数学同步训练：正弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，下列等式恒成立的是（)A.a+sinA=b+sinBB。bsinC=csinAC.absinC=bcsinBD。asinC=csinA解析:根据正弦定理可知有，asinC=csinA.答案：D2。在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1，则a∶b∶c等于（）A。3∶1∶1B.2∶1∶1C.∶1∶1D.∶1∶1解析：根据正弦定理有，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC。由已知得A=120°，B=30°，C=30°，a∶b∶c=sin120°∶sin30°∶sin30°=∶1∶1.答案：D3.在△ABC中,已知a=3，b=4,c=5，则sinA=____________,sinB=____________,sinC=____________，=_____________,=____________，=___________。由此可以看出______________________(两横线上填符号“=”或“≠”）.解析：由已知条件可以判断，这个三角形是以∠C为直角的直角三角形，可知，sinA=，sinB=,从而这两个三角函数值可求出,继而后几个空也不难填出。答案：1==4。在△ABC中，已知a=，A=45°,则=______________.解析:∵=2，∴。答案：210分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.不解三角形，下列判断中正确的是(）A。a=7,b=14，A=30°，有两解B。a=30,b=25,A=150°,有一解C.a=6,b=9，A=45°，有两解D.b=9，c=10，B=60°，无解解析：在A中，a=bsinA，故有一解；在B中，A＞90°,a＞b，故有一解；在C中，a＜bsinA，无解；在D中，c＞b＞csinB，有两解。答案：B2.已知△ABC的外接圆的半径是3，a=3，则∠A等于（）A.30°或150°B.30°或60°C。60°或120°D。60°或150°解析：根据正弦定理得，sinA==12，0°＜A＜180°,∴A=30°或150°。答案：A3。在△ABC中，已知A=30°，C=105°，则2a∶b=___________.解析：由题意知,B=180°-30°-105°=45°,由正弦定理=2R，∴。答案：4.在△ABC中，已知=2,则其外接圆的直径为___________.解析：根据正弦定理有==2R（其中R是其外接圆的半径），故由已知得2R=2。答案：25。在△ABC中，已知cosA=，cosB=，则a∶b∶c=___________.解析：由已知及同角三角函数间的关系得sinA=,sinB=，sinC=sin［π—(A+B)]=sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB=，由正弦定理得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=13∶20∶21。答案：13∶20∶216。已知△ABC中，，试判断这个三角形的形状。解：∵，∴，得sin2B=sin2A。于是2B=2A或2B=π-2A，即A=B或A+B=.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.30分钟训练（巩固类训练,可用于课后)1.在△ABC中，已知sin2A=sin2B+sin2A。等腰三角形B。直角三角形C。等腰直角三角形D。等腰或直角三角形解析：由正弦定理及已知条件得a2=b2+c2，从而可知该三角形是直角三角形。答案：B2.在△ABC中，已知（b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于（）A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7解析:由已知设b+c=4k（k＞0)，则c+a=5k，a+b=6k，由此解得a=，b=，c=,由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3。答案：B3。在△ABC中，a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是(）A.一解B。两解C.一解或两解D。无解解析:∵bsinA≈70。7＜a，且b＞a，∴有两解，选B.答案:B4.在△ABC中，a,b，c分别是A、B、C的对边长。若A=105°，B=45°，b=2，则c=___________.解析：由题可知C=180°-105°—45°=30°，由正弦定理得=2。答案：25.在△ABC中，已知a=3，b=4，C=60°，则△ABC的面积为__________.解析：先找出b边上的高h=asinC=3sin60°，S△ABC=12absinC=12×3×4sin60°=3。答案：36。在△ABC中，已知a=，b=,B=45°，求边c。解：∵，∴sinA=。又∵b＜a,∴B＜A，∴A=60°或120°.当A=60°时，C=75°，c=；当A=120°时，C=15°,c=。7。在△ABC中，已知sinA=，cosB=，求sinC的值.解：∵cosB=＞0，0＜B＜π，∴B是锐角，sinB=.∵sinA=＜,∴A＜B,A是锐角,cosA=.又sinC=sin［π—(A+B）］=sin(A+B）=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC=。8.已知三个城市的中心位置A、B、C刚好分别位于一个锐角三角形的三个顶点处,并且另一城市的中心位置O到这三个城市A、B、C的距离相等（假定这四个城市的中心位置位于同一平面上）,且△BOC、△COA、△AOB的面积的关系为S△BOC+S△AOB=2S△COA,试判断tanAtanC是否为定值，说明理由.解：∵O到这三个城市A，B，C的距离相等∴O是锐角△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A，∠AOB=2∠C，∠AOC=2∠B.设其外接圆的半径为R,则有S△BOC=,S△COA=，S△AOB=.由已知S△BOC+S△AOB=2S△COA，sin2A+sin2C=2sin2B，2sin（A+C)cos(A-C）=4sinBcosB。又sin(A+C）=sinB≠0,∴cos（A-C)=2cosB=-2cos（A+C），∴cosAcosC+sinAsinC=—2cosAcosC+2sinAsinC，∴tanAtanC=3,即tanAtanC为定值3。9.（2006高考湖南卷，理16)如右图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明sinα+cos2β=0;（2）若AC=DC,求β的值。（1）证明：如下图，∵α=-（π-2β)=2β-,∴sinα=sin（2β—）=-cos2β.即sinα+cos2β=0．（2）解：在△ADC中，由正弦定理得。∴sinβ=sinα由（1)得sinα=—cos2β，∴sinβ=cos2β=（1—2sin2β）,即sin2β-sinβ=0.解得sinβ=或sinβ=．∵0＜β＜,∴sinβ=β=.10.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km(千米)/h(小时）,飞机先看到山顶的俯角为15°,如右图，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取=1.4，=1。7）。解：如图,∵∠A=15°，