黑龙江省齐齐哈尔铁锋区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 解析版

2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级（上）期末数学

试卷

一.选择题（每小题3分，共30分）

1.下列点位于反比例函数图象上的是（)

A.(1,2)B.(-1,-3)C.(1,-2)D.(-1,3)

2.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A.®B。.C.D一.合

3.一元二次方程/+2R-1=0的根的情况是（)

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.下列事件是确定事件的是（）

A.阴天一定会下雨

B.黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播

D.在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落

5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3/先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得

到的抛物线的解析式是（）

A.y=3(x+1)2+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x-I)2+2D.y=3(x-1)2-2

6.如图，△48C的顶点都在方格纸的格点上，则si"的值为（）

C.3D-3

10B・噜

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十

五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：''今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步,

股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（

8.如图，矩形A8C£>的边AB在x轴上，反比例函数丫=&8户0）的图象过。点和边8C

x

的中点E,连接。E,若△（?£»£的面积是1,则k的值是（）

9.如图，△4BC内接于。0,A3是。。的直径，ZB=3O°,CE平分N4CB交。0于E,

交A8于点。，连接AE,则S“OE：SzxCOB的值等于（）

A.1：&B.1：73C.1：2D.2：3

10.如图，是二次函数yu^+bx+c（aWO）的图象的一部分，对称轴为直线x=-l,下列

命题：①a6c<0；②/-4ac<0；③当y<0时，-3<x<I；@a-2b+c>0；（5）m（ma+b）

+b^a（机为实数）.其中正确的命题有（）

二.填空题（每题3分，共21分）

11.若关于x的方程（a-1）xa?+l-7x+3=0是一元二次方程，则。=

12.为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进

行连续两次降价后为256元.设平均每次降价的百分率为居则可列方程为

13.已知△ABC外接圆半径为5,AB=AC,BC=8,求△ABC的高AO长

14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是

15.已知直线/经过点（0,1）且与x轴所夹锐角的正切值为旦,则直线/的解析式为

4

16.已知反比例函数的解析式为y=2则当y<2时,自变量x的取值范围是

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，RtAOAiCi,Rt^OA2c2,RtZ^OA3c3,8△OUC4,…

的斜边都在坐标轴上，ZAiOCi=ZA2OC2—ZA3OC3=ZA4OC4=30",若点Ai的坐标

为（3,0）,OA}=OC2,OA2=OC3,。小=。。4,…，则依此规律，点A2021的坐标为

三.解答下列各题（共69分）

18.(1)计算：tan2450-2cos60°+(2-n)0

(2)解方程：(x+3)2=2(x+3).

19.如图，△ABC在正方形格纸中,

（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系,使A(2,3),C(6,2),并写出点8坐

标;

（2）以坐标原点。为位似中心，相似比为2,在第一象限内将△48C放大，画出放大后

的图形△A1B1C1并写出点A的对应点Ai的坐标；

（3）若线段AB绕原点。旋转90°后点B的对应点为82,写出点82的坐标.

(1)若从中任取一个球，写出球上的汉字刚好是“齐”的概率；

(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两

个球上的汉字能组成“齐心”的概率.

21.环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度

超过最高允许值l.Omg〃时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内(含15天)

排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间x(天)的变化规律

如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度

y与时间x成反比例关系.

(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式：

(2)该企业能否按期将排污整改达标？为什么？

22.如图，在RtZ\ABC中，NB=9O°,4。平分NBAC交于点。，点E在AC上，以AE

为直径的。。经过点D.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若/C=30°,且C£>=3百，试求阴影部分的面积.

B

D

『一百-----5------T

23.综合与实践

问题情境：如图1,在数学活动课上，老师让同学们画了等腰RtZXABC和等腰RlZ\AOE,

并连接CE,BD.

操作发现：(1)当等腰Rt/VIOE绕点A旋转，如图2,勤奋小组发现了：

①线段CE与线段8。之间的数量关系是—.

②直线CE与直线8。之间的位置关系是—.

类比思考：(2)智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3,若△ABC与△4£)后都为

直角三角形，/BAC=ND4E=90°,且AC=2AB,AE=2AD,请你写出CE与的数

量关系和位置关系，并加以证明.

