∵S△PAO＝．∴•OA•m＝OA•OC•，∴m＝2，当点，P在这个反比例函数图象上时，则2＝，∴x＝6∴点P的坐标为（6，2）．（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，∴点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，则PO+PA的最小值＝PO′+PA＝O′A＝＝4．（3）①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB＝AP＝PQ＝BQ＝3，P1（4﹣，2），P2（4+，2），∴Q1（4﹣，5），Q2（4+，5）．②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P3（4﹣2，2），P4（4+2，2），∴Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．综上所述，点Q的坐标为Q1（4﹣，5），Q2（4+，5），Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．7．（2022春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，A（﹣3，0），B（0，1），C（m，n）．（1）请直接写出C点坐标．（2）将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B′、C′两点的对应点、正好落在反比例函数y＝在第一象限内图象上．请求出t，k的值．（3）在（2）的条件下，问是否存在x轴上的点M和反比例函数y＝图象上的点N，使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标；（2）首先设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t﹣4，3），由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得t＝3（t﹣4），继而求得m的值，则可求得各点的坐标，于是得到结论；（3）如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，根据中点坐标公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠AOB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵Rt△ABC，∠A＝90°，∴∠DAC+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠ACD，在△ADC和△BOA中，，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝3，∴OD＝OA+AD＝4，∴C点坐标为：（﹣4，3）；（2）设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t﹣4，3），∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上，∴t＝3（t﹣4），解得：t＝6，∴B′（6，1），C′（2，3），∴k＝6，∴反比例函数的解析式为：y＝；（3）存在，如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，可知B′C′，MN的中点为同一个点，即＝，∴yN＝4代入y＝得xN＝1.5，∴N（1.5，4）；∵＝，∴xM＝6.5，∴M（6.5，0）；如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（7，0），N（3，2）；如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（﹣7，0），N（﹣3，﹣2）；综上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（﹣7，0），N（﹣3，﹣2），使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形．8．（2023春•姜堰区月考）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）求反比例函数y＝的关系式；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求am的值；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，求点A的坐标．【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；（2）根据AAS可证△BDF≌△ACF，根据全等三角形面积相等即可得证结论；（3）设A点坐标为（a，），则可得C、D的坐标，根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．【解答】（1）解：∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝1，解得：k＝2，故反比例函数的关系式为：y＝；（2）证明：在△ACF和△BDF中，∵∠ACF＝∠BDF，∠CFA＝∠BFD，AC＝BD，∴△ACF≌△BDF（AAS），∴S△BDF＝S△ACF，∵点A坐标为（a，），则可得C（0，），∴AC＝a，OC＝，即a×（﹣m）＝a×（+m），整理得am＝﹣2；（3）解：设A点坐标为（a，），则C（0，），D（0，﹣），∵E（2，1），∠CED＝90°，∴CE2+DE2＝CD2，即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，解得a＝﹣2（舍去）或a＝，∴A点的坐标为：（，）．9．（2022春•亭湖区校级期中）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（8，6），双曲线的图象经过点A．（1）菱形OABC的边长为10；（2）求双曲线的函数关系式；（3）点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于x轴，点P是直线l上一个动点，①将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．②点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标．【分析】（1）连接AC交y轴于点J，根据菱形的性质得AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，根据点C的坐标得AJ＝JC＝8，OJ＝BJ＝6，根据勾股定理即可得；（2）先求出点A的坐标，然后用待定系数法即可求出反比例函数解析式；（3）①过点A作AT⊥PD，过点Q作QR⊥AT，先求出AT＝18，，然后证明△APT≌△QAR得到AT＝RQ＝18，即可得点Q的横坐标；②分别以AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可得．【解答】解：（1）如图1中，连接AC交y轴于点J，∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，∵点C的坐标为（8，6），∴AJ＝JC＝8，OJ＝BJ＝6，∴，即菱形OABC的边长为10，故答案为：10．