9.4矩形菱形正方形（第2课时菱形）

9.4矩形、菱形、正方形（第2课时，菱形）一、单选题1．下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（

）A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等【答案】C【分析】根据菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角，即可求解．【解析】解：菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角是解题的关键．2．在菱形中，，，则菱形的周长为（

）A．48 B．30 C．20 D．10【答案】C【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长．【解析】解：菱形对角线互相垂直平分，如下图：，，，菱形的周长．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，解题的关键是根据勾股定理计算的长．3．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（

）A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1【答案】C【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论．【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，∵AE＝1，AE⊥BC，∴AE＝AB，∴∠B＝30°，∴∠DAB＝150°，∴∠DAB：∠B＝5：1；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．4．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【分析】根据菱形的对角相等的性质求得∠BCD的度数，然后利用菱形的对角线平分一组对角即可求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AC平分∠BAD和∠BCD，∵∠BAD＝70°，∴∠BCD＝70°，∴∠ACD＝∠ACB＝35°，故选：B．【点睛】题目主要考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角相等，对角线平分一组对角，难度不大．5．如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（

）A．70° B．65° C．55° D．35°【答案】C【分析】先根据菱形的性质求出∠BAC的度数，再证OE是△ABC的中位线即可得到答案．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴，点O是AC的中点，，∴∠BAD=180°∠ABC=110°，∴∠BAC=55°，∵E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴，∴∠COE=∠BAC=55°，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．6．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】A.对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；

B.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；故选A.7．如图，菱形中，，，于点，则（

）A．24 B．10 C． D．【答案】D【分析】利用菱形的性质先求解菱形的边长，再利用等面积法求解再利用勾股定理可得答案．【解析】解：如图，AC，BD交于点O，菱形，，，由可得：故选D【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的运用菱形的对角线互相垂直平分是解本题的关键．8．菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分每一组对角，判断即可．【解析】解：如图：①，错误，不符合题意；②，正确，符合题意；③，正确，符合题意；所以正确的有两个，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形对角线互相垂直平分，每一条对角线平分每组对角是解本题的关键．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB=，则菱形ABCD的面积是（