拓展应用：(3)创新小组在(2)的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线A8

上方时，若OE〃AB,且AB=遥，A£>=1,其他条件不变，试求出线段CE的长.(直

接写出结论)

24.综合与探究：

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(3,0),C(0,

-4)三点，点尸(m,n)是直线8c下方抛物线上的一个动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时P点坐标及△P8C面积

的最大值；

(3)在y轴上是否存在点。，使以。，B,。为顶点的三角形与AAOC相似？若存在,

请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级（上）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.F列点位于反比例函数y=3图象上的是（)

A.（1,2）B.（-I,-3）C.（1,-2）D.（-1,3）

【分析】由函数丫整，得到3="，只要把答案A、B、C,。的点的坐标代入，上式成

X

立即可.

【解答】解：函数y=3,

X

3—xy,

只要把点的坐标代入，上式成立即可，

代入得：4、C、。的坐标都不成立，只有B的符合.

故选：B.

2.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

8、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选：B.

3.一元二次方程/+2x-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况.

【解答】解：•.,在方程/+2x-1=0中，△=22-4X1*（-1）=8>0,

二方程/+2x-1=0有两个不相等的实数根.

故选：A.

4.下列事件是确定事件的是（）

A.阴天一定会下雨

B.黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播

D.在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落

【分析】找到一定发生或一定不发生的事件即可.

【解答】解：A、阴天一定会下雨，是随机事件；

8、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件；

C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件；

。、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件.

故选：D.

5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3/先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得

到的抛物线的解析式是（）

A.y=3（x+1）2+2B.y=3（x+1）2-2

C.y=3（x-1）2+2D.y=3（x-1）2-2

【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=37的对称轴为直线x=0,顶点坐标为（0,

0）,则抛物线），=3/向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为

直线x=l,顶点坐标为（1,2）,然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.

【解答】解：•••抛物线y=3/的对称轴为直线x=0,顶点坐标为（0,0）,

•••抛物线>=3/向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线

x=l,顶点坐标为（1,2）,

平移后抛物线的解析式为y=3（x-1）2+2.

故选：C.

6.如图，AABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为（）

10103

【分析】根据题意和图形，可以得到8和AC的长，然后即可求得sinA的值.

【解答】解：延长AB到连接C£>,如右图所示，

由题意可得，

AC=yj]2+32=710,CD=1,

AsinZA=CD1

AC用10

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十

五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，

股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径.

【解答】解：根据勾股定理得：斜边为J82+]52=17,

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径「=8+15-17=3（步），即直径为6步，

2

故选：C.

8.如图，矩形ABC。的边AB在x轴上，反比例函数丫上&六°）的图象过。点和边BC

的中点E,连接。E,若的面积是1,则%的值是（)

C.275D.6

【分析】设E的坐标是Cm,〃），k=nm,则C的坐标是（/n,2”），求得。的坐标，然

后根据三角形的面积公式求得mn的值，即k的值.

【解答】解：设E的坐标是（如"），k=mn,

则C的坐标是（机，2〃）,

在了=驷1中，令y=2〃，解得：X=典,

x2

,**S^\CDE=1，

.,.白〃|・|〃7-勇=1,即Lx典=1,

2222

:.mn=4.

.•・2=4・

故选：B.

9.如图，△A3。内接于OO,48是。。的直径，ZB=30°,CE平分NACB交QO于E,

交AB于点D,连接AE,则SzxAOE：S&CDB的值等于)

A.1：&B.1：73C.1：2D.2：3

【分析】由AB是。。的直径，得到/ACB=90°,根据已知条件得到反根据三

__BC3

角形的角平分线定理得到3c=返，求出AD=AB,BD=AB,过C

BCBD3V3+3V3+3

作CF±AB于F,连接0E,由CE平分NACB交。0于E,得到0E_LA8,求出。£：=山8,

2

CF=®8,根据三角形的面积公式即可得到结论.

4

【解答】解：；AB是。。的直径，

AZACB=90°,

；NB=30°,

.ACM

••而可，

'：CE平分/ACB交。O于E,

•AC_AD=«

*"BC=BD~

：.AD=AB,BD=-=J_AB,

V3+3V3+3

过C作CFLAB于F,连接OE,

■:CE平分NACB交。。于E,

•**AE=BE»

C.OELAB,

OE=1AB,CF=国B,

24_

S△ADE：S△CDB—(—AD•OE)：(—BD•CF)=(—x—&R*—AB:

222V3+32

李福)=2:3-

故选D.

方法二：连接BE,易知AE=YL1B,BC=^AB,

22

由△ADEs^CDB,

.".SAADE：S^BDC=(AE：BC)2=2：3,

故选：D.