（2）∵AJ＝JC，OJ＝BJ，∴点A的坐标为（﹣8，6），∵反比例函数经过点A（﹣8，6），∴，k＝﹣48，∴反比例函数解析式为；（3）①如图2中，过点A作AT⊥PD，过点Q作QR⊥AT，∵OJ＝BJ＝6，∴OB＝12，∴点B的坐标为（0，12），∴点D的坐标为（0，﹣12），∴直线l为y＝﹣12，∵点A的坐标为（﹣8，6），直线l为y＝﹣12，∴AT＝18，∵∠ATP＝∠QRA＝∠PAQ＝90°，∴∠PAT+∠APT＝90°，∠PAT+∠QAR＝90°，∴∠APT＝∠QAR，∵AP＝QA，∴△APT≌△QAR（AAS），∴AT＝RQ＝18，∴点Q的横坐标为10，∵点Q在反比例函数上，∴，∴点Q的坐标为；②设点E的坐标为，点P的坐标为（a，﹣12），当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，∴，解得，，∴点E的坐标为，如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABE'P'时，∵AE'与BP'的中点坐标相同时，∴，解得，m＝8，∴E'的坐标为（8，﹣6），同理可求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABE''P''时，点E''的坐标为，综上，当点E坐标为或（8，﹣6）或时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形．10．（2022春•姑苏区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△AOB的面积＝S△AOH﹣S△BOH，即可求解；（3）当AB是对角线时，由中点坐标公式列出函数关系式，即可求解；当AM（AN）是对角线时，同理可解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6＝，解得：m＝6，故反比例函数表达式为：y＝，当x＝3时，y＝＝2，即点B（3，2），由题意得：，解得：，故一次函数的表达式为：y＝﹣2x+8；（2）设AB交x轴于点H，令y＝﹣2x+8＝0，解得：x＝4，即OH＝4，则△AOB的面积＝S△AOH﹣S△BOH＝×4×6﹣4×2＝8；（3）设点M、N的坐标别为（m，1）、（0，n），当AB是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，即点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）；当AM是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，即点M、N的坐标分别为：（﹣2，1）、（0，5）；当AN是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，即即点M、N的坐标分别为：（﹣2，1）、（0，﹣3）；综上，点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）或（﹣2，1）、（0，5）或（﹣2，1）、（0，﹣3）．【能力提升】（每题10分，满分100分，建议用时：90分钟）11．（2022春•沭阳县月考）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．（1）a＝﹣1，b＝﹣2；（2）求反比例函数表达式；（3）点P在双曲线y＝上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，（2）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式；（3）再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（x，0），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，，且≥0，（a+b+3）2≥0，，解得，故答案为：﹣1，﹣2；（2）设反比例函数表达式为y＝，由（1）知，a＝﹣1，b＝﹣2，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴xD＝1，设D（1，t），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2，t﹣2），∴t＝2t﹣4，∴t＝4，∴D（1，4），∵D点在反比例函数y＝的图像上，∴4＝，∴k＝4，∴反比例函数表达式为y＝；（3）由（2）知，反比例函数的解析式为y＝，∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，∴设Q（x，0），P（x，），①当AB为边时：如图2①所示：若ABPQ为平行四边形，则＝﹣2，解得x＝﹣2，此时P1（﹣2，﹣2），Q1（﹣3，0）；如图2②所示；若ABQP为平行四边形，则＝2，解得x＝2，此时P2（2，2），Q2（3，0）；②如图2③所示；当AB为对角线时：AQ＝BP，且AQ∥BP；则＝﹣2，解得x＝﹣2，此时P3（﹣2，﹣2），AQ＝2，，∴OQ＝AQ﹣AO＝1，∴Q3（1，0）；∴P3（﹣2，﹣2），Q3（1，0）；故Q1（﹣3，0）；Q2（3，0）；Q3（1，0）．12．（2022秋•靖江市校级月考）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣4），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝3CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）点P是坐标轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出符合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A的坐标为（m，﹣4）代入直线y＝x中，可求得A（﹣3，﹣4），即可求得k＝12，根据轴对称的性质即可求出点B的坐标；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（12，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；（3）分两种情况：①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，通过△OBE∽△OP1B，建立方程求解即可；②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，设点P2的坐标为（0，b），利用△BON∽△P2OB，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵A（m，﹣4）在直线y＝x上，∴m＝﹣4，解得m＝﹣3，∴A（﹣3，﹣4），∵A（﹣3，﹣4）在y＝上，∴k＝12，∴y＝，∵直线y＝x与双曲线y＝（k≠0），∴A、B关于原点对称，∴B（3，4）；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝，∵BC＝3CD，BE＝4，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（12，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，∵B′（﹣3，4），C（12，1），∴B′C＝＝3，∴BG+GC＝B′C＝3；故GB+GC的最小值为3；（3）（3）存在．