）A． B． C．4 D．9【答案】A【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO=2，OB=，∴AC=4，BD=2，∴菱形ABCD的面积为×4×2=4．故选：A．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）．10．菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等边三角形，即可解决问题．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的对角线，∴∠ACF∠DCB＝60°，∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等边三角形，∵EF＝2，∴S△AEF×22，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明全等三角形得到△AEF是等边三角形，牢记等边三角形面积公式是解题关键．11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD＝2,DE＝2,则四边形OCED的面积为（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】A【解析】解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=，DE=2，∴OE=，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，则S菱形ODEC=OE•DC=××2=．故选A．12．如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断．【解析】解：∵菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，∴∠GAD＝∠F，∵∠ADG＝∠FDH，∴△ADG≌△FDH，∴DG＝DH，AG＝FH，∴BG=AB＋AG＝AB＋HF，故①正确，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，又∵DG＝DH，∴DE＝DG＝DH，故②正确，∴∠DHE＝∠DEH，∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，∴∠DHE＝∠BAD，故③正确，∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，∴∠DCE＝∠EDH，∴∠B＝∠EDH，若∠B=∠DEF，则∠EDH=∠DEF=∠DHE，那么∆DHE是等边三角形，但题目中没有明确∆DHE是等边三角形，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题13．如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是_____．【答案】5．【分析】根据菱形的性质求得∠B=60°，判定△ABC为等边三角形即可求解．【解析】∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AB∥CD∴∠B+∠BCD＝180°，又∠BCD＝120°，∴∠B＝60°∴△ABC为等边三角形∴AC＝AB＝5故答案为：5．【点睛】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．14．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________．【答案】65°##65度【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°130°=50°，∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°∠BAO=90°25°=65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．15．已知一个菱形的周长为，有一个内角为，则较长的一条对角线长为_________．【答案】【分析】根据菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；利用30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可．【解析】解：由题意得作图如下：菱形ABCD中，∠DAB=60°，∵ABCD是菱形，∴AC、BD互相垂直平分，AC平分∠DAB，∴∠CAB=30°，∠AOB=90°，∵菱形周长为24cm，∴AB=24÷4=6cm，∴OB=AB=3cm，AO=cm，∴BD=2OB=6cm，AC=2AO=cm，∴较长的一条对角线长cm，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，30°直角三角形，勾股定理；掌握菱形的性质是解题关键．16．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为5和12时，则阴影部分的面积为_____．【答案】15【分析】根据菱形的面积的公式，即可求出阴影部分的面积．【解析】解：∵菱形是中心对称图形，∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半，∵菱形的两条对角线的长分别为5和12，∴菱形的面积为，∴阴影部分的面积为15，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了利用菱形的性质求面积，正确运用菱形面积公式是解题的关键．17．如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是__．【答案】【分析】证，得出，则，证出四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形．【解析】解：添加，理由如下：四边形是平行四边形，，，，，在和中，，，，，即，又∵，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．18．如图，木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成，在，，，，，处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在，处固定．已知菱形的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，则，之间的距离（即线段的长）为______cm．【答案】10【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后根据勾股定理可进行求解．【解析】解：设AC与BD交于点O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AC=24cm，∴AC⊥BD，，在Rt△AOB中，，∴；故答案为10．【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．19．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（3，1），C（1，4），则点A的坐标为________．【答案】（3，6）【分析】作于，由和的坐标得出，，，由勾股定理求出，由菱形的性质得出，即可得出点的坐标．【解析】解：作于，与轴交于点，如图所示，，，，，，，，四边形是菱形，，轴，点的坐标为；故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．20．如图，在菱形中，，为中点，点在延长线上，、分别为、中点，，，则_____．【答案】4【分析】连接CG，过点C作CMAD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG=2HF=，由ABCD，得CDM=A=60°，设DM=x，则CD=2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，从而解决问题．【解析】如图，连接CG，过点C作CMAD，交AD的延长线于M，F、H分别为CE、GE中点，FH是△CEG的中位线，HF=CG，四边形ABCD是菱形，ADBC，ABCD，DGE=E，EHF=DGE，E=EHF，HF=EF=CF，CG=2HF=，ABCD，CDM=A=60°，设DM=x，则CD=2x，CM=x，点G为AD的中点，DG=x，GM=2x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：，x=2，AB=CD=2x=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．三、解答题21．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．【答案】．【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得．【解析】解：四边形是菱形，，，，则菱形的周长为．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∠ABD=90°，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；（2）由菱形的性质逆推：BE=DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°，从而可得答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD．∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，FC=BC．∴AE=CF．在△AEB与△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS）．（2）解：∵为AD的中点，四边形EBFD是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性较强，难度中等．23．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P．(1)求证：PA＝PC．(2)当EF⊥AC时，连接AF、CE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形AECF是菱形，理由见解析【分析】（1）连接AF，CE，根据平行四边形的性质可得ABCD，AB＝CD，进而结合已知条件可得AE＝CF，根据一组对边平行且相等可得四边形AECF是平行四边形，进而可得PA＝PC；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形即可得出结论．（1）证明：连接AF，CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，AB＝CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴PA＝PC；（2）解：四边形AECF是菱形．理由：∵由（1）可知：四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握平行四边形的性质与菱形的性质是解题的关键．24．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A、B．仅用一把无刻度的直尺按要求画图（不需写作法）．(1)画出以AB为一边的菱形ABCD，使其四个顶点都在格点上；(2)在AB上找一点E，使AE=3．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)计算AB=5，根据四边形相等的四边形是菱形，构造即可．（2）在CB的延长线上取BG=2，在AD上取DF=2，构造平行四边形BFGD，FG与AB交于点E，根据平行四边形的性质，菱形的性质，得到三角形BGE是等腰三角形，且BG=BE=FD=2，计算即可．（1）因为AB==5，所以根据四边形相等的四边形是菱形，构造菱形如下：（2）在CB的延长线上取BG=2，在AD上取DF=2，构造平行四边形BFGD，FG与AB交于点E，根据平行四边形的性质，菱形的性质，得到三角形BGE是等腰三角形，且BG=BE=FD=2，画图如下：【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．25．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．(1)求对角线BD的长；(2)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)6(2)【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解；（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．（1）解：菱形ABCD的周长为24，，又∠BAD＝60°，是等边三角形，，故对角线BD的长为6；（2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，，，又，，，菱形ABCD的面积，故菱形ABCD的面积是．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．26．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，AE＝6，▱ABCD的面积为36，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)EC=2.5．【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，由角平分线的性质和平行线的性质可证AB=AF，可得结论；（2）由菱形的性质可得AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，由勾股定理可求BO，由菱形的面积公式可求菱形ABEF的面积=24，可求平行四边形EFDC的面积，即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，又∵EFAB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∵AFBC，∴∠AFB=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，∴BO==4，∴BF=8，∴菱形ABEF的面积=×6×8=24，∵ADBC，ABEFCD，∴四边形ECDF是平行四边形，∴=3624=12，∴=2：1，∴BE：EC=2：1，∴EC=2.5．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．27．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）96【分析】（1）由PQ为线段AC的垂直平分线得到AE＝CE，AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；（2）根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；（3）由菱形的性质和勾股定理求出AD，得出AC的长，由菱形的面积公式即可得出结果．【解析】（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形；（3）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵ED＝6，AE＝10，∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．∴AC＝2AD＝16，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×16×12＝96．【点睛】本题是菱形的综合题，涉及了菱形的判定与性质及其面积公式、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质及勾股定理，灵活利用线段垂直平分线的性质判定三角形全等是解题的关键.28．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接．(1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先根据菱形的性质得，则利用得到，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质证明结论；（2）先根据菱形的性质得，，，再根据勾股定理计算出，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形的面积即可得出结论．【解析】（1）∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵四边形是菱形，∴，，，∴，，在中，，∴∴∴∴．【点睛】本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角），解决（1）小题的关键是判断为直角三角形斜边上的中线．29．如图，▱对角线，相交于点，过点作且，连接，，．(1)求证：▱是菱形；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题．【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形．，平行四边形是矩形，，，是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，在中，由勾股定理得：，由（1）可知，四边形是矩形，，，，即的长为．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．30．如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为_______，CQ长的最大值为_____．【答案】

