数学同步训练：应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2应用举例5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则a∶b∶c等于（)A。1∶∶2B。1∶2∶3C。2∶∶1D.3∶2∶1解析：由已知得A=30°,B=60°,C=90°，根据正弦定理可知有,a∶b∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=1∶∶2。答案：A2。从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为（）A。α＞βB.α+β=90°C。α=βD。α+β=180°解析：由仰角、俯角的定义可知α=β.答案：C3。在△ABC中,a=2，b=3，c=4,则cosC=___________，其形状是___________.解析：由余弦定理得cosC=＜0，C是钝角，故其形状是钝角三角形.答案：钝角三角形4.在△ABC中，∠A∶∠B=1∶2，a∶b=1∶，则∠A=___________，∠B=___________，∠C=___________.解析:由已知及正弦定理得，又B=2A，∴,cosA=,A=,B=,C=。答案:10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.若三角形的三个角的比是1∶2∶3，最大的边是20，则这个三角形的面积为（）A.B。100C.25D.100解析:由已知得A=30°,B=60°,C=90°，根据正弦定理可知有，a∶b∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=1∶∶2，最小边为10。答案:A2。边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.90°B。120°C.135°D。150°解析:本题只要先确定边长为7这边所对的内角,然后由三角形内角和定理，从而可求得最大角与最小角的和.设边长为7的边对应的角为B，则cosB=，∴B=60°．∴A+C=120°．答案：B3.如右图，为测量障碍物两侧A、B间的距离，用a、b分别表示角A、B的对边，则下列给定四组数据中，测量时应当测的数据为（）A.a，b，∠AB。a，∠A，∠BC。b，∠A，∠BD。a，b，∠C解析:由正余弦定理及生活实际容易得知.答案：D4。甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A.分钟B.分钟C.21。5分钟D。2.15分钟解析：AC2=（10—4t）2+(6t）2-2×(10—4t）×6t×cos120°=28t2-20t+100=28(t—）2+故当t=小时,即t=×60=分钟时,甲乙两船距离最近.答案：A5.已知一个平行四边形的两条邻边的长分别为2、3,且其中的一个内角为30°，则这个平行四边形的面积为___________.解析：本题可以围绕着平行四边形的面积公式来考虑,或者连结其对角线将原平行四边形分成两个全等的三角形,从而由三角形的面积公式来求得结果，S=2×3sin30°=3.答案:36。一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，求树干原来的高度.解析:根据题意画出如图示意图，问题转化到Rt△ABC中,BC=20，B=30°，tan30°=,AC=BCtan30°=20×，∴AB=2AC,AC+AB=3AC=（米）.答案:即树干原来的高度为米。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。某人朝正东方向走了xkm后，向右转150°，再向前走了3km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值是（）A。B.2C。或2D。3解析：由题意画出示意图,设出发点为A，则由已知可得AB=x千米，BC=3千米，∠ABC=180°—150°=30°。AC=,∴.∴，∴sin∠CAB=.∴∠CAB=60°或∠CAB=120°.当∠CAB=60°时，∠ACB=180°—30°—60°=90°。x=千米;当∠CAB=120°，∠ACB=180°-120°—30°=30°。∴x=AC=千米。答案:C2。如右图,B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α＜β），则A点离地面的高AB等于（）A.B。C.D。解析：在Rt△ABC与Rt△ADC中,tanβ=，tanα=，BC=ABcotβ,BD=ABcotα，DC=BD—BC=AB(cotα-cotβ）=a,AB=。答案：B3。(2006高考全国卷Ⅰ，文12）用长度分别为2、3、4、5、6（单位:cm）的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（)A.cm2B.cm2C.cm2D。20cm2解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为cm2.答案：B4.如右图，已知｜F1｜=20N，|F2｜=30N，|F3｜=40N,三力互成120°的角，求合力的大小。解：如下图,F1、F2的合力的大小｜F|2=|F1｜2+|F2｜2—2｜F1｜｜F2|cos60°=700N.∴F≈26。46N，合力的大小为｜F3｜-｜F｜=13.54N。5.甲、乙两人去测大河两岸A、B两点的距离（如右图）。当他们到达A处时才发觉只带了测角仪，甲转身要回去拿工具。乙看见A处那根24米长的电杆，忙说：“不用去了，能测出来。”甲用疑惑的目光望着乙。你能帮甲想一个办法吗？解：在A点测得∠CAB，在C点测得∠BCA,然后可求得∠B=180-（∠CAB+∠BCA），根据正弦定理∵∴AB=×AC，带入实验数据即可求得A、B两点的距离.解：在△ABC中,∠B=152°—122°=30°,∠C=180°-152°+32°=60°，∠A=180°-30°—60°=90°，BC=，∴AC=。所以货轮与灯塔间的距离为354海里．6.如右图，货轮在海上以35海里/小时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°．求此时货轮与灯塔之间的距离．7。在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长.求证：.证法一：由正弦定理得.证法二：由余弦定理得。8.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是a海里/小时，甲船沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇?解：设甲船在C处追上乙船，并设所用的时间为t时,由已知得∠ABC=120°,BC=at,AC=.由正弦定理得即，∴sin∠BAC=,即∠BAC=30°。∴甲船沿着北偏东30°方向前进,才能最快与乙船相遇。9.在山坡上有一棵垂直的大树。试一试：不用爬树怎样可测出大树的高度.解:在山坡上有一棵垂直的大树，通过“标准步”及简易测角工具，计算出大树的高度，具体步骤为：（1)把每一步跨度基本相同的跨步方式称为标准步，每个人可用“标准步"走若干步（例如20步），反复几次,量出每次所走距离，并计算几次走动中每步的平均距离就能获得自己的“标准步”.（2)可用量角器加指针作为简易测角工具.具体操作步骤：从大树底部A向下跨a步“标准步”到了B，用简易测角工具测得∠ABP=α，再向上跨了b步“标准步”到了C(a＞b），测得∠ACP=β，该同学测出自己眼睛至脚底的高度大约是hcm，每步“标准步”跨度约为lcm,∴PA=这样就可知这棵大树的高度,PD=PA·l+h.10.在一个正三角形中画一条分割线（可以是直线、折线或曲线），把这个正三角形的面积两等分．（1)试设想各种画分割线的方法，并比较各条分割线的长短；（2）在你所画出的所有分割线中，哪一种最短?这是不是所有可能的分割线中最短的？证明你的结论。解:(1）图1、图2是容易想到的两种分法，分别计算分割线的长度（设正三角形的边长为1），得AD=≈0。8660（图1）；DE=≈0。7071（图2)。图3这种分割线是否一定比图2的分割线长？答案是肯定的，以下证明这一点．如图3,设AD=m，AE=n,则mnsin60°=,得mn=。于是DE2=m2+n2—2mncos60°=m2+n2-mn≥2mn—mn=mn=。当且仅当m=n=时等号成立，这说明DEmin=．图4的情形一般被认为不可能是最短的,但计算验证一下又何妨?图4设AD=AE=AF=m，由条件得：2×m2sin