理由如下：①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（3，4），∴OB＝＝5，∴＝，∴a＝，∴点P1的坐标为（，0）；②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，设点P2的坐标为（0，b），∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB，∴△BON∽△P2OB，∴＝，即＝，∴b＝，∴点P2的坐标为（0，）；综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）．13．（2022春•相城区校级期中）【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究：（1）建立函数模型设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则xy＝4，2（x+y）＝m，即y＝，y＝−x+，那么满足要求的（x，y）应该是函数y＝与y＝−x+的图象在第一象限内的公共点坐标．（2）画出函数图象①画函数y＝（x＞0）的图象；②在同一直角坐标系中直接画出y＝−x的图象，则y＝−x+的图象可以看成是由y＝−x的图象向上平移个单位长度得到．（3）研究函数图象平移直线y＝﹣x，观察两函数的图象；①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为（2，2），周长m的值为8；②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围．【结论运用】（4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为m≥4．【分析】（1）由x＞0，y＞0，可得（x，y）在第一象限；（2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出y＝−x+与x轴的交点坐标，即可求解；（3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解；（4）联立方程组，可得2x2﹣mx+20＝0，由根的判别式可求解．【解答】解：（1）∵x，y都是边长，周长为m，∴x＞0，y＞0，m＞0，∴满足要求的（x，y）应该是函数y＝与y＝−x+的图象在第一象限内的公共点坐标．故答案为：一；（2）①y＝的图象如图所示：②y＝﹣x的图象如上图所示，∵y＝−x+与x轴的交点为（，0），∴y＝−x+的图象可以看成是由y＝﹣x的图象向右平移个单位长度得到，故答案为：；（3）①联立方程组可得：，整理得：x2﹣mx+4＝0，∵两图象有唯一交点，∴Δ＝m2﹣16＝0，∴m＝8，∴x2﹣×8x+4＝0，解得：x＝2，∴交点坐标为（2，2），故答案为：（2，2），8；②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；1个交点时，m＝8；（4）设相邻的两边长为x、y，则x•y＝10，2（x+y）＝m，即y＝，y＝﹣x+，联立方程组可得，整理得：2x2﹣mx+20＝0，∵两函数有交点，∴Δ＝m2﹣4×2×20≥0，∴m≥4，故答案为：m≥4．14．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，已知点A（0，﹣6）、C（﹣3，﹣7），点B在第三象限内．（1）求点B的坐标；（2）将△ABC以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、C两点的对应点B'，C'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、C'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，证明△ACF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；（2）先用t表示B′和C′点的坐标，再根据“B'、C'正好落在某反比例函数的图象上”得B′和C′点的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；（3）分各种情况：B'C'为平行四边形的边，B'C'为平行四边形的对角线．分别解答问题．【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠AFC＝∠AEB＝90°，∵点A（0，﹣6），C（﹣3，﹣7），∴CF＝3，AF＝1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAE＝∠CAF+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠BAE，∴△ACF≌△BAE（AAS），∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝1，∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，∴B（﹣1，﹣3）；（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），C′（﹣3，﹣7+2t），设经过B'、C'的反比例函数解析式为：y＝（k≠0），∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），解得，t＝，∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（3）存在，设P（n，0），由（2）知B′（﹣1，6），C′（﹣3，2），①当B'C'为平行四边形的边时，则B′C′∥QP，B′C′＝QP，∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），把Q（n+2，4）代入y＝﹣中，得，4（n+2）＝﹣6，解得，n＝﹣，∴Q（﹣，4），把Q（n﹣2，﹣4），代入y＝﹣中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，解得，n＝，∴Q（，﹣4）；②当B'C'为对角线时，则B'C'的中点坐标为（﹣2，4），∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），∴Q（﹣4﹣n，8），把Q点坐标代入y＝﹣中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，解得，n＝﹣，∴Q（﹣，8），综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、C'四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（﹣，4）或（，﹣4）或（﹣，8）．15．（2022春•吴中区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（﹣1，0），顶点C的坐标为（﹣5，1），对角线AC∥x轴，边AB所在直线y1＝ax+b与反比例函数y2＝（k＞0）的图象在第一象限交于A点．（1）求y1和y2的函数解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，则点A的坐标为（3，1），进而求解；（2）由AC2＝PA2+PC2，即64＝（x﹣3）2+1+（x+5）2+1，即可求解．