4

【分析】设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，由折叠得：，则点时，最小，即BQ最小，则CQ最大，根据菱形的性质，以及勾股定理即可解决本题．【解析】解：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，由折叠得：，∴点时，最小，即BQ最小，则CQ最大，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB⊥BD，AB=BC，，，∴，∴AB=BC=AC=4，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BAH=90°－∠ABH=30°，∴，，∵AD∥BC，AH⊥BC，，∴，∴CQ的最大值=，故答案为：4，．【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解决本题的关键．31．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的动点（不与菱形的顶点重合）．(1)现有3个选项：①，②△FCE是等边三角形，③．请从3个选项中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，得到一个真命题，并证明其正确性．你选择的两个条件是．结论是（只要填写序号）(2)在（1）的条件下，若菱形ABCD的边长为4cm，点E由B→A以1cm/s的速度运动，设运动的时间为，则△FEA面积的最大值是cm2（直接写出答案）．【答案】(1)①②，③（答案不唯一）(2)【分析】（1）由菱形的性质和全等三角形的性质可求解；（2）由直角三角形的性质可求EH的长，由三角形的面积公式可求解．（1）解：若条件为①②，结论为③，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵△EFC是等边三角形，∴EC=CF，∠ECF=60°=∠ACB，∴∠BCE=∠ACF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴BE=AF；（2）如图，过点E作EH⊥AD，交DA的延长线于H，∵点E由B→A以1cm/s的速度运动，设运动的时间为ts，∴BE=AF=t（cm），∴AE=（4t）cm，∵AD∥BC，∴∠ABC=∠BAH=60°，∵EH⊥AH，∴AH=AE=cm，HE=cm，∵S△FEA=×AF×EH=