10.如图，是二次函数y=a¥2+bx+c(aWO)的图象的一部分，对称轴为直线元=-1,下列

命题：①。bcVO；@b2-4tzc<0；③当y<0时，-3V%〈1；@a-2/?+c>0；@tnGna+b)

+b^a。及为实数).其中正确的命题有()

y

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点判断①；根据抛物线与

x轴的交点判断②；根据抛物线的对称性判断③；根据抛物线与x轴的交点为（1,0）

判断④；根据函数的最小值判断⑤.

【解答】解：①•••抛物线开口向上，

•••对称轴为直线X=-1,

：.b>0,

抛物线与），轴交于负半轴,

：.abc<0,本小题说法正确；

②•.•抛物线与x轴有两个交点，

.-.b2-4ac>0,本小题说法错误；

③•••抛物线与x轴的交点为（1,0）,对称轴为直线x=-l,

.,.抛物线与x轴的另一个交点为（-3,0）,

，当y<0时:-3<x<1,本小题说法正确；

④：对称轴为直线x=-1,

-b=-i,

2a

.,.b=2a,

；抛物线与x轴的交点为（1,0）,

.'.a+b+c—0,

/.c—-3a,

.'.a-2b+c=a-4a-3a--6a<0,本小题说法错误;

⑤；对称轴为直线x=-1,

...当x=-1时，y有最小值，

/.anr+bni+c^a-力+c,

:.m(ma^b)+b2a(〃?为实数)，本小题说法正确；

故选:B.

二.填空题

11.若关于x的方程(4-1)xaJl-7x+3=0是一元二次方程，则”=-1.

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.

【解答】解：•.•关于x的方程(«-1)xa?+l-7x+3=0是一元二次方程，

.,.『+1=2且a-1W0,

解得：a--1.

故答案为：-1.

12.为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进

行连续两次降价后为256元.设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为289(1-x)

2=256.

【分析】设平均每次的降价率为x,则经过两次降价后的价格是289(1-%)2,根据关

键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289(1-x)2=256.

【解答】解：设平均每次降价的百分率为x,则第一降价售价为289(1-x),则第二次

降价为289(1-%)2,由题意得：

289(1-%)2=256.

故答案为：289(1-x)2=256.

13.已知△ABC外接圆半径为5,AB=AC,BC=8,求△ABC的高CD长1或9.

【分析】分成△A8C是锐角三角形的钝角三角形两种情况进行讨论，作AOLBC于点£>,

则AO一定经过点圆心0,利用垂径定理和勾股定理求得0。的长，即可求AD的长.

【解答】解：当△ABC是锐角三角形时，如图1,

作于点力，则AD一定经过点圆心0,连接08,

在直角△08。中，BD=ABC=AX6=3,

22

22=

•*-OD=7OB-BD^25-9—4，

则AD=OA+OD=5+4=9；

当△ABC是钝角三角形时，如图2,

同理，。。=4,则-0£）=5-4=1,

故A。的长为1或9,

故答案为1或9.

14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是

【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用

圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数.

【解答】解：设母线长为R,底面半径为广，

.,.底面周长=2irr,底面面积侧面面积=Lr=irrR,

2

•••侧面积是底面积的2倍，

：.R=2r,

设圆心角为小有二2曳=2w,

180

•n—180.

故答案为：180°.

15.已知直线/经过点（0,1）且与x轴所夹锐角的正切值为g，则直线/的解析式为」

4

=或y=_m+1.

-44

【分析】设直线/的解析式为y=H+1,求得与x轴的交点，然后通过解直角三角形即可

求得”的值，从而求得直线的解析式.

【解答】解：设直线/的解析式为丫=履+6,

・・•直线/经过点（0,1）,

：.h=\9

・・・直线/的解析式为>="+1,

令y=0,贝iJx=--L,

k

・•・直线与x轴的交点为（-工，0）,

k

v直线/与x轴所夹锐角的正切值为3,

4

・1—3

4

，直线/的解析式为>=当+1或y=-当+1,

44

故答案为>=当+1或y=-当+1.

44

16.已知反比例函数的解析式为y=2,则当yV2时，自变量x的取值范围是x>l或x

X

<0.

【分析】直接利用反比例函数的性质结合所在象限分析得出答案.

【解答】解：当0<yV2时，x>l；

当y<0时，x<0,

故当y<2时;自变量x的取值范围是：x>l或x<0.