【解答】解：（1）连接BD，∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，则点A的坐标为（3，1），将点A、B的坐标代入直线的表达式得，解得，∴y1＝x+；将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1＝，解得k＝3，则y2＝；（2）设点P的坐标为（x，0），由点P、A、C的坐标得：AC2＝（3+5）2＝64，PA2＝（x﹣3）2+1，PC2＝（x+5）2+1，由题意得：AC2＝PA2+PC2，即64＝（x﹣3）2+1+（x+5）2+1，解得x＝﹣1±，故点P的坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）．16．（2022春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设直线y＝2x+8与x轴交于D，与y轴交于点C，由S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD求解即可；（3）设M（m，1），N（0，n），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AM为平行四边形的对角线时；③当AN为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求解．【解答】解：（1）将点A（1，6）代入，∴m＝6，∴y＝，将B（3，n）代入y＝，∴n＝2，∴B（3，2），将A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣2x+8；（2）设直线y＝2x+8与x轴交于D，与y轴交于点C，∴C（0，8），D（4，0），∴S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD＝8×4﹣8×1﹣＝8；（3）以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形，理由如下：设M（m，1），N（0，n），①当AB为平行四边形的对角线时，，解得，∴M（4，1），N（0，7）；②当AM为平行四边形的对角线时，，解得，∴M（2，1），N（0，5）；③当AN为平行四边形的对角线时，，解得，∴M（﹣2，1），N（0，﹣3）；综上所述：M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（﹣2，1），N（0，﹣3）．17．（2022•钟楼区校级模拟）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵（）2≥0，∴a+b﹣2≥0∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立．【数学认识】在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．【解决问题】（1）若x＞0时，当x＝1时，x+有最小值为2；（2）如图，已知点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一支与点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．记点C的运动轨迹为l，过点A作AD∥y轴交l于点D，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，求四边形ADNM周长的最小值．【分析】（1）直接运用公式可得答案；（2）过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质可得S△OCE＝3S△AOM＝，则点C在双曲线y＝﹣上运动，设A（m，），则C（m，﹣），表示出AM+AD的长，利用公式可得AM+AD的最小值，从而解决问题．【解答】解：（1）∵x+≥2＝2，当x＝时，x+有最小值为2，∴x＝1，故答案为：1，2；（2）∵OA＝OB，△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，OC＝OA，过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM+∠COE＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠COE，∵∠AMO＝∠CEO，∴△AMO∽△OEC，∴S△OCE＝3S△AOM＝，∴点C在双曲线y＝﹣上运动，设A（m，），则C（m，﹣），∴AM＝m，AD＝，∴m+≥2＝4，∴AM+AD的最小值为4，∴四边形ADNM周长的最小值为8．18．（2022•天宁区校级一模）如图，点A，B在函数（其中x＞0）的图象上，连接AB．取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交函数（其中x＞0）的图象于点D．小明运用几何知识得出结论：AE+BG＝2CF，CF＞DF．设点E，F的横坐标分别为n﹣1，n（n＞1）．（1）①点G的横坐标为n+1．②请你仔细观察函数其中x＞0）的图象，并由此得出一个关于，，，之间数量关系的真命题：若n＞1，则．（2）请你说明在（1）中你提出的命题是真命题的理由；（3）比较与的大小，并说明理由．【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG＝2CF，可得；（2）根据分式的加减计算，利用求差法比较大小即可；（3）根据（2）的结论证明即可．【解答】解：（1）①AE，CF，BG都垂直于x轴，∴AE∥CF∥BG，∵C是AB的中点，∴，∴F是EG的中点，设点E，F的横坐标分别为n﹣1，n（n＞1），∴G（n+1，0），故答案为：n+1；②∵点A，B，D在y＝上，∴A（n﹣1，），B（n+1，），D（n，），∴AE＝，BG＝，DF＝，∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，∴，故答案为：；（2）∵＝＝，∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，∴，∴；（3）∵，∴，∴．19．（2022春•惠山区校级期中）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝4，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（m＞0），根据S△PCO＝S矩形OABC，构建方程即可解决问题；（2）分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时．分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，∴点B的坐标为（6，4），∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上∴k＝24，∴y＝，设点P的横坐标为m（m＞0），∵S△PCO＝S矩形OABC．∴OC•m＝OA•OC，∴m＝5，当点，P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为y＝，∴点P的坐标为（5，）；（2）分两种情况：①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝6，P1（5，4﹣），P2（5，4+），∴Q1（11，4﹣），Q2（11，4+）；．②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，P3（5，4﹣），P4（5，4+），∴Q3（﹣1，4﹣），Q4（﹣1，4+）．综上所述，点Q的坐标为，，，．20．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C在y轴上，∠ADC＝90°，AB＝BC，线段BC，OB的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根．