53模拟试卷初中数学八年级下册03专项素养综合全练(三)

专项素养综合全练(三)构造三角形中位线的常用方法类型一连接两点构造三角形的中位线1.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=33,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF的最大值为()A.3B.4C.4.5D.52.如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,分别与MN相交于点F,E,AC=BD,M,P,N分别是边AB,BC,CD的中点,Q是MN的中点.求证:PQ⊥MN.类型二利用角平分线、垂直构造三角形的中位线3.如图,△ABC中,AB=8,AD为△ABC外角的平分线,且AD⊥CD于点D,E为BC的中点,若DE=10,则AC的长为()A.12B.14C.16D.184.已知:如图,△ABC中,D是BC边的中点,AE平分∠BAC,BE⊥AE于E点,若AB=5,AC=7,则ED=.

类型三利用倍长法构造三角形的中位线5.如图,四边形ABCD中,AC⊥BC,AD∥BC,BC=3,AC=4,AD=6,M是BD的中点,则CM的长为()A.32C.526.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,BD⊥AC于点D,CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.(1)求证:△BEF是等腰三角形;(2)求证:BD=12类型四已知中点,取其他边的中点构造三角形的中位线7.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点,CE=CF,M,N分别为AF,BE的中点,求证:AE=2MN.

答案全解全析1.A如图,连接DN,∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴EF=12∴当点N与点B重合时,DN最长,即EF最长,在Rt△ABD中,∵∠A=90°,AD=3,AB=33,∴BD=AD2+AB2.证明如图,连接PM,PN.∵M,P分别是边AB,BC的中点,∴PM∥AC,PM=12AC.∵N,P分别是边CD,BC的中点,∴PN∥BD,PN=12BD,又∵AC=BD,∴PM=PN.∵Q是MN的中点,∴PQ3.A如图,延长BA、CD交于点F,∵AD平分∠FAC,∴∠DAF=∠DAC,∵AD⊥CD,∴∠ADF=∠ADC=90°,在△ADF和△ADC中,∠∴△ADF≌△ADC(ASA),∴CD=DF,AC=AF,∵CD=DF,CE=EB,∴DE是△BCF的中位线,∴BF=2DE=20,∴AF=BF-AB=20-8=12,∴AC=AF=12,故选A.4.答案1解析延长BE交AC于F,如图,∵AE平分∠BAC,BE⊥AE,∴∠BAE=∠CAE,∠AEB=∠AEF=90°,在△ABE与△AFE中,∠∴△ABE≌△AFE(ASA),∴BE=EF,AB=AF,∵AB=5,∴AF=5,∵AC=7,∴CF=AC-AF=7-5=2,∵D为BC的中点,BE=EF,∴DE是△BCF的中位线,∴DE=125.C如图,延长BC到E使BE=AD,则四边形ABED是平行四边形,∵BC=3,BE=AD=6,∴CE=3=BC,∵M是BD的中点,∴CM=12DE=1∵AC⊥BC,∴AB=AC2+∴CM=526.证明(1)∵AB=BC,BD⊥AC于点D,∴∠ABD=∠CBD,AD=CD,∵∠ABC=90°,∴∠ACB=45°,∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE=22.5°,∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°,∴BE=BF,∴△BEF是等腰三角形.(2)如图,延长AB至M,使得BM=AB,连接CM,∵D是AC的中点,∴BD∥MC,BD=12∴∠BFE=∠MCE,由(1)得∠BEF=∠BFE,BE=BF,∴∠BEF=∠MCE,∴ME=MC,∴BD=12MC=12ME=127.证明如图,取AB的中点G,连接MG,NG,∵M,N分别为AF,BE的中点,∴NG=12AE,NG∥AE,MG=12BF,MG∴∠BGN=∠BAC,∠AGM=∠ABC,∵CA=CB,CE