数学同步训练：均值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.2均值不等式5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。对于任意实数a、b，下列不等式一定成立的是（)A。a+b≥B.≥C.a2+b2≥2abD。≥2解析：均值不等式要考虑正负情况，这里如果a、b不能保证是正值A、B、D都不一定成立，只有C对任意实数恒成立．也可以采用特殊值代入检验进行排除．答案：C2。已知点P（x，y）在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x+27y的最小值是_____________.解析：根据条件可知x+3y=2，而3x+27y=3x+33y≥=6，当且仅当3x=33y时取等号.答案：63.函数f（x）=x++3在（-∞，—2］上（)A.无最大值,有最小值7B。无最大值,有最小值—1C。有最大值7，有最小值-1D.有最大值—1，无最小值解析：∵x≤-2,∴f（x）=x++3=—[(—x)+（）］+3≤+3=—1，当且仅当—x=,即x=-2时取等号.∴f（x）有最大值—1，无最小值，故选D。此外，该题也可利用函数f（x）=x++3在（-∞,—2]上的单调性求解。答案：D4.若x＞3,那么当x=_____________时，y=取最小值_____________.解析:y=x+=x—3++3≥+3=5，当且仅当x-3=即x=4时,y取最小值5。答案:4510分钟训练(强化类训练，可用于课中）1.已知a、b∈R，且a2+b2=4，那么ab（）A.最大值为2，最小值为—2B。最大值为2,但无最小值C。最小值为2，但无最大值D.最大值为2,最小值为0解析:这里没有限制a、b的正负,则由a2+b2≥2｜ab|即｜ab|≤2，所以，-2≤ab≤2，可知最大值为2，最小值为-2。答案：A2.设f（x）=（）x，a、b∈R+，A=f(）,G=f（）,H=f（)，K=f（）,则A、G、H、K的大小关系是（)A.H≤G≤A≤KB。A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD。K≤A≤G≤H解析:首先由已知条件可知f(x）在定义域内是单调递减函数，然后只需取特殊值a=1,b=2代入判断的大小即可。答案:D3。已知x=(a＞2)，y=（b＜0），则x、y之间的大小关系是（)A。x＞yB。x＜yC.x=yD.不能确定解析:x=（a—2）++2≥+2=4(当且仅当a=3时，取“=”），y==4.∴x＞y.答案：A4.三个同学对问题“关于x的不等式x2+25＋｜x3-5x2|≥ax在［1，12]上恒成立,求实数a的取值范围"提出各自的解题思路。甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值。”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数，求函数的最值.”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图象。"参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是______________。解析:由x2+25+｜x3—5x2｜≥ax,1≤x≤12a≤x++|x2—5x｜，而x+≤=10，等号当且仅当x=5∈［1，12］时成立;且|x2-5x|≥0，等号当且仅当x=5∈［1，12]时成立；所以，a≤[x++｜x2—5x｜］min=10，等号当且仅当x=5∈[1,12］时成立；故a∈（—∞,10］。答案:a∈（-∞,10］5.已知x、y∈R+，且=1，求x+y的最小值。解：∵x＞0，y＞0，=1，∴x+y=()（x+y）=+10=6+10=16，当且仅当，又=1即时等号成立。6。已知a＞0，b＞0,且a+2b=10，求y=的最大值.解法一：由于a＞0,b＞0，且a+2b=10,则有y=≤。当且仅当a+2=2b+3=时,即a=,b=时，等号成立.所以y=的最大值为。解法二:由于a＞0，b＞0,且a+2b=10,则有y2=(a+2）+(2b+3）+≤15+［（a+2）+（2b+3）］=30.当且仅当a+2=2b+3=时,即a=，b=时，等号成立.又y＞0，所以,y≤。所以y=的最大值为。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1。下列求最值过程中正确的是(）A.若0＜x＜π，则y=sinx+。所以y的最小值是2B.若0＜x＜π，则y=sinx+.所以y的最小值是C。若x＞0，则y=2+x+≥2+=6。所以y的最小值是6D.若0＜x＜1，则y=x(4—x)≤[]2=4。所以y的最大值为4解析：A、B、D中等号都取不到.A中需满足sinx=，即sinx=（0，1］；B中由得sinx=(0，1］；D中由x=4-x得x=2（0，1）.答案:C2。函数y=（x＞-1)的图象的最低点的坐标是（)A.（1，2）B。（1,—2)C.（1，1)D.（0,2）解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x,y的值.∵x＞-1,∴x+1＞0则y==（x+1）+≥=2∴当且仅当x+1=，即x=0或x=—2(舍去)时等式成立。当x=0时，y=2.即当x=0时,y取最小值2.答案:D3。某学生在期中考试中数学、英语两门一好一差，为了在后半学期的月考及期末两次考试中提高英语成绩，他决定重点复习英语，结果两次考试英语成绩每次提高了10％，但数学成绩每次却下降了10%,这时恰好两门都得m分,这个学生这两门的期末总成绩比期中是（）A。提高了B.降低了C。未提未降D.是否提高与m的值有关解析：设期中数学成绩为x分，英语为y分，依题意x（1-10%）2=m，y（1+10%）2=m，∴x+y=m（）.∵＞2×＞2，∴x+y＞2m.答案：B4.设x、y为正数,则（x+y)()的最小值为（）A.6B.9C解析:x，y为正数,(x+y）（)≥1+4+≥9，当且仅当即y=2x时，原式最小值为9。答案:B5。函数y=（0＜x＜10）的最大值为______________。解析:∵0＜x＜10,∴10—x＞0,所以，y=·=5,当且仅当x=10-x即x=5时等号成立.答案:56.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_____________.解析：令=t（t＞0），由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3，又t＞0，所以，可得t≥3即≥3，所以ab≥9。答案：ab≥97.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/时的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（）2千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_____________小时。解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为y==10.答案：108.求函数y=的最值.解:1）当x＞0时，y=13+x+≥13+=25，当且仅当x=即x=6时取等号.所以当x=6时，ymin=25。2)当x＜0时,—x＞0，＞0,（-x）+(）≥=12.∴y=13-［（—x)+(）］≤13—12=1.当且仅当-x=，即x=-6时取等号，所以当x=—6时,ymax=13-12=1。9.已知a＞b＞0，求的最小值。解:由a＞b＞0，知a-b＞0,则b(a-b）=()2≤()2=，∴a2+≥=16，上式中两个“≥”号中的等号当且仅当b=a-b和a2=时成立，即a=,b=时，