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专题五平面向量中的范围与最值问题2025年高考一轮总复习第五章

平面向量与复数题型一与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题图5-1答案：A

(2)对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图5-2所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四值为()图5-2A.5B.3C.32D.52则x＋y＝1，所以λ＋μ＝k(x＋y)＝k.因为P是四个半圆弧上的一动点，图5-3所以当EF与图形下面半圆相切时，λ＋μ取得最大值，设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1，连接MP，连接DO1

并延长使之与EF交于点O2，过M作MN⊥DO2，垂足为N，因为∠ABC＝120°，AB＝2，所以DO1＝1，答案：D范围”的题目，一般的解题思路是过点P作直线AC的平行线，再根据等和线定理，结合相似三角形或平行线分线段成比例定理，得到λ＋μ的值或取值范围.【互动探究】答案：D图5-4题型二与数量积有关的最值(范围)问题[例2](1)已知在边长为2的等边三角形ABC中，M，N分别为解析：建立如图5-5所示的平面直角坐标系，则B(－1，0)，C(1，0)，A(0，)，图5-5图5-6A.18B.24C.36D.48图5-7答案：D

【题后反思】对于求向量数量积取值范围的题目，可考虑通过建立平面直角坐标系来求解.若题目的设问与已知直线上的动点相关，则可求出已知直线的方程后，利用直线方程表示已知直线上动点的坐标；若题目的设问与已知圆上的动点相关，则可利用圆的参数方程表示圆上动点的坐标.例如，若点P为⊙M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上的动点，则点P的坐标可表示为(a＋rcosθ，b＋rsinθ).【互动探究】3.(2022年北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.()A.[－5，3]C.[－6，4]

B.[－3，5]D.[－4，6]

解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).答案：D图5-8解析：以O为原点建立如图D27所示的平面直角坐标系，设图D27答案：B题型三与模有关的最值(范围)问题[例3](1)已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－)a－b|＝1，则|c|的取值范围是(

解析：a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，答案：A(2)平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，|a＋b＋c|＝1，则(a＋c)·(b＋c)的最小值是()解析：设a＋b＋c＝β，由|a＋b＋c|＝1，得|β|＝1，则(a＋c)·(b＋c)＝(β－b)·(β－a)＝β2－(a＋b)·β＋a·b＝3－(a＋b)·β.又|a|＝|b|＝a·b＝2，答案：B【互动探究】5.(2023

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