（1）求OA的长；（2）求经过点D的反比例函数的解析式；（3）点P在直线AD上，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程可得BC、OB的长，即可解决问题．（2）如图2中，作DE⊥OA于E，求出BE、DE即可解决问题．（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，②四边形ABQ2P2是菱形，③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，分别求出P、Q坐标即可．【解答】解：（1）如图1中，∵线段BC，OB的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，∴BC＝4，OB＝2，∵BA＝BC∴AB＝4，OA＝OB+BA＝6．（2）如图2中，作DE⊥OA于E．∵cos∠CBO＝＝，∴∠ABD＝∠CBO＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝2，∵∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝1，DE＝BE＝，∴点D坐标（3，﹣），设经过点D的反比例函数解析式为y＝，∴k＝﹣3，∴经过点D的反比例函数解析式为y＝﹣．（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，此时P1（6+2，2），Q1（2+2，2），②四边形ABQ2P2是菱形，此时P2（6﹣2，﹣2），Q2（2﹣2，﹣2），③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，此时P3（4，﹣），Q3（4，）．【培优拔高】（每题10分，满分100分，建议用时：90分钟）21．（2022•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y＝（k≠0）的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．（1）求k和m的值；（2）求直线l的解析式；（3）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y＝（k≠0）于点Q．当点Q位于点P的左侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．【分析】（1）将A（﹣3，﹣1），B（1，m）分别代入y＝，可得答案；（2）利用待定系数法求出l的解析式即可；（3）分别画出函数y＝x+2和y＝的图象，利用数形结合思想可得n的范围．【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣1），B（1，m）分别代入y＝得，∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，m＝k＝3；（2）设直线l的解析式为y＝ax+b，则，解得，∴直线l的解析式为：y＝x+2；（3）如图，当点P在B的上方时，点Q始终在点P的左边，此时n＞3，当点P在点A的上方，x轴的下方时，同样符合题意，此时﹣1＜n＜0，综上：n＞3或﹣1＜n＜0．22．（2021秋•历城区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB，BC分别交于点D，E，且顶点B的坐标为（4，2），BD＝2．（1）求反比例函数y＝（x＞0）的表达式及E点坐标；（2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系，并说明理由．（3）点F是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，且使得∠AEF＝45°，求直线EF的函数关系式．【分析】（1）根据矩形OABC，得到AB与x轴平行，BC与y轴平行，得到B与D纵坐标相同，B与E横坐标相同，再由B横坐标确定出AB的长，由AB﹣BD求出AD的长，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出E坐标即可；（2）DE∥AC，DE＝AC，理由为：连接AC，DE，由（1）得到D、E分别为中点，即DE为中位线，利用中位线定理即可得证；（3）如图2所示，作出∠AEF＝45°，交反比例图象于点F，如图2所示，过A作AG⊥AE，交直线EF于点G，过G作GH⊥y轴交于点H，过E作EI⊥y轴交于点I，可得出△AGE为等腰直角三角形，即AG＝AE，利用AAS得到△AHG≌△EAI，利用全等三角形对应边相等得到HG＝AI，AH＝EI，根据题意确定出G坐标，设直线EF解析式是为y＝kx+b，把G与E坐标代入求出k与b的值，即可确定出所求．【解答】解：（1）∵矩形OABC，∴AB∥OC，BC∥OA，且AB＝OC，BC＝OA，∵B（4，2），BD＝2，∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝2，∴D坐标轴为2，E横坐标为4，AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，∴D（2，2），把D（2，2）代入反比例解析式得：2＝，解得：k＝4，∴反比例解析式为y＝，把x＝4代入得：y＝1，即E（4，1）；（2）DE∥AC，DE＝AC，理由为：如图1所示，连接AC，DE，∵AD＝BD＝2，BE＝CE＝1，∴D、E分别为AB、BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC；（3）连接AE，作射线EF，使∠AEF＝45°，交反比例图象于点F，如图2所示，过A作AG⊥AE，交直线EF于点G，过G作GH⊥y轴交于点H，过E作EI⊥y轴交于点I，∴△AGE为等腰直角三角形，∴AG＝AE，∵∠GAH+∠EAI＝90°，∠GAH+∠HGA＝90°，∴∠IAE＝∠HGA，在△AGH和△EIA中，，∴△AHG≌△EIA（AAS），∴HG＝AI，AH＝EI，∵A（0，2），E（4，1），∴AI＝HG＝OA﹣EC＝2﹣1＝1，EI＝AH＝4，∴OH＝OA+AH＝2+4＝6，∴G（1，6），设直线EF解析式为y＝kx+b，把E（4，1），G（1，6）代入得：，解得：，即y＝﹣x+．23．（2022•绵竹市模拟）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．（1）填空：一次函数的解析式为y＝﹣x+4，反比例函数的解析式为y＝；（2）请直接写出不等式≤﹣x+b的解集是1≤x≤3；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．【分析】（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函数的解析式为y＝；（2）求出A（1，3），由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；（3）由点P是线段AB上一点，可设设P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝OD•PD＝﹣（n﹣2）2+2，即得当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．