故答案为：x>l或x<0.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，为△O4C1,RtZ\Q42C2,Rt/XOA3c3,RtAOA4C4,-

的斜边都在坐标轴上，ZAIOCI=ZA2OC2=ZA3OC3=ZA4OC4=30°,若点4的坐标

为（3,0）,OA1—OC2,OA2—OC3,OA3—OC4,­­,则依此规律，点A2021的坐标为.

【考点】规律型：点的坐标.

【专题】规律型；推理能力.

【答案】（3X/近）2021,0）.

3

【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2=£OC2=3X2/£OA3=

V33

.OC4=3X（当区）于是可得到（3X（空?）

,OC3=3X2V3_)2.3,A202I

(OM2

V33=V3{33

2021,0).

【解答】解：•.•/42OC2=30°,OAI=OC2=3,

OA2=-^OCi=3X043=^003=3X(空1)2；au=4=0C4=3义(生三)

V33<33V33

3

9

；.OA2021=3X(2021,

3

..•点42()21与Al位置相同，在X轴的正半轴上，

...点A2021(3X(2立)2021,0),

3

故答案为：(3X(2返)2021,0).

3

三.解答题

18.(1)计算：tan245°-2cos60°+(2-n)°-("A)''；

2

(2)解方程：(x+3)2=2(x+3).

【考点】实数的运算；零指数累；负整数指数累：解一元二次方程-因式分解法；特殊

角的三角函数值.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数鼎、负整数指数辱法则计算即可求

出值；

(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：(1)原式=1-2XL1-(-2)

2

=1-1+1+2

=3；

(2)方程整理得：(x+3)2-2(x+3)=0,

分解因式得：(x+3)(x+3-2)=0,

可得x+3=0或x+1=0,

解得：xi=-3,X2=-1.

19.如图，△ABC在正方形格纸中，

(1)请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2),并写出点8坐

标；

(2)以坐标原点。为位似中心，相似比为2,在第一象限内将AABC放大，画出放大后

的图形并写出点A的对应点4的坐标；

(3)若线段AB绕原点。旋转90°后点8的对应点为次，写出点82的坐标.

A

三B1三

【考点】作图-旋转变换；作图-位似变换.

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)以与A点左边相距2个单位长的格线所在的直线为y轴，以与A点下方3

个单位长的格线所在的直线为x轴，两直线交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示,

即可得到B的坐标；

(2)连接OA并延长使AA'=OA,连接08并延长使BB'=08,连接OC并延长使

CC=OC,连接A'B',A'C,B'C,可得△4'B'C'为所求的三角形；

(3)画出图形即可解决问题.

【解答】解：(1)建立平面直角坐标系，如图所示,

由图形可得：B(2,1)；

由图形可得：4(4,6)；

(3)若线段48绕原点0顺时针(或逆时针)旋转90°后点B的对应点为B2,(或治),

则点B2的坐标为(1,-2)或(-1,2).

20.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“齐”“心”“抗”“疫”的四个小球，除汉字不同

之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀.

(1)若从中任取一个球，写出球上的汉字刚好是“齐”的概率；

(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两

个球上的汉字能组成“齐心”的概率.

【考点】概率公式；列表法与树状图法.

【专题】概率及其应用；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)直接利用概率公式计算；

(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出取出的两个球上的汉字能组成“齐

心”的结果数，然后由概率公式求解.

【解答】解：(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“齐”的概率为工；

4

(2)画树状图如图:

赤唉抗疫

/NZ\Z\/N

心抗疫齐抗疫齐心疫弁心抗

共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的结果数为2,

取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的概率为2=工.

126

21.环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度

超过最高允许值1.0〃际〃时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内（含15天）

排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg〃）与时间x（天）的变化规律

如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度

y与时间x成反比例关系.

（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

（2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？

【考点】反比例函数的应用.

【专题】分类讨论；反比例函数及其应用；数据分析观念.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）用待定系数法即可求解：

（2）当x=15时，丫=型=理>>1,即可求解.

x15

【解答】解：（1）由图象知，点A、B的坐标分别为（0,14）、（4,5）,

当0WxW5时，设AB的表达式为y=kx+b,

将点A、B的坐标代入上式得14,解得］k=-2

l5k+b=4（b=14

故y=-2x+14；

当x>5时，设函数的表达式为y=K,

把点8的坐标(4,5)代入上式并解得：々=20,

故尸型;

X

-2x+14（04x45）

故函数的表达式为y=,型（x〉5）

X

(2)不能，理由：

当x=15时，y=Wl=22_>l,

X15

故不能按期完成排污整改达标.