【解答】解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：1＝﹣3+b，解得b＝4，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得：1＝，解得k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：3＝﹣m+4，解得m＝1，∴A（1，3），由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），∴1≤n≤3，∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，∵﹣＜0，且1≤n≤3，∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．24．（2022春•吴江区期中）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点D．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式2x+6﹣＞0的解集；（3）在反比例函数图象的第一象限上有一动点M，当S△BDM＞S△BOD时，直接写出点M纵坐标的取值范围．【分析】（1）先将点A（1，m）代入y＝2x+6，求出m的值，得到点A的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围即可；（3）过点O作AB的平行线，交反比例函数的图象于点N，则S△BDN＝S△BOD，由直线AB的解析式可得出直线ON的解析式，联立直线ON和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，结合函数图象及S△BDM＞S△BOD，可知M在N的右边，进而求出点M纵坐标的取值范围；同理求出M在N的左边时，点M纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6过点A（1，m），∴m＝2×1+6＝8，∴点A的坐标为（1，8），∵点A（1，8）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×8＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）在A点右边，即x＞1时，直线在双曲线上方，所以不等式2x+6﹣＞0的解集是x＞1；（3）如图，过点O作AB的平行线，交反比例函数的图象于点N，则S△BDN＝S△BOD．∵直线AB的解析式为y＝2x+6，∴直线ON的解析式为y＝2x．由（x＞0），解得，∴点N的坐标为（2，4）；∵S△BDM＞S△BOD，∴S△BDM＞S△BDN，∴M在N的右边，∴0＜点M纵坐标＜4；同理M在N的左边，直线ON的解析式为y＝2x+12．联立y＝2x+12与y＝，∴点M纵坐标＞6+2．故点M纵坐标的取值范围是0＜点M纵坐标＜4或点M纵坐标＞6+2．25．（2022•茶陵县模拟）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．（2）点E为坐标轴上一点，以AE为直径的圆恰好经过点B，直接写出点E的坐标．（3）点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于F，G，求+的值．【分析】（1）先利用tan∠BOC＝分别求出A和B两点的坐标，再利用待定系数法求两个函数的解析式；（2）如图2，因为以AE为直径的圆恰好经过点B，所以∠ABE＝90°，过B作AB的垂线，与坐标的两个交点就是符合条件的E点，构建直角三角形，利用三角形相似或等腰直角三角形的定义列等式可得结论；（3）如图3，作辅助线，根据P（s，t），表示M（，t），N（s，），利用等角的三角函数列式可得：＝＝，代入所求式子可得结果．【解答】解：（1）如图1，过B作BD⊥x轴于D，∵点B的坐标为（n，﹣2），∴BD＝2，在Rt△OBD中，tan∠BOC＝，∴，∴，∴OD＝5，∴n＝﹣5，即B（﹣5，﹣2），∴k＝﹣5×（﹣2）＝10，∴该反比例函数的解析式为：y＝，当x＝2时，m＝5，∴A（2，5），把A（2，5）和B（﹣5，﹣2）代入得：，解得：，∴一次函数的解析式为：y＝x+3；（2）如图2，过B作BE1⊥AB，交x轴于E1，交y轴于E2，即符合条件的点E有两个，构建直角△ABQ和直角△BE2K，∴AQ＝BQ＝7，∴△ABQ是等腰直角三角形，∵∠ABE2＝90°，∴△BKE2也是等腰直角三角形，设E2（0，y），∴BK＝KE2，∴5＝﹣y﹣2，y＝﹣7，∴E2（0，﹣7），同理可得：E1（﹣7，0），综上所述，点E的坐标为（0，﹣7）或（﹣7，0）；（3）如图3，过N作NR∥PM，过M作MR∥PN，交于R，则四边形MRNP是矩形，∵P（s，t），且PM∥x轴，PN∥y轴，∴M（，t），N（s，），∴RN＝s﹣，MR＝t﹣，∵MR∥OG，∴∠OGF＝∠RMN，∴tan∠OGF＝tan∠RMN，∴＝＝，∵点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，∴t＝s+3，∴+＝+＝＝1．26．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．（1）求直线OA的解析式；（2）求反比例函数y＝的解析式；（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．【分析】（1）由点A（a，2）在反比例函数y＝的图像上，得a＝2，即A（2，2），设直线OA解析式为y＝mx，即得m＝1，故直线OA解析式为y＝x；（2）由AC＝2BC得B（﹣1，2），把B（﹣1，2）代入反比例函数y＝，即得解析式为y＝；（3）设D（t，），而A（2，2），故AD中点E（，+1），即有＝0，解得t＝﹣2，可得D（﹣2，1），E（0，），从而可得S△DOE＝，S△AOE＝，即得△OAD面积S＝3．【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图像上，∴2＝，解得a＝2，∴A（2，2），设直线OA解析式为y＝mx，则2＝2m，解得m＝1，∴直线OA解析式为y＝x；（2）由（1）知：A（2，2），∵AB∥x轴，且交y轴于点C，∴AC＝2，∵AC＝2BC，∴BC＝1，∴B（﹣1，2），把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，∴k＝﹣2，∴反比例函数y＝的解析式为y＝；（3）设D（t，），而A（2，2），∴AD中点E（，+1），而E在y轴上，∴＝0，解得t＝﹣2，∴D（﹣2，1），E（0，），∴S△DOE＝OE•|xD|＝××2＝，S△AOE＝OE•|xA|＝××2＝，∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．27．（2021•开封二模）如图，一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），与y轴交于C点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．连接OA，且△AOC的面积为6．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）结合图象直接写出当x＞0时，mx+6＜的解集；（3）设点E是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点F是直线AB上一点，若以点O，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标．【分析】解：（1）由一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），得﹣6m+6＝0，解出m＝1，得一次函数解析式为y＝x+6；当x＝0时，y＝6，由△AOC的面积为6．得，求出xA＝2，写出点A坐标（2，8），即可求解；（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，设点E坐标为（m，），则点F的坐标为（m，m+6），得EF＝|﹣m﹣6|＝6，当﹣m﹣6＝6时，解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10）；当﹣m﹣6＝﹣6时，解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去），此时点F坐标为（2﹣6，2）；②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，设点E坐标为（m，），点F的坐标为（n，n+6），由中点坐标公式得，解得m＝4，n＝﹣4，此时点F坐标为（﹣4，2），即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），∴﹣6m+6＝0，得m＝1，∴一次函数解析式为y＝x+6；当x＝0时，y＝6，∴CO＝6，∵△AOC的面积为6．∴，∴xA＝2，当x＝2时，y＝x+6＝8，∴点A坐标（2，8），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，∴k＝16，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，设点E坐标为（m，），则点F的坐标为（m，m+6），∴EF＝|﹣m﹣6|，∴|﹣m﹣6|＝6，当﹣m﹣6＝6时，解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10）；当﹣m﹣6＝﹣6时，解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去），此时点F坐标为（2﹣6，2）；②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，设点E坐标为（m，），点F的坐标为（n，n+6），由中点坐标公式得，解得m＝4，n＝﹣4，此时点F坐标为（﹣4，2），综上．点F坐标为（4，10）或（2﹣6，2）或（﹣4，2）．28．（2021•铁西区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC的边OA在x轴负半轴上，OC在y轴正半轴上，AB∥y轴，OA＝a，AB＝BC＝b，且a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0．（1）求点B，C的坐标；（2）点D为边OA上一点，点E为边OC上一点，将△DOE沿直线DE翻折，使点O落在AB上的点F处，且双曲线y＝﹣的一个分支过点F，则线段OD的长为2.5；（3）在（2）的条件下，点G为x轴上一点，点H是坐标平面内任意一点，当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，请直接写出点H的坐标．【分析】（1）由a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，得a＝4，b＝5，故点B坐标为（﹣4，5），过点B作BG⊥y轴于点G，在Rt△BCG中，BC＝5，GB＝4，得CG＝3，即可求解；（2）点O落在AB上的点F处，得点F的横坐标为﹣4，由双曲线y＝﹣的一个分支过点F，得点F坐标为（﹣4，2），设OD＝DF＝x，则AD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2+22＝x2，得x＝2.5，得OD＝2.5；（3）当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，①DF为对角线，如图2，矩形FGDH中，FG＝HD＝2，HD⊥x轴，得点H坐标为（﹣2.5，2）；②GD为对角线，设点G坐标为（m，0），由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，得（﹣4﹣m）2+22+2.52＝（﹣2.5﹣m）2，m＝﹣，得点G坐标为（﹣，0），将点G向右平移1.5个单位，向下平移2个单位得到点H，得点H坐标为（﹣，﹣2）．【解答】解：（1）∵a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，∴a﹣4＝0且b﹣5＝0，得a＝4，b＝5，∴点B坐标为（﹣4，5），过点B作BG⊥y轴于点G，在Rt△BCG中，BC＝5，GB＝4，∴CG＝3，∴点C坐标为（0，8）；（2）∵点O落在AB上的点F处，∴点F的横坐标为﹣4，∵双曲线y＝﹣的一个分支过点F，∴点F坐标为（﹣4，2），设OD＝DF＝x，则AD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝2.5，得OD＝2.5，故答案为：2.5；（3）当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，①DF为对角线，如图2，矩形FGDH中，FG＝HD＝2，HD⊥x轴，∴点H坐标为（﹣2.5，2）；②GD为对角线，设点G坐标为（m，0），由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，∴（﹣4﹣m）2+22+2.52＝（﹣2.5﹣m）2，∴m＝﹣，∴点G坐标为（﹣，0），将点G向右平移1.5个单位，向下平移2个单位得到点H，∴点H坐标为（﹣，﹣2）．综上所述，点H坐标为（﹣2.5，2）或（﹣，﹣2）．29．（2021•南沙区一模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，对角线AC、BD交于点E，且BC＝5，菱形ABCD的面积为24．（1）求点A的坐标；（2）求AC+BD的值；（3）若反比例函数y＝经过点E，且与边AD交于点F，过点F作FG垂直x轴于点G，请求出△BFG的面积．【分析】（1）由菱形ABCD的面积为24，得BC•AO＝24，求出AO＝，即可求解；（2）由菱形ABCD的面积为24，得AC•BD＝24①，由勾股定理知BE2+CE2＝25，结合菱形对角线互相平分，可得AC2+BD2＝100②，结合①②式子就可求出AC+BD的值；（3）由直角△ABO中AB和AO的值求出BO的长，即可求出点C的坐标，由AC坐标根据中点坐标公式写出点E坐标，就可以求出反比例函数关系式，再分别求出B、F、G的坐标，可求出△BFG的面积．【解答】解：（1）由菱形ABCD的面积为24，∴BC•AO＝24，∵BC＝5，∴AO＝，∴点A的坐标（0，）；（2）由菱形ABCD的面积为24，∴AC•BD＝24即AC•BD＝48①，∵直角△BEC中，BE2+CE2＝25，又∵菱形ABCD中，AC＝2AE，BD＝2BE，∴AC2+BD2＝100②，∴（AC+BD）2＝AC2+BD2+2AC•BD＝100+96＝196，∴AC+BD＝14；（3）在直角△ABO中，BO＝＝＝，∴CO＝BC﹣BO＝＝，∴点C的坐标为（，0），∴中点E的坐标为（，），∵反比例函数y＝经过点E，∴k﹣1＝，∴反比例函数关系式y＝＝，当y＝时，x＝＝＝，∴BG＝OB+GO＝+＝，∴△BFG的面积＝＝．30．（2022秋•西湖区校级期中）对于求面积为4，周长为m的矩形中m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究：设矩形相邻两边长分别为x，y，由矩形的面积为4，得y＝；由周长为m，得y＝﹣x+．主要研究这两个图象的位置关系．（1）画出函数图象：函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．