22.如图，在RtZ^ABC中，/8=90°,AD平分NBAC交BC于点。，点E在AC上，以AE

为直径的。0经过点D.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若/C=30°,且cr>=3j&,试求阴影部分的面积.

【考点】含30度角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算.

【专题】证明题；与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)证明。O〃AB,即可求解；

(2)证明△OF。、△。物是等边三角形，S阴影=S扃形DF。，即可求解.

【解答】解：(1)连接OD,

：.ZDAB=ZDAO,

OD=OA,

：.ZDAO=ZODA,

则ND4B=/OD4,

：.DO//AB,而NB=90°,

；.NOOB=90°,

是OO的切线；

（2）连接DE、OD、DF、OF,设圆的半径为R,

VZC=30°,CD=3g

."•<?D=CD-tan30°=3«X返=3,

3

•.•ND4B=NZME=30°,

.,.DE=DF.

VZDOE=60°,

...N£）OF=60°,

：.ZFOA=60°,

:.XOFD、△（?凡是等边三角形，

J.DF//AC,

•c_c„__60X7TX32_3K

••3阴彩一3用彩DFO------------------

3602

23.综合与实践

问题情境：如图1,在数学活动课上，老师让同学们画了等腰RtZXABC和等腰RtZVIOE,

并连接CE,BD.

操作发现：（1）当等腰RtZVIQE绕点4旋转，如图2,勤奋小组发现了：

①线段CE与线段BD之间的数量关系是—.

②直线CE与直线BD之间的位置关系是—.

类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3,若AABC与△4OE都为

直角三角形，/BAC=ND4E=90°,且AC=2A8,AE=2AD,请你写出CE与BO的数

量关系和位置关系，并加以证明.

拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB

上方时，若DE〃AB,且AB=遥，A£>=1,其他条件不变，试求出线段CE的长.（直

接写出结论）

c

【考点】几何变换综合题.

【专题】几何综合题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)如图2中，延长8。交AC于点。，交EC于H.证明△E4C之△D48(SAS),

即可解决问题.

(2)结论：CE=2BD,CELBD.如图3中，延长交AC于点0,交EC于点H.证

明△ABDs/viCE,即可解决问题.

(3)如图4中，当。E〃A8时，设QE交AC于H,易证AC_LQE.求出E”，CH,理

由勾股定理即可解决问题.

【解答】解：(1)如图2中，延长8。交AC于点0,交EC于H.

：.ZEAC=ZDAB,

.♦.△EAdOAB(SAS),

：.EC=BD,ZECA=ZABD,

VZABD+ZAOB=90Q,ZAOB^ZCOH,

：.ZECA+ZCOH=90a,

AZCWC>=90°,

:.BDJLEC,

故答案为EC=BO,BDLEC.

(2)结论：CE=2BD,CEA.BD.

理由：如图3中，延长8。交AC于点。，交EC于点、H.

:.乙BAD=KCAE,

\"AC=2AB,AE=2AD,

•坐=坦=工

"ACAE'，

XABDsXACE,

•毁=坦=工

♦•而AET

：.CE=2BD,ZABD^AACE,

VZABD+ZAOB=90°,ZAOB^ZCOH,

，NEC4+NCO，=90°,

：.ZCHO=90a,

：.BDLEC.

(3)如图4中，当力E〃AB时，设。日交AC于“，易证AC_LDE.

.•.AE=2,DE=娓,AH=3（匠EH=3/X,

55

"：AC=2AB,AB=遥，

/.CH=AC-AH=^U-,

5

在RtZXEC”中，EC={EH2KH

24.综合与探究:

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(3,0),C(0,

-4)三点，点尸6”,n)是直线8c下方抛物线上的一个动点.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)动点P运动到什么位置时，△P8C的面积最大，求出此时P点坐标及△P8C面积

的最大值;

(3)在)，轴上是否存在点Q,使以O,B,。为顶点的三角形与△AOC相似？若存在,

请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】综合题；存在型；运算能力；应用意识.

【答案】(1))=公-a-4；

33

(2)P(S,-5),SAPBC最大为9；

22

(3)存在这样的点Q,坐标分别是：Q\(0,3)或Q(0,-3),Qi(0,12)或。4

44

(0,-12),

【分析】(1)将