（2）平移直线y＝﹣x，观察函数图象：①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，写出周长m的值；②在直线平移过程中，请写出交点个数的其它情况及对应的周长m的取值范围．（3）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长m的取值范围．（直接写出结论）【分析】（1）y＝﹣x的图象是一条经过原点的直线；（2）①利用待定系数法求解；②欲判断直线平移过程中的交点个数，考虑联立y＝﹣x+和y＝并整理，判断一元二次方程x2﹣x+4＝0的实数根的个数；（3）构建不等式求解即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，将（2，2）代入y＝﹣x+，解得m＝8，故周长m的值为8．故答案为：8；②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．联立y＝﹣x+和y＝并整理，得x2﹣x+4＝0，有0个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×4＝﹣16＜0，解得0＜m＜8；有两个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×4＝﹣16＞0，解得m＜﹣8（舍去）或m＞8．综上所述，当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8．（3）由（2）可知，矩形的周长2x+2y＝m≥8，所以若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8．故答案为：m≥8．【满分冲刺】（每题10分，满分100分，建议用时：90分钟）31．（2022春•济南月考）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和E点坐标；（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）若点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点D为AB的中点，可得点D的坐标，从而得出反比例函数y1＝（x＞0）的解析式，当x＝2代入可得点E的坐标；（2）作点E关于y轴的对称点E'，连接E'D交y轴于P，此时△PDE的周长最小，设E'E交y轴于F，利用△E'FP∽△DAP，可得PF的长，从而得出点P的坐标；（3）分点N在x轴或y轴上两种情形，分别利用中点坐标公式解决问题．【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴D（1，4），∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，∴k＝1×4＝4，∴y＝，当x＝2时，y＝2，∴E（2，2）；（2）作点E关于y轴的对称点E'，连接E'D交y轴于P，此时△PDE的周长最小，设E'E交y轴于F，则E'（﹣2，2），∵E'F∥AD，∴△E'FP∽△DAP，∴，∴PF＝＝，∴P（0，）；（3）当N在x轴上时，设N（n，0），M（x，），当DE为对角线时，由中点坐标公式得，4+2＝，解得x＝，∴M（），当DN为对角线时，由中点坐标公式得，4+0＝+2，解得x＝2，∴M（2，2）（舍去），当DM为对角线时，由中点坐标公式得，4+＝2+0，解得x＝﹣2，∴M（﹣2，﹣2）（舍去），当N在y轴上时，设N（0，n），M（x，），当DE为对角线时，由中点坐标公式得，1+2＝0+x，∴x＝3，∴M（3，），当DN为对角线时，由中点坐标公式得，1+0＝x+2，∴x＝﹣1，∴M（﹣1，﹣4）（舍去），当DM为对角线时，由中点坐标公式得，1+x＝0+2，∴x＝1，∴M（1，4）（舍去），综上：M（）或（3，）．32．（2022秋•黄浦区校级期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．（1）求直线y＝kx的函数解析式；（2）求点C到直线OA的距离；（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．【分析】（1）根据中点坐标公式求出点A的横坐标，进而求出点A坐标，即可求出答案；（2）利用三角形AOC的面积建立方程求解，即可求出答案；（3）设出点D的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．【解答】解：（1）设点A的坐标为（m，），∵点C（2，0）是AB的中点，∴2（m+0）＝2，∴m＝4，∴A（4，2），∵点A在直线y＝kx上，∴4k＝2，∴k＝，∴直线y＝kx的解析式为y＝x；（2）由（1）知，点A（4，2），∴OA＝2，∵点C（2，0），设点C到直线OA的距离为h，则S△AOC＝OC•|yA|＝OA•h，∴h＝＝＝，即点C到直线OA的距离为；（3）由（1）知，直线OA的解析式为y＝x，设点D（n，n），∵A（4，2），B（0，﹣2），∴AB2＝32，BD2＝n2+（n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∵△ABD是直角三角形，∴①当∠ABD＝90°时，BD2+AB2＝AD2，∴n2+（n+2）2+32＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∴n＝﹣，∴D（﹣，﹣），②当∠BAD＝90°时，AD2+AB2＝BD2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+32＝n2+（n+2）2，∴n＝4（不符合题意，舍去），③当∠ADB＝90°时，AD2+BD2＝AB2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2+（n+2）2＝32，∴n＝4（不符合题意，舍去）或n＝﹣，∴D（﹣，﹣），即D（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．33．（2023•舟山一模）已知A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一个动点，过点A作x轴的平行线，交直线y＝﹣2x于点B，以线段AB为一条对角线，作▱OACB（O为坐标原点）．（1）如图1，当点C在y轴上时，请证明▱OACB是菱形，并求点C的坐标；（2）如图2，当▱OACB是矩形时，求点B，C的坐标．【分析】（1）当点C在y轴上时，设C（0，b）（b＞0）．由直线与双曲线的交点求法得到B（﹣，）．根据菱形的轴对称性质知：＝﹣（﹣）．由此求得b＝4，则C（0，4）；（2）如图2，当▱OACB是矩形时，则OA⊥OB．根据直线与双曲线的交点求法得到A（2，1）．由点A、B的纵坐标相同和直线上点的坐标特征推知B（﹣，1），结合矩形的性质得到：C（﹣+2，1+1），即C（，2）．【解答】解：（1）当点C在y轴上时，设C（0，b）（b＞0）．∵AB∥x轴，∴AB⊥OC，点A、B的纵坐标都是．当y＝时，由＝得：x＝，此时A（，）．当y＝时，由＝﹣2x得：x＝﹣，此时B（﹣，）．∵平行四边形ABCD是菱形，∴点A与点B关于y轴对称，∴＝﹣（﹣）．解得b＝4或b＝﹣4（舍去）．经检验b＝4是原方程的解．∴C（0，4）；（2）如图2，当▱OACB是矩形时，则OA⊥OB．则直线OA的解析式为：y＝﹣x，联立，解得．∴A（2，1）．∵AB∥x轴，∴点A、B的纵坐标相同，当y＝1时，1＝﹣2x．解得x＝﹣．∴B（﹣，1）．在矩形OABC中，BC∥OC且BC＝OC．∴把点B平移到点C与把点O平移到点A的规则相同，∴C（﹣+2，1+1），即C（